Тройной интеграл в декартовых координатах.

Задача 4. Вычислить по кубу .

Решение. . Здесь уже 3 а не 2 вложенных цикла.

Это также можно записать в виде: .

Сначала вычислим внутренний интеграл по и применим формулу Ньютона-Лейбница именно к переменной , остальные при этом вычислении остаются в роли параметров, вместо них ничего не подставляется.

= .

Теперь первообразная по и формула Ньютона-Лейбница применяется в этой скобке именно к .

= . А теперь уже обычный определённый интеграл. = = .

Ответ. .

Задача 5. Вычислить тройной интеграл .

Решение. = = =

= = = .

Ответ. .

Задача 6. Найти объём тела, ограниченного поверхностями: .

Решение. Метод построения 3-мерного чертежа: сначала выбрать все те уравнения, которые не содержат , и построить плоскую проекцию (вид сверху) этой фигуры. Строим графики .

Теперь видно, что , а при каждом фиксированном , .

Вообще, в плоскости это - уравнения кривых, но для пространства это уравнения поверхностей. Отсутствие означает, что любое, то есть к прямой и параболе присоединены вертикальные образующие. Представьте, что один вертикально поставленный лист ровный, а второй изогнут по параболе. Внутри такой узкой «шахты» как раз и располагается искомая фигура.

А теперь определим границы по высоте, чтобы окончательно построить чертёж. Для каждой точки, взятой на плоскости в том основании, которое показано на предыдущем чертеже, высота меняется от до , эти линии отмечены зелёным цветом. Эллиптический параболоид пересекается с каждой из указанных ранее вертикальных стенок, пересечения показаны красным цветом.

Самая верхняя точка (1, 1, 2). Итак, изобразим каркас этой фигуры:

Так как вычисляется объём, то надо полагать .

= = =

= = = = = = = .

Ответ. .

Двойные интегралы в полярных координатах.

Задача 7. Вычислить интеграл по полукругу радиуса 1 в правой полуплоскости.

Решение.

Алгоритм: 1) определить границы интегрирования по .

2) пересчитать в функции через , используя , .

3) домножить на определитель Якоби, который равен .

Так как полукруг именно в правой полуплосости, то учитываются 4-я и 1-я четверти, то есть угол от -90 до 90 градусов.

= =

= = = = .

Ответ. .

Задача 8. Вычислить , где D - четверть круга радиуса 1 (в первой координатной четверти).

Решение.

Заменим , , а также умножим на якобиан .

= =

Дальше остаётся интеграл от одной переменной, там можно применять обычный способ, подведение под знак дифференциала.

= = = = = .

Ответ. .

Домашняя задача 1. Найти объём тетраэдра с вершинами (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1). Ответ. .

Домашняя задача 2. Вычислить , где D - четверть круга радиуса 2 (в первой координатной четверти). Ответ. .

Решение задачи 1. Найти объём тетраэдра с вершинами (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Решение. Так как надо вычислить объём, то функция в данном случае .Для того, чтобы записать интеграл, лучше сначала нарисовать проекцию на плоскость , то есть вид сверху. Тогда мы сможем распознать границы по в зависимости от . А уже после этого, для точки выяснить границы изменения по трёхмерному чертежу.

Глобальные границы по от 0 до 1. В плоской проекции видим треугольник, там границы по в зависимости от первой переменой это . Итак, уже можно записать . А теперь запишем границы по . От высоты 0 до наклонной плоскости, уравнение которой легко может быть получено по 3 точкам (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1). Это плоскость . Тогда интеграл получается такой: .

Вычислим интеграл. В самой внутренней скобке, интеграл от 1 по .

= = .

Остался уже не тройной, а двойной интеграл. Далее,

= = = = .

Замечание. Впрочем, для тетраэдра можно было обойтись и без тройного интеграла: ведь это пирамида, построенная на основании треугольника, а для пирамиды , а в данном примере высота 1, площадь основания = площади треугольника, составляющего ровно половину единичного квадрата, то есть . И тогда = = . Ответ. .

ПРАКТИКА № 12.

Задача 1. Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1).

Решение.

В декартовых координатах интеграл был бы в виде: .

Границы изменения угла от 0 до 45 градусов. Определим верхнюю границу роста радиуса в зависимости от угла поворота. Для этого нужно задать линию в полярных координатах. Подставим выражение x через полярные координаты в уравнение этой линии, получим , тогда .

Ответ. .

Как видим, полярные координаты можно применять далеко не только в случае круговых областей, однако большого преимущества здесь это уже не даёт, пределы внутреннего интеграла здесь тоже зависят от внешнего.

Площадь поверхности (с помощью двойного интеграла).

Задача 2. Найти площадь поверхности .