Отношение эквивалентности, его связь с разбиением множества на классы.

 

1) Определение1: Отношение на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Рассмотрим отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3» на множестве Х= }. Оно разбивает множество на попарно непересекающиеся подмножества == }, == == }., объединение которых равно Х. Т.е. отношение эквивалентности разбивает множество на классы, которые называют классами эквивалентности.

Принцип разбиения на классы при помощи отношения эквивалентности очень важен.

Во-первых, элементы одного класса –взаимозаменяемы;

Во-вторых, свойства, присущие какому-то классу можно изучать по одному какому-то представителю этого класса.

В-третьих, разбиение на классы эквивалентности используется для введения новых понятий.

Например, в данном случае для введения понятия «быть кратным трём». Вообще, любое понятие которым оперирует человек – это некоторый класс эквивалентности, например, «книга», «стол», «дом».

Отношение порядка

Определение 2: Отношение на множестве Х называется отношением порядка, если оно обладает свойством антисимметричности и транзитивности.

Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел, отношение «короче» на множестве отрезков.

Если отношение порядка связно, то оно является отношением линейного порядка.

Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел.

Множество Х называется упорядоченным, если на нём задано отношение порядка. А если это отношение линейного порядка, то про множество Х говорят, что оно линейно упорядоченно, а отношение линейно упорядочивает множество Х.

 

Вопрос № 18.

Понятие соответствия. Способы задания соответствий. Соответствие, обратное данному соответствию. Взаимно однозначные соответствия.

 

В математике изучаются взаимосвязи между элементами двух множеств. Например, между множеством выражений и множеством их значений; множеством фигур и множеством их площадей; множеством уравнений и множеством их корней.

Определение : Соответствие между элементами множеств Х и У - это подмножество декартова произведения множеств Х Х

Способы задания соответствий:

1. С помощью характеристического свойства,

2. С помощью графа,

3. С помощью таблицы,

4. С помощью перечисления пар,

5. С помощью графика.

Иногда приходится рассматривать соответствие, обратное данному.

2) Соответствия называются взаимно однозначными, если каждому элементу из множества Х соответствует единственный элемент из множестваУ и наоборот.

Графики взаимно однозначных соответствий симметричны относительно прямой у=х.

Понятие взаимно однозначности позволяет определить отношение равномощности множеств.

Определение: Множества Х и У наз. равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Равномощные конечные множества называются равночисленными.

Понятие равчисленности используется для введения понятий

«равно», «больше на…», «меньше на…».

Если бесконечное множество равномощно множеству N, то его называют счётным.

 

Вопрос № 19.

Числовые функции. Способы их задания и свойства. Прямая и обратная пропорциональность, их свойства и графики.

Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х соответствует единственное число из множества R.

Множество Х называют областью определения функции.

Множество чисел вида f(х) для всех х из множества Х называют областью значений функции f.

Способы задания:

· с помощью формулы;

· с помощью таблицы;

· с помощью графика.

Определение. Функция f называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел , из множества А выполняется условие : f( ) f( ).

Определение. Функция f(х) называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел , из множества А выполняется условие : f( ) f( ).

По графику возрастающей функции движемся слева направо снизу вверх.

По графику убывающей функции движемся слева направо сверху вниз.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: