Работа 20. Прохождение случайных процессов через ФУ

 

Работа «Прохождение случайных процессов через ФУ» предназначена для изучения изменения временных и вероятностных характеристик случайных процессов в результате их прохождения через разные типовые функциональные узлы (ФУ). Она содержит пять заданий:

1. Исследование изменения равномерного закона распределения процесса при его прохождении через различные фильтры.

2. Исследование изменения нормального закона распределения процесса при его прохождении через ограничители.

3. Исследование изменения законов распределения нормального процесса при его прохождении через ограничитель и фильтр.

4. Исследование законов распределения огибающих нормального процесса и его суммы с гармоническим сигналом (прохождение случайного процесса через линейный детектор огибающей).

5. Исследование изменения функций корреляции и спектров процессов после прохождения ими фильтров разных типов.

 

Задание 1

Исследуйте изменения законов распределения процессов после прохождения ими фильтров разных типов. Для наблюдения законов распределения процессов замените анализатор спектра и ИЧХ на анализатор уровней (пункт меню «Приборы»).

Установите в качестве исходного процесса равномерный шум N1(t) с Uэфф = 0, 3 В. Наблюдайте законы распределения разных процессов в следующем порядке по каналам:

1) исходный равномерный шум N1(t) (т. 1),

2) процесс из п. 1 после прохождения

через идеальный ФНЧ с Fв = 5кГц (т. 3),

3) аналогично п. 2 процесс на выходе

идеального ФВЧ с Fн = 5 кГц (т. 4),

4) аналогично п. 2 процесс на выходе идеального ПФ

с Fo = 10 кГц и dF = 2 кГц (т. 5).

Зафиксируйте осциллограммы и гистограммы распределения значений процессов по уровням, устанавливая для них удобный масштаб путем изменения коэффициента усиления. Обратите внимание на различия в осциллограммах и законах распределения наблюдаемых процессов.

Зафиксируйте схему исследования и сделайте выводы по результатам наблюдений.

Комментарии и выводы

При прохождении случайного процесса с произвольным распределением через линейные цепи (фильтры) наблюдается явление нормализации распределения реакции на выходе цепи, если она существенно ограничивает энергетический спектр процесса по ширине. Это имеет место в случае, когда ширина полосы пропускания фильтра Δ F много меньше ширины энергетического спектра случайного процесса Δ f.

При выполнении данного задания наблюдаем нормализацию закона распределения процесса при его прохождении через ФНЧ (ширина спектра реакции ФНЧ ограничена интервалом от 0 до Fв) или ПФ (ширина спектра реакции ПФ ограничена интервалом от Fн до Fв) и её отсутствие в случае использования ФВЧ (спектр реакции ФВЧ лежит в интервале от Fн до ∞, т.е. не ограничен по ширине).

 

Задание 2

Установите в качестве исходного процесса нормальный шум N2(t) с Uэфф = 0, 3 В. Наблюдайте законы распределения разных процессов в следующем порядке по каналам:

1) исходный нормальный шум N2(t) (т. 1),

2) процесс из п.1 после прохождения через односторонний

ограничитель с нижним порогом Uнп = 0 В (т. 2),

3) процесс из п.1 после прохождения через двусторонний

ограничитель с Uнп = –0, 4 В и Uвп = 0, 4 В (т. 2),

4) процесс из п.1 после прохождения через двусторонний

ограничитель с Uнп = –0, 2 В и Uвп = 0, 4 В (т. 2).

Зафиксируйте осциллограммы и гистограммы распределения значений процессов по уровням в удобном масштабе (оперируя коэффициентом усиления К). Обратите внимание на различия в законах распределения наблюдаемых сигналов.

Зафиксируйте схему исследования и сделайте выводы по результатам наблюдений.

Комментарии и выводы

При прохождении случайного процесса (СП) с плотностью вероятности его значений w(u) через ограничитель закон его распределения между порогами ограничения сохраняется, а на порогах ограничения появляются выбросы (теоретически описываемые дельта-функциями с коэффициентами равными вероятности выхода значений СП за соответствующие пороговые значения).

Аналитическое выражение плотности вероятности процесса на выходе двустороннего ограничителя w(y) с нижним порогом ограничения х₁ (y₁) и верхним порогом ограничения х₂ (y₂) на интервале y₁ ≤ y ≤ y₂ имеет вид

а вне интервала y₁ ≤ y ≤ y₂ w(y) = 0.

 

Задание 3

Установите в качестве исходного процесса нормальный шум с Uэфф = 0, 3 В. Наблюдайте законы распределения разных процессов в следующем порядке по каналам:

1) исходный нормальный шум N2(t) (т. 1),

2) процесс из п. 1 после прохождения через двусторонний

ограничитель с Uнп = –0, 4 В и Uвп = 0, 4 В (т. 2),

3) процесс из п. 2 после прохождения через идеальный

ФНЧ с Fв = 5 кГц (т. 3),

4) процесс из п. 2 после прохождения через идеальный

ПФ с Fo = 10 кГц и dF = кГц (т. 5).

Зафиксируйте осциллограммы и гистограммы распределения значений процессов по уровням, устанавливая удобный масштаб коэффициентом усиления К. Обратите внимание на различия в осциллограммах и законах распределения наблюдаемых процессов.

Зафиксируйте схему исследования и сделайте выводы по результатам наблюдений.

Комментарии и выводы

Результаты исследований по заданию 3 подтверждают ранее полученные в заданиях 1 и 2. При прохождения СП через ограничитель в плотности вероятности СП появляются выбросы на пороговых значениях. После дальнейшей фильтрации СП (ФНЧ или ПФ) выбросы в распределении исчезают вследствие его нормализации из-за существенного ограничения ширины энергетического спектра СП этими фильтрами.

Задание 4

Исследуйте законы распределения огибающих шума и суммы сигнала с шумом (процессов на выходе линейного детектора огибающей). Установите в качестве исходного процесса нормальный шум с Uэфф = 0, 5 В. Наблюдайте законы распределения разных процессов в следующем порядке по каналам:

1) исходный нормальный шум N2(t) (т. 1),

2) процесс из п. 1 после прохождения через односторонний ограничитель с Uнп = 0 В и идеальный ФНЧ с Fв = 10 кГц (т. 3),

3) сумма Ucos(2пfot) + N2(t) при fо = 13 кГц и отношении с/ш = 2

(т. 1),

4) процесс из п. 3 после прохождения через ФУ из п. 2 (т. 3).

Зафиксируйте осциллограммы и гистограммы распределения значений процессов по уровням, устанавливая удобный их масштаб коэффициентом усиления К. Обратите внимание на различия в осциллограммах и законах распределения наблюдаемых процессов.

Зафиксируйте схему исследования и сделайте выводы по результатам наблюдений.

Комментарии и выводы

Для получения огибающей СП используется модель амплитудного детектора, составленная из одностороннего ограничителя (модель идеального диода) и ФНЧ.

Плотность вероятности огибающей w(A) нормального СП имеет несимметричную форму и располагается в области положительных значений аргумента (огибающая не может быть отрицательной), что соответствует закону Рэлея.

Аналитическое выражение закона Рэлея имеет вид

.

Плотность вероятности огибающей суммы гармонического сигнала и нормального СП приобретает более симметричную форму и смещается в область больших положительных значений, что соответствует обобщенному закону Рэлея (закону Райса).

Аналитическое выражение обобщенного закона Рэлея имеет вид

.

 

Задание 5

Исследуйте изменения функций корреляции и спектров процессов после прохождения ими фильтров разных типов. Для этого замените осциллограф коррелометром и анализатор уровней анализатором спектра (пункты меню «Приборы» / «Коррелометр, Анализатор спектра и ИЧХ»).

Установите в качестве исходного процесса нормальный шум N2(t) с Uэфф = 0, 3 В. Наблюдайте и зафиксируйте функции корреляции и нормированные энергетические спектры процессов (пункты меню «Параметры АС» / «Энергетический спектр и АЧХ») в следующем порядке по каналам:

1) исходный нормальный шум N2(t) (т. 1),

2) процесс из п.1 после прохождения через

идеальный ФНЧ с Fв = 10 кГц (т. 3),

3) аналогично п.2 процесс на выходе

идеального ФНЧ с Fв = 2 кГц (т. 3),

4) аналогично п.2 процесс на выходе

идеального ПФ с Fo = 10 кГц и dF = 2 кГц (т. 5).

Обратите внимание на различия в функциях корреляции наблюдаемых процессов и их связь со спектрами.

Зафиксируйте схему исследования и сделайте выводы по результатам наблюдений.

Комментарии и выводы

Нормированная корреляционная функция (НКФ) – коэффициент корреляции модели СП в виде белого шума мало отличается от 0 на всей оси t, кроме начальной точки, в которой R(0) = 1. Это соответствует теории, согласно которой корреляционная функция СП типа «белый шум» описывается дельта-функцией.

При пропускании белого шума через идеальный ФНЧ получаем модель СП в виде квазибелого шума. Форма его НКФ близка к функции типа sin(2пFt)/2пFt, где F – ширина спектра квазибелого шума, что соответствует теории. Время корреляции, определяемое по первому «нулю» НКФ, равно 1/2F.

При пропускании белого шума через идеальный ПФ получаем модель СП в виде узкополосного процесса. Форма его НКФ имеет вид квазигармонического колебания с частотой, равной средней частоте полосы пропускания ПФ, а огибающая принимает нулевые значения через интервалы 1/2F, где 2F – ширина полосы пропускания ПФ.

Связи между энергетическим спектром G(f) и функцией корреляции B(τ ) СП описываются теоремой Винера-Хинчина:

,

.

Аналитические выражения характеристик квазибелого шума:

1) энергетический спектр G(f) = N = 0, 5N_О в полосе частот (-F, +F) и N = 0 за её пределами;

2) корреляционная функция

.

 

Контрольные вопросы

1. Как можно вычислить плотность вероятности реакции w(y) безынерционной цепи по известным w(x) и y = f(x)?

2. Как можно вычислить математическое ожидание реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X(t)?

3. Как можно вычислить дисперсию реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X(t)?

4. Как можно вычислить функцию корреляции реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X(t)?

5. Как изменяется распределение нормального СП при его прохождении через линейную цепь?

6. Как изменяется произвольное распределение СП при его прохождении через узкополосный фильтр?

7. Огибающая случайного процесса – это …?

8. Фаза случайного процесса – это …?

9. Аналитический случайный процесс – это …?

10. Напишите выражение для математического ожидания аналитического СП.

11. Напишите выражение для дисперсии аналитического СП.

12. Напишите выражение для функции корреляции аналитического СП.

13. Каким условиям удовлетворяет стационарный аналитический процесс?

14. Каково распределение огибающей центрированного нормального СП?

15. Каково распределение фазы центрированного нормального СП?

16. Какой процесс имеет распределение огибающей

?

17. Какой процесс имеет равномерное распределение фазы?

18. Каково распределение огибающей суммы центрированного нормального СП и гармонического сигнала?

19. Какой процесс имеет распределение огибающей

?

20. Какое распределение имеет реакция амплитудного детектора на центрированный нормальный СП?

21. Какое распределение имеет реакция амплитудного детектора на сумму центрированного нормального СП и гармонического сигнала?

22. Какое распределение имеет реакция фазового детектора на центрированный нормальный СП?

23. При прохождении через какие ФУ наблюдается нормализация распределения «белого шума»?

24. Нарисуйте подходящие для узкополосного СП осциллограммы его реализации.

25. Определите мощность СП с энергетическим спектром G_O = 20 мВ²/Гц на выходе идеального ПФ с шириной полосы пропускания 1 кГц.

26. Определите эффективное значение напряжения СП с энергетическим спектром G_O = 10 мВ²/Гц на выходе.

⇐ Предыдущая13141516171819202122Следующая ⇒

Поделиться: