Определённый интеграл. 2. Несобственный интеграл.

Примерные темы заданий - см. выше:

Практика № 7, задача 1. Вычислить интеграл .

Практика № 9, задача 2.

Вычислить несобственный интеграл 1 рода .

Практика № 9, задача 4.

Вычислить несобственный интеграл 1 рода .

Минут: новая тема - двойной интеграл.

Двойные интегралы в декартовых координатах.

Вычисление (задачи 1-4).

Задача 1. Вычислить двойной интеграл , где D прямоугольник, .

Решение. Есть эквивалентные формы записи в таком случае: = . Итак, сначала во внутреннем цикле найдём первообразную по переменной : = = = 1.

Ответ. 1.

Замечание. Если изменили бы порядок интегрирования, то есть внутреннее действие по а внешнее по то по объёму вычислений было бы то же самое.

= = = = 1.

 

Задача 2. Вычислить двойной интеграл , где D квадрат, .

Решение. У нас есть 2 варианта: сделать внешний цикл по , а внутренний по , то есть , либо наоборот, . Несмотря на то, что область квадрат, и казалось бы, всё равно, каков порядок интегрирования, но если сделать внутренний цикл по то в обоих множителях есть переменная интегрирования, то есть мы сразу столкнёмся с интегрированием по частям, а вот если внутренний цикл по , то только в одном множителе есть переменная, по которой интегрируем. Более того, служит коэффициентом при в степени экспоненты, то есть надо будет разделить на , и он сократится, останется вообще одна экспонента! Этот путь более рациональный и предпочтительно здесь сделать именно так.

= = = = = = = .

Замечание. А если то наоборот, надо сделать внутренний цикл по , а внешний по .

Ответ. .

Задача 3. Вычислить интеграл по треугольнику D, вершины которого: (0, 0), (1, 0), (0, 1).

Решение. Строение треугольника понятно (см. чертёж).

Наклонная линия задаётся уравнением .

Вычисление: = =

= = =

= .

Ответ. .

 

Задача 4. Вычислить интеграл по треугольнику D, вершины которого: (0, 0), (1, 1), (1, 2).

Решение. Итак, по чертежу видно, что , а в свою очередь при каждой фиксированной абсциссе, .

= = =

= = = 2.

Ответ. 2.

 

Задача 5. Сменить порядок интегрирования .

Решение. Сначала построим чертёж. При каждом переменная растёт от 0 до , то есть точки образуют треугольник. А теперь проведём не вертикальные, а горизонтальные линии.

 

Линия , задающая верхнюю границу, для левой границы может быть переписана как . Горизонтальный отрезок начинается с этой наклонной линии и завершается при . Таким образом,

Ответ. .

Домашняя задача. Вычислить интеграл , где область, ограниченная линиями , , . Ответ. 1/12.

ПРАКТИКА № 11.

Задача 1. Изменить порядок интегрирования: .

Решение. Сделаем чертёж, также выразим в каждом уравнении через обратную функцию.

Уравнение с помощью обратной функции будет задано в виде , а соответственно .

Нижняя граница здесь становится правой, а верхняя граница исполняет роль левой. Ведь если мы проводим вертикальные отрезки внутри фигуры, они начинаются от квадратичной параболы, то есть при движении снизу вверх точка начинает двигаться от этой линии. А по горизонтальным, наоборот, точка при движении слева направо движется до этой линии, а не от неё (см. красные линии). Тогда после смены порядка, интеграл будет в виде: .

Ответ. .

Задача 2. Сменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

.

Решение. Построим чертёж.

Видно, что здесь верхняя граница переходит с одной кривой на другую, поэтому от 0 до 1 и от 1 до 2 пришлось разбить на 2 разных слагаемых, если внешняя переменная . А если внешняя переменная будет , то надо будет найти левую и правую границы горизонтальных отрезков. А они не переходят на другую кривую: левая всегда на параболе, а правая граница на линии . Если записать через обратные функции, то вместо будет , а вместо соответственно, . Тогда вся область будет учтена сразу, то есть два слагаемых свернутся в одно: . Ответ. .

Задача 3. Изменить порядок интегрирования: .

Решение. Построим чертёж.

 

Перепишем через обратные функции. Уравнение записывается в виде , а в виде .

Тогда получим такой ответ. Ответ. .

Замечание. Перед корнем квадратным именно минус, потому что , то есть именно отрицательная ветвь корня. Если по ошибке не заметить этого и взять , то получится продление до правой ветви, и совсем другая область, а именно:

 

12Следующая ⇒

Поделиться: