Формы записи комплексных чисел

Запись комплексного числа   в виде   называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим , .

;             

;             

;                  

 

 

Запись комплексного числа  в виде  называется тригонометрической формой комплексного числа.

Используя формулу Эйлера , комплексное число   можно записать в так называемой показательной форме: .

 

Запись комплексного числа  в виде   называется показательной формой комплексного числа.

Пример: Представить в тригонометрической и показательной  формах комплексные числа:

1. ;

Решение: ; ;

;

, так как ;

.

Ответ: .

2. .

Решение:

;       ;

; ;

.

Ответ: .

Вывод:

1) Аргумент действительного числа : , если ; , если .

2) Аргумент мнимого числа : , если ; , если .

Упражнения:

1. Построить точки, изображающие комплексные числа:

  1;  – 1; ;    i; –5 i; ; .

1. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

  1;  – 1; ;    i; – i; ; ; .

Действия над комплексными числами

 

Сложение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме

;                  ;

 

Определение: Суммой двух комплексных чисел   и  называется комплексное число , определяемое равенством

.

Частный случай: Сложение сопряжённых комплексных чисел   и    есть число действительное:

 

Вычитание комплексных чисел, заданных в алгебраической форме      

;                  ;

Определение: Разностью двух комплексных чисел   и  называется такое комплексное число , которое, будучи сложенным с числом , даёт число , т. е. , если .

Частный случай: Вычитание сопряжённых комплексных чисел   и    есть число мнимое:

Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме

;                  ;

 

Определение: Произведением двух комплексных чисел   и   называется комплексное число , определяемое равенством

Вывод: .

 

Пример: .

Частный случай: Произведение сопряжённых комплексных чисел   и   есть число действительное:

Умножение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

;   

Правило: При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

 

Замечание: Правило умножения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть п одинаковых множителей, равных , то

– формула Муавра

Правило: При возведении в степень с натуральным показателем комплексного числа его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример: Найти .

Решение: Запишем число   в тригонометрической форме:

;       ;

; , так как ;

;

.

Ответ:    .

Рассмотрим степень мнимой единицы :

; ;

;

; ;

;

Правило: Чтобы возвести мнимую единицу в степень с натуральным показателем, надо возвести её в степень с показателем, равным остатку от деления данного показателя на 4.

Пример:    .

 

Деление комплексных чисел, заданных в алгебраической форме

;                  ;

Определение: Частным двух комплексных чисел   и  называется такое комплексное число , которое, будучи умноженным на число , даёт число , т. е. , если .

Замечание: На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).

Пример: Выполнить деление .

Решение: .

Ответ: .

Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

;                ;

Правило: При делении комплексных чисел их модули, соответственно, делятся, а аргументы, соответственно, вычитаются.

Извлечение корней из комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

;           ;

Определение: Корнем п-ной степени из комплексного числа     называется комплексное число , удовлетворяющее равенству , т. е. , если .

 

Пусть , а , тогда по определению и формуле Муавра . Отсюда следует, что , . То есть   и .

Замечание: При   получим п различных значений корня. При других значениях , в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными. Например, при :

 

Вывод: Для любого   корень п-ой степени из числа  имеет ровно п различных значений.

Пример: Найти значения .

Решение:

Запишем подкоренное выражение    в тригонометрической форме: ;

.

При         ;

При   ;

При .

Ответ: ; ; .

Упражнения:

1. Найти ; ; ; , если , .
2. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) .

1. Найти модуль комплексного числа .
2. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

1) ;

2) ;                    3) .

1. Вычислить:

1) ;    2) ;    3) ; 4)  .

⇐ Предыдущая12

Поделиться: