Дифференциальное исчисление. Понятие производной

1. Приращение аргумента и функции.

Пусть дан график непрерывной функции.

О1. Разность между конечным и начальным значениями аргумента называется его приращением, т.е. . При этом функция получает приращение (Рис. 71):

Рис. 71. Приращения аргумента и

функции.

 

 

Т1. Если , то функция непрерывна в точке .

2. Задачи, приводящие к понятию производной.

1). Физика. Пусть материальная точка движется прямолинейно согласно закону , где – путь, который проходит точка за время . Требуется определить скорость движения точки в момент времени . Обозначим через путь, пройденный за время . Очевидно, что . Средняя скорость, с которой движется точка определяется как . Для того чтобы определить скорость в момент времени , вычислим предел

.

2). Геометрия. Пусть дан график функции . Требуется найти такую прямую линию, которая касается графика функции только в одной точке .

О2. Касательной называется предельное положение секущей прямой при стремлении произвольным образом (Рис. 72).

 

 

Рис. 72. Кастельная к графику

функции .

 

Вычислим тангенс угла наклона секущей . Следовательно, тангенс угла касательной к положительному направлению оси абсцисс будет равен предельному значению приведенной выше величины .

3. Производная функции. Ее механический и геометрический смысл.

О3. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последней величины к нулю произвольным образом, т. е. .

Из рассмотренных выше задач следует, что с точки зрения механики производная определяет мгновенную скорость движения, а с геометрической точки зрения производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс в заданной точке, в которой вычисляется значение производной.

 

4. Уравнение касательной и нормали в заданной точке графика функции .

 

Пусть дан график функции (Рис. 73).

Рис. 73. Касательная и нормаль.

 

 

Требуется составить уравнения касательной и нормали в точке . Для составления уравнения касательной воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом: . В силу того, что , уравнение касательной имеет вид: . Так как нормаль перпендикулярна к касательной, то ее угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной соотношением: . Следовательно, уравнение нормали имеет следующий вид: .

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной в точке к графику функции .

Так как , то вычислим производную функции, используя определение производной: ;

; ; следовательно,

.

Вычислим значение производной в точке , а тем самым и угловой коэффициент касательной в заданной точке .

5. Правила дифференцирования.

 

Вычисление производной согласно определению является трудоемкой задачей. В связи с этим были получены следующие правила дифференцирования.

1). Производная от суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных от этих функций, т.е. .

З2. Производная от суммы (разности) любого числа функций равна сумме (разности) производных от этих функций.

2). Производная от произведения двух функций вычисляется по формуле:

.

3). Производная от частного двух функций вычисляется согласно формуле:

.

4). Производная от обратной функции вычисляется по формуле: .

5). Производная от сложной функции вычисляется по формуле:

.

 

 

Производные основных элементарных функций

Пример 1. Найти производную функции .

По правилу дифференцирования сложной функции и с учетом выражения для логарифмической и показательной функций имеем .

Пример 2. Найти производную функции .

В данном случае производная .

 

Полученные производные от элементарных функций сведем в таблицу:

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: