Работа 5. Ортогональность сигналов

Работа «Ортогональность сигналов» предназначена для изучения свойств ортогональных сигналов.

Она содержит пять заданий:

1. Исследование ортогональности трех гармонических колебаний с разным кратным на интервале 1 мс числом периодов.

2. Исследование ортогональности трех гармонических колебаний с разным некратными на интервале 1 мс числом периодов.

3. Исследование ортогональности двух сигналов, связанных преобразованием Гильберта (импульсы прямоугольной формы).

4. Исследование ортогональности двух сигналов, связанных преобразованием Гильберта (импульсы треугольной формы).

5. Исследование ортогональности двух гармонических сигналов, связанных преобразованием Гильберта.

При выборе данной работы генератор сигналов (рис. 14), выводимый на лабораторный стол, дополняется блоком скалярного перемножителя (рис. 19). Шестикнопочный переключатель служит для подключения измерительных каналов к различным узлам этого блока.

Для выбора сигналов, подаваемых на открытые входы «s1(t)», «s2(t)» и «s3(t)», следует выбрать соответствующую опцию раскрывающегося пункта меню «Сигналы», установить требуемые параметры сигнала генератора для данного входа и нажать кнопку пуска любого канала. Выбранный сигнал в дальнейшем постоянно появляется на этом входе при запуске любых каналов, пока не будет изменен по вышеописанной процедуре.

Движковый регулятор интервала времени «Т», на котором вычисляется скалярное произведение сигналов, позволяет изменять верхний предел интегрирования Т в интеграторе в диапазоне от 0, 5 до 1, 5 мс. Установленное значение этого интервала указывает расположенный рядом цифровой индикатор.

 

Задание 1

Исследуйте ортогональность гармонических колебаний на интервале Т = 1 мс. Для этого установите на входах вычислителя скалярного произведения (скалярного перемножителя) следующие сигналы: s1(t) – гармонический сигнал с частотой 1 кгц, s2(t) – гармонический сигнал с частотой 2 кГц, s3(t) – гармонический сигнал с частотой 10 кГц и выведите их по каналам наблюдения 1, 2 и 3 соответственно.

Для установки сигнала s1(t) активизируйте пункты меню «Сигналы» / «s1(t)», выберите форму, параметры сигнала генератора и запустите первый канал, активизируя кнопку пуска «1». Аналогично установите сигналы s2(t) и s3(t).

Для получения гармонических сигналов s1(t) и s2(t) следует выбрать форму сигнала «Cos», угол отсечки 180° и включить разделительный конденсатор С_р. Для получения гармонического сигнала s3(t) следует включить модулятор в режиме ФМ или ЧМ, установить несущую частоту Fнес = 10 кГц, индекс модуляции М = 0.

Наблюдайте и зафиксируйте осциллограммы сигналов в следующем порядке по каналам:

1) сигнал s1(t);

2) сигнал s2(t);

3) сигнал s3(t);

4) сигнал на выходе интегратора (т. 6).

Обратите внимание на значение реакции интегратора (т. 6) в момент t = T = 1 мс и сделайте вывод об ортогональности выбранных сигналов.

 

Комментарии и выводы

Сигналы s₁(t) и s₂(t) ортогональны на интервале Т, если их скалярное произведение

.

При выполнении дополнительного условия

сигналы s₁(t) и s₂(t) ортогональны на интервале Т в усиленном смысле. Любые два гармонических сигнала s_{i, l} являются ортогональными в усиленном смысле на интервале Т, если

,

т.е. на интервале ортогональности укладывается целое и разное число их периодов.

Использованные в опыте гармонические колебания с частотами 1 кГц, 2 кГц и 10 кГц являются ортогональными в усиленном смысле на интервале Т = 1 мс, поскольку на этом интервале укладывается целое и разное число их периодов (1, 2 и 10 соответственно), и значение реакции интегратора (т. 6) в момент t = T равно нулю.

 

Задание 2

Исследуйте ортогональность гармонических колебаний на интервале Т = 1 мс. Для этого оставьте прежними сигналы s1(t) и s2(t), а сигнал s3(t) установите гармоническим с частотой F = 1, 2 кГц и выведите его по каналу 1.

Наблюдайте и зафиксируйте осциллограммы сигналов в следующем порядке по каналам:

1) сигнал s3(t);

2) сигнал на выходе сумматора (т. 4);

3) сигнал на выходе перемножителя (т. 5);

4) сигнал на выходе интегратора (т. 6).

Обратите внимание на значение реакции интегратора (т. 6) в момент t = T = 1 мс и сделайте вывод об отсутствии ортогональности выбранных сигналов.

 

Комментарии и выводы

Сигналы s₁(t) и s₂(t) ортогональны на интервале Т, если их скалярное произведение

.

При выполнении дополнительного условия

сигналы s₁(t) и s₂(t) ортогональны на интервале Т в усиленном смысле. Любые два гармонических сигнала s_{i, l} являются ортогональными в усиленном смысле на интервале Т, если

,

т.е. на интервале ортогональности укладывается целое и разное число их периодов.

Использованное в опыте гармоническое колебание s₃(t) с частотой 1, 2 кГц не является ортогональным по отношению к s₁(t) и s₂(t) на интервале Т = 1 мс, поскольку на этом интервале укладывается не целое число его периодов (1, 2, соответственно), и значение реакции интегратора (т. 6) в момент t = T не равно нулю.

 

Задание 3

Исследуйте ортогональность двух сигналов, связанных преобразованием Гильберта (Н) на интервале периода их повторения Т = 1 мс.

Для этого установите следующие сигналы: s1(t) – импульсы прямоугольной формы с частотой следования F = 1 кГц (канал 1), s2(t) = H[s1(t)] (канал 2), s3(t) = 0.

Наблюдайте и зафиксируйте осциллограммы сигналов в следующем порядке по каналам:

1) сигнал s1(t);

2) сигнал s2(t);

3) сигнал на выходе перемножителя (т. 5);

4) сигнал на выходе интегратора (т. 6).

Обратите внимание на значение реакции интегратора (т. 6) в момент t = T = 1 мс и сделайте вывод об ортогональности выбранных сигналов.

 

Комментарии и выводы

Сигналы x(t) и ортогональны на интервале (–∞, ∞ ) (в пространстве L₂(∞ )

.

Для периодических сигналов x(t) это свойство сохраняется на интервале их периода Т.

В проведённом эксперименте свойство ортогональности сигналов s₁(t) и s₂(t) = H[s₁(t)] подтверждается на примере периодической последовательности импульсов прямоугольной формы (значение реакции интегратора (т. 6) в момент t = T равно нулю).

Задание 4

Исследуйте ортогональность двух сигналов, связанных преобразованием Гильберта (Н) на интервале периода их повторения Т = 1 мс. Для этого установите следующие сигналы: s1(t) – импульсы треугольной формы с частотой следования F = 1 кГц (канал 1), s2(t) = H[s1(t)] (канал 2), s3(t) = 0.

Наблюдайте и зафиксируйте осциллограммы сигналов в следующем порядке по каналам:

1) сигнал s1(t);

2) сигнал s2(t);

3) сигнал на выходе перемножителя (т. 5);

4) сигнал на выходе интегратора (т. 6).

Обратите внимание на значение реакции интегратора (т.6) в момент t = T = 1мс и сделайте вывод об ортогональности выбранных сигналов.

 

Комментарии и выводы

Сигналы x(t) и ортогональны на интервале (–∞, ∞ ) (в пространстве L₂(∞ )

.

Для периодических сигналов x(t) это свойство сохраняется на интервале их периода Т.

В проведённом эксперименте свойство ортогональности сигналов s₁(t) и s₂(t) = H[s₁(t)] подтверждается на примере периодической последовательности импульсов треугольной формы (значение реакции интегратора (т. 6) в момент t = T равно нулю).

 

Задание 5

Исследуйте ортогональность двух гармонических сигналов (исходного и преобразованного по Гильберту) на интервале Т = 1 мс.

Для этого установите следующие сигналы: s1(t) – гармонический сигнал с частотой 2 кГц (вывод по каналу 1), s2(t) – H[s1(t)] (вывод по каналу 2), s3(t) = 0.

Наблюдайте и зафиксируйте осциллограммы сигналов в следующем порядке по каналам:

1) сигнал s1(t);

2) сигнал s2(t);

3) сигнал на выходе перемножителя (т. 5);

4) сигнал на выходе интегратора (т. 6).

Обратите внимание на значение реакции интегратора (т. 6) в момент t = T = 1 мс и сделайте вывод об ортогональности выбранных сигналов.

 

Комментарии и выводы

Сигналы x(t) и ортогональны на интервале (–∞, ∞ ) (в пространстве L₂(∞ )

.

Для периодических сигналов x(t) это свойство сохраняется на интервале кратном их периоду kТ (k = 2, 3, …).

В проведённом эксперименте свойство ортогональности сигналов s₁(t) и s₂(t) = H[s₁(t)] подтверждается на примере гармонического коллебания (значение реакции интегратора (т. 6) в момент t = T равно нулю).

 

2. Нелинейные преобразования сигналов

 

В этом разделе приводятся описания пяти работ, связанных с исследованиями преобразований различных сигналов в нелинейном преобразователе. Особенность лабораторного стола для проведения этих исследований состоит в том, что экраны характериографа и многоканального осциллографа, используемых в этих работах, расположены на трехкоординатной плоскости, позволяющей наблюдать диаграмму работы исследуемого нелинейного преобразователя сигналов (рис. 20).

Кроме этих приборов на лабораторном столе расположены трехканальный анализатор амплитудного спектра и анализатор функциональных характеристик. Объектом исследования во всех работах этого раздела является нелинейный преобразователь (НП), схема которого воспроизводится в правом верхнем углу лабораторного стола.

В качестве нелинейного элемента (НЭ) НП используется полевой или биполярный транзистор в зависимости от вида характеристики i = f (u_ВХ), выбираемой с помощью пункта меню «Характеристика НЭ». Предусмотрено три вида этих характеристик: квадратичная, кусочно-линейная и экспоненциальная. Для первых двух имеется возможность устанавливать напряжение отсечки в диапазоне от 0 до –10 В (рис. 21, а). Для выбора нагрузки НП (возможные варианты: резистор, колебательный контур, полосовой фильтр, ФНЧ, ФВЧ, ФНЧ + ФВЧ) следует раскрыть пункт меню «Нагрузка» (рис. 21, б). Параметры выбранной нагрузки устанавливаются движковыми регуляторами с соответствующими цифровыми индикаторами (рис. 21, в). Выбор входных для НП сигналов осуществляется раскрытием пункта меню «Сигнал» (рис.21, г) в диапазоне от простых форм (гармонический, бигармонический, простой АМ сигнал) до любых других от генератора сигналов (рис. 14). Параметры входных сигналов регулируются движковыми регуляторами (рис. 21, д).

Анализатор функциональных характеристик, экран которого расположен в правом нижнем углу лабораторного стола, позволяет получать графики функциональных характеристик (ФХ) НП вида

,

,

где I_k – амплитуда k-й гармоники выходного тока НЭ,

Е_СМ – напряжение смещения,

Е₁ – амплитуда гармонического сигнала на входе НЭ.

Для измерения ФХ следует раскрыть пункт меню «Исследование ФХ» в виде формы «Функциональные характеристики НП» (рис. 22). В ней имеется три области:

1) «Аргумент ФХ» – для выбора независимой переменной (Е_см или Е₁), диапазона и шага ее изменения;

2) «Параметры ФХ» – для установки значений выбранных параметров ФХ;

3) «Функция (ФХ) – для выбора индекса (номера гармоники) измеряемой ФХ.

 

После выбора всех вышеперечисленных параметров и нажатия кнопки «Пуск» автоматически выполняется эксперимент по снятию функциональной характеристики НП «по точкам» путем подачи гармонического сигнала с установленными параметрами на вход НП для каждого значения аргумента ФХ. В каждой такой точке вычисляется и запоминается амплитуда соответствующей гармоники выходного тока. Этот эксперимент может наглядно воспроизводиться в виде диаграммы работы НП (при включенной опции «Осц») или проводиться незримо в «теневом» режиме. По его завершении на экран анализатора ФХ выводится нормированный (по оси ординат) график ФХ, построенный по массиву ее значений для всей совокупности экспериментальных точек (значений аргумента ФХ).

 

Работа 6. Преобразование сигналов в нелинейных цепях

 

Работа «Преобразование сигналов в нелинейных цепях» предназначена для изучения изменений форм и спектров сигналов при прохождении их через нелинейные цепи.

Она содержит шесть заданий:

1. Исследование формы и спектра реакции нелинейного элемента с квадратичной функциональной характеристикой на моногармоническое воздействие.

2. Исследование формы и спектра реакции нелинейного элемента с квадратичной функциональной характеристикой на бигармоническое воздействие.

3. Исследование формы и спектра реакции нелинейного элемента с кусочно-линейной функциональной характеристикой на моногармоническое воздействие.

4. Исследование формы и спектра реакции нелинейного элемента с кусочно-линейной функциональной характеристикой на бигармоническое воздействие.

5. Исследование формы и спектра реакции нелинейного элемента с экспоненциальной функциональной характеристикой на моногармоническое воздействие.

6. Исследование формы и спектра реакции нелинейного элемента с экспоненциальной функциональной характеристикой на бигармоническое воздействие.

Задание 1

Исследуйте форму и спектр реакции нелинейного элемента с квадратичной функциональной характеристикой на моногармоническое воздействие. Для этого выберите квадратичную характеристику НЭ с напряжением отсечки U_ОТС = @[1]U В, активизируя пункты меню «Характеристика НЭ» / «Квадратичная...», и гармонический сигнал с частотой F = 1 кГц (пункт меню «Сигнал» / «Гармонический...»). Напряжение смещения Е_СМ и амплитуду E₁ установите из условия полного использования квадратичного участка характеристики НЭ, не заходя в области отсечки и насыщения.

Зафиксируйте схему нелинейного преобразователя. Наблюдайте и зафиксируйте диаграмму работы нелинейного преобразователя и спектры воздействия и реакции (выходного тока НЭ) в удобном и едином масштабе по осям частот.

Обратите внимание на количество и частоты спектральных составляющих реакции.

Сделайте выводы по результатам наблюдений.

Варианты: 1) U = –2 В, 2) U = –3 В, 3) U = –4 В, 4) U = –5 В, 5) U = –6 В.

 

Комментарии и выводы

При моногармоническом воздействии на нелинейный элемент (НЭ) с квадратичной функциональной характеристикой вида

форма его реакции искажается за счет уплощения снизу и обострения сверху, а спектр реакции обогащается второй гармоникой частоты воздействия и постоянной составляющей.

Спектральный анализ реакции НЭ с квадратичной функциональной характеристикой производят методом кратных дуг в основе которого лежит формула

.

Задание 2

Исследуйте форму и спектр реакции нелинейного элемента с квадратичной функциональной характеристикой на бигармоническое воздействие. Для этого сохраните квадратичную характеристику НЭ с

напряжением отсечки U_ОТС = @U В и установите бигармонический сигнал с частотами F = 1 кГц и f = 5 кГц (пункт меню «Сигнал» / «Бигармонический...»).

Напряжение смещения Е_СМ и амплитуды E₁ и Е₂ установите из условия полного использования квадратичного участка характеристики НЭ, не заходя в области отсечки и насыщения.

Наблюдайте и зафиксируйте диаграмму работы нелинейного преобразователя, спектры воздействия (U_ВХ) и реакции (выходного тока НЭ) в удобном и едином масштабе по осям частот.

Обратите внимание на количество и частоты спектральных составляющих реакции.

Сделайте выводы по результатам наблюдений.

Варианты: 1) U = –2 В, 2) U = –3 В, 3) U = –4 В, 4) U = –5 В, 5) U = –6 В.

Комментарии и выводы

При бигармоническом воздействии на нелинейный элемент с квадратичной функциональной характеристикой вида

форма его реакции искажается за счет уплощения снизу и обострения сверху, а спектр реакции обогащается вторыми гармониками каждой из двух частот воздействия (2f и 2F), постоянной составляющей и колебаниями комбинационных частот (f + F) и (f – F).

Спектральный анализ реакции НЭ с квадратичной функциональной характеристикой производят методом кратных дуг в основе которого лежит формула

и её частный вариант

.

 

Задание 3

Исследуйте форму и спектр реакции нелинейного элемента с кусочно-линейной функциональной характеристикой на моногармоническое воздействие. Для этого выберите кусочно-линейную характеристику НЭ с напряжением отсечки U_ОТС = –4 В, активизировав пункт меню «Характеристика НЭ» / «Кусочно-линейная...», и гармонический сигнал с параметрами:

напряжение смещения Е_СМ = –8 В,

амплитуда E₁ = 8 В,

частота F = 1 кГц.

Наблюдайте и зафиксируйте диаграмму работы нелинейного преобразователя, спектры воздействия (U_ВХ) и реакции (выходного тока НЭ) в удобном и едином масштабе по осям частот.

Обратите внимание на количество и частоты спектральных составляющих реакции.

Сделайте выводы по результатам наблюдений.

 

Комментарии и выводы

При моногармоническом воздействии на нелинейный элемент с кусочно-линейной функциональной характеристикой вида

его реакция (выходной ток) имеет вид импульсов косинусоидальной формы с углом отсечки θ, зависящим от напряжения смещения Е_см, напряжения отсечки u_отс и амплитуды входного напряжения U

Спектр реакции обогащается постоянной составляющей и гармониками частоты воздействия.

Спектральный анализ реакции НЭ с кусочно-линейной функциональной характеристикой на моногармоническое воздействие производят методом угла отсечки (коэффициентов Берга α _k(θ )), в основе которого лежит формула для расчёта её гармоник I_k

.

Задание 4

Исследуйте форму и спектр реакции нелинейного элемента с кусочно-линейной функциональной характеристикой на бигармоническое воздействие. Для этого сохраните кусочно-линейную характеристику НЭ с напряжением отсечки U_ОТС = –4 В и установите бигармонический сигнал с параметрами:

напряжение смещения Е_СМ = –8 В,

амплитуда E₁ = 4 В,

частота F = 1 кГц,

амплитуда Е₂ = 4 В,

частота f = 6 кГц.

Наблюдайте и зафиксируйте диаграмму работы нелинейного преобразователя, спектры воздействия (U_ВХ) и реакции (выходного тока НЭ) в удобном и едином масштабе по осям частот.

Обратите внимание на количество и частоты спектральных составляющих реакции.

Сделайте выводы по результатам наблюдений.

 

Комментарии и выводы

При бигармоническом воздействии на нелинейный элемент с кусочно-линейной функциональной характеристикой вида

его реакция имеет вид импульсов косинусоидальной формы с разными углами отсечки, а спектр реакции обогащается постоянной составляющей, гармониками каждой из двух частот воздействия и колебаниями комбинационных частот (mf + nF), где m и n принимают целочисленные значения (со знаком).

 

Задание 5

Исследуйте форму и спектр реакции нелинейного элемента с экспоненциальной функциональной характеристикой на моногармоническое воздействие. Для этого выберите экспоненциальную характеристику НЭ, активизировав пункт меню «Характеристика НЭ» / «Экспоненциальная», и гармонический сигнал с параметрами:

напряжение смещения Е_СМ = 0 В,

амплитуда E₁ = 2 В,

частота F = 1 кГц.

Зафиксируйте схему нелинейного преобразователя. Наблюдайте и зафиксируйте диаграмму работы нелинейного преобразователя, спектры воздействия (U_ВХ) и реакции (выходного тока НЭ) в удобном и едином масштабе по осям частот.

Обратите внимание на количество и частоты спектральных составляющих реакции.

Сделайте выводы по результатам наблюдений.

 

Комментарии и выводы

При моногармоническом воздействии на нелинейный элемент с экспоненциальной функциональной характеристикой вида

форма его реакции искажается за счет уплощения и отсечки снизу и обострения сверху,

а спектр реакции обогащается постоянной составляющей и гармониками частоты воздействия.

Спектральный анализ реакции НЭ с экспоненциальной функциональной характеристикой на моногармоническое воздействие производят методом ее разложения в ряды Фурье, коэффициентами которых являются бесселевы функции мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя).

 

Задание 6

Исследуйте форму и спектр реакции нелинейного элемента с экспоненциальной функциональной характеристикой на бигармоническое воздействие. Для этого сохраните экспоненциальную характеристику НЭ и установите бигармонический сигнал с параметрами:

напряжение смещения Е_СМ = 0 В,

амплитуда E₁ = 1 В,

частота F = 1 кГц,

амплитуда Е₂ = 1 В,

частота f = 10 кГц.

Наблюдайте и зафиксируйте диаграмму работы нелинейного преобразователя, спектры воздействия (U_ВХ) и реакции (выходного тока НЭ) в удобном и едином масштабе по осям частот.

Обратите внимание на количество и частоты спектральных составляющих реакции.

Сделайте выводы по результатам наблюдений.

 

Комментарии и выводы

При бигармоническом воздействии на нелинейный элемент с экспоненциальной функциональной характеристикой вида

форма его реакции искажается за счет уплощения снизу и обострения сверху, а спектр реакции обогащается постоянной составляющей, гармониками каждой из двух частот воздействия и колебаниями комбинационных частот (mf + nF), где m и n принимают целочисленные значения.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: