K- коэффициент усиления звена.

Передаточная функция апериодического звена имеет вид:

W(P)=k/(Tp+1)

Переходная функция h(t) представляет собой экспоненту (рис. 2.17 а). Отрезок, отсекаемый на асимптоте касательной в начальной точке кривой, равняется постоянной времени Т. Переходный процесс считается закончившимся через промежуток времени равный 3Т.

АФХ имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту передачи k и расположена в четвертом квадрате комплексной плоскости (рис. 2.17 б). АЧХ и ФЧХ звена будут соответственно иметь вид (рис 2.17 в, 2.17 г) и записываются как:

;

.

 

Рис. 2.17

Из графиков видно, что при изменении частоты от 0 до ¥ АЧХ изменяется от k до 0, а сдвиг по фазе выходных колебаний относительно входных изменяется от 0 до -p/2.

В качестве примеров элементов, имеющих динамические свойства апериодических звеньев, могут служить электрические, гидравлические, пневматические двигатели, у которых входной величиной является управляющее воздействие, например подводимое напряжение в электрическом двигателе или расход рабочего тела в гидравлическом и пневматическом двигателях, выходной – скорость вращения вала или перемещение штока двигателя.

Апериодическими звеньями является нагревательная печь, у которой входная величина - количество подводимого в единицу времени тепла Q, а выходная температура в печи, электрические RC и RL – цепи (рис. 2.18 а, 2.18 б) – четыреполосники.

 

 

Рис. 2.18

Колебательное звено описывается дифференционным уравнением второго порядка вида

(2.23)

где Т1 – постоянная времени, характеризующая период колебаний;

Т2 – постоянная времени, характеризующая затухание собственных колебаний звена;

K – коэффициент передачи.

При этом предполагается, что Т1 < T2.

Уравнение (2.23) можно записать в виде

Где x - коэффициент затухания.

Передаточная функция колебательного звена

W(p)=k/( )

Характер переходного процесса зависит от значения корней характеристического уравнения

Которые равны

(2.24)

Колебательный процесс получается при комплексны корнях характеристического уравнения. Поэтому согласно (2.24) колебательному звену соответствует значение коэффициента затухания 0< x < 1 (рис. 2.19, кривая 1). При x> 1 переходный процесс становится апериодическим, характеристика его изображена на рис. 2.19, кивая 2. Это уже будет не элементарное звено, а звено, которое может быть представлено в виде двух апериодически звеньев с постоянным времени Т1 и Т2. Если x=1, то апериодические звенья имеют одинаковую постоянную времени, те. Т1=Т2.

 

Рис.2.19

 

Рис.2.20

Если x=0 получается частный случай колебательного звена, называемого консервативным звеном. Это идеализированное звено, соответствующее колебательному звену, работающему без потерь энергии в котором протекают незатухающие колебания. (рис. 2.20, кривая 1).

При x< 0 выходные колебания с течением времени возрастают. (рис. 2.20, кривая 2). Такое звено является неустойчивым колебательным звеном.

Графики частотных характеристик представлены на рис. 2.21 а, б, в.

 

 

Рис.2.21

АЧХ колебательного звена (рис. 2.21 а) имеет максимум Amax при некоторой частоте wmax. Значение этого максимума тем больше, чем меньше коэффициент затухания x. При x=0 Аmax равен бесконечности (консервативное звено). Таким образам максимум характеризует колебательность звена и определяет показатели колебательности.

M=Amax/Ao

где A_o– значение АЧХ при w=0. Чем больше М, тем хуже затухают колебания выходной величины в переходном процессе.

ФЧХ колебательного звена (рис. 2.21 б) монотонно изменяются от 0 до -p при возрастании частоты от 0 до ¥.

Примером колебательного звена может служить масса, подвешенная на пружине и снабженная демпфером (рис. 2.22), электрический контур, содержащий индуктивность, емкость и омическое сопротивление (рис. 2.23) линеаризованная гидравлическая цепь (рис 2.24), механический тахометр (2.25) и др.

 

 

Рис.2.22

 

 

Рис.2.23

 

 

Рис.2.24

Рис.2.25

 

Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном (астатическим) называют такое устройство, у которого при неизменном значении входной выходная величина может неограниченно возрастать или убывать. Элементы системы, обладающие этим свойством, не имеют самовыравнивания.

Работа интегрирующего звена описывается линейным дифференциальным уравнением

или интегральным,

(2.25)

В интегрирующих звеньях в установившемся режиме имеет место линейная зависимость между входной величиной и производной выходной величины.

Передаточная функция интегрирующего звена:

где k – коэффициент усиления или передачи звена по скорости.

Он численно равен скорости изменения выходной величины при единичном значении входной и имеет размерность ( ).

Переходную функцию идеального интегрирующего звена получают из уравнения (2.25):

h(t)=kt

График переходной функции представляет собой прямую линию (рис.2.26а) с углом наклона

рис. 2.26

При нескольких ступенчатых воздействиях переходные процессы в идеальном интегрируемом звене представлены на рис. 2.27. Видно, что с момента времени увеличение (х) приводят к повышению скорости изменения выходной величины (прямая у круче). Появление отрицательного входного воздействия в момент времени вызывает уменьшение выходной величины. Кроме того, при уменьшении входной величины до нуля, выходная величина интегрирующего звена остается неизмененной и не стремится к нулю, как в усилительном звене.

АФХ интегрального звена имеет вид:

АЧХ и ФЧХ соответственно выглядят:

Частотные характеристики представлены на рис. 2.26 б, в, г.

Рис. 2.27

Интегрирующим звеном можно считать электродвигатель, если за входное воздействие принять подводимое напряжение, а выходной величиной считать угол поворота вала двигателя. К интегрирующим звеньям относятся также гидравлический демпфер (рис. 2.28).

В гидравлическом демпфере входным воздействием х является сила, приложенная к пружине, а выходной величиной y – перемещением тока. При мгновенном приложении силы на входе перемещение поршня демпфера будет происходить постепенно, так как жидкость перетекает из полости Б в полость А через дроссельное отверстие в поршне.

Реальные интегрирующие звенья обычно обладают заметной инерционностью. Такие звенья не относятся к элементарным, т.к. могут быть представлены более простыми звеньями.

Дифференцирующее звено. Дифференцирующим звеном называется такое звено, у которого в установившемся режиме значение выходной величины (у) зависит только от скорости изменения входного воздействия (х), т.е.

(2.26)

В теории автоматического регулирования рассматриваются два типа дифференцирующих звеньев: идеальное и реальное.

Идеальное звено описывается уравнением (2.26). Его передаточная функция

W(p) = kp

При подаче на вход идеального дифференцирующего звена единичного воздействия выходная величина совершает скачок в бесконечность (рис.2.29а), что соответствует бесконечно большой скорости нарастания входной величины

h(t) = k (t)

где (t) – дельта – функция равная при t=0 и 0 при t 0.

Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена изображены на рис.2.29, а функции их имеют вид:

АФХ: W(j ) = jk ;

АЧХ: А( ) = k ;

ФЧХ: ;

Рис. 2.29

На практике не существует такого реального элемента (кроме тахогенератора – приближённо, если входной величиной является угол поворота ротора, а выходной – ЭДС якоря), в котором на выходе точно воспроизводилась бы производная от любого входного сигнала.

Реальным дифференцирующим звеном является дифференцирующее инерционное звено. Оно может быть представлено последовательным соединением идеального дифференцирующего и апериодического и его передаточная функция (как будет показано далее) является произведением передаточных функций этих звеньев. При ступенчатом изменении входного воздействия на такое звено выходная величина скачкообразно изменяется до максимального значения, а затем уменьшается до нуля.

Примером реального дифференцирующего звена может быть гидравлический демпфер с пружиной (рис.2.30), если на вход подать перемещение поршня х=h. а выходной координатой (у) будет перемещение цилиндра. При большой скорости перемещения поршня жидкость не успевает перетекать через дроссельное отверстие из полости А в полость Б, и, следовательно, цилиндр переместится на ту же величину, что и поршень, сжимая пружину. С течением времени по мере перетекания жидкости цилиндр возвращается в исходное положение.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: