Далее, подставив (6.6) в уравнение неразрывности (6.1). получим

(6.7)

или (6.8)

- это и есть дифференциальное уравнение неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.

В случае установившейся фильтрации и уравнение (6.7) принимает вид

, (6.9)

или , (6.10)

т.е. при установившейся фильтрации обобщенная функция Лейбензона удовлетворяет уравнению Лапласа.

Аналогия установившейся фильтрации сжимаемого флюида с фильтрацией несжимаемой жидкости

Введение функции Лейбензона в уравнения позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемого флюида и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости.

В дальнейшем принимаем, что проницаемость среды и динамический коэффициент вязкости флюида постоянны, т.е. k=const и m=const, а плотность флюида r=r(Р). Тогда можно ввести функцию Лейбензона как

, (6.11)

при этом . (6.12)

Запишем закон Дарси для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в дифференциальной форме (1.15) через расход

, (6.13)

где Q=const; w(S) - площадь поперечного сечения струйки.

При установившейся фильтрации сжимаемого флюида по всей длине струйки массовый расход сохраняется постоянным:

Q_m= rQ = const.

Умножив обе части равенства (6.13) на плотность флюида r(Р) и используя соотношение (6.12), имеем

, Q_m =const. (6.14)

Легко видеть, что выражения (6.13) и (6.14) являются однотипными дифференциальными уравнениями, в которых объемному расходу Q несжимаемой жидкости соответствует массовый расход Q_m сжимаемого флюида, а давлению в уравнении (6.13) соответствует функция Лейбензона в уравнении (6.14).

Уравнения движения (6.2) для несжимаемой жидкости связывают скорость фильтрации V с давлением Р, а для сжимаемого флюида – массовую скорость фильтрации c функцией Лейбензона в уравнениях (6.6).

Отсюда вывод (аналогия): все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях, заменив соответствующие параметры:

Несжимаемая жидкость	Сжимаемый флюид
Объемный расход – Q Давление - Р Объемная скорость фильтрации - V	Массовый расход - Q_m Функция Лейбензона - Массовая скорость фильтрации -

При этом помним, что при фильтрации сжимаемого флюида под давлением Р понимается абсолютное давление.

Установившаяся фильтрация упругой жидкости

Прежде всего найдем выражение функции Лейбензона для упругой (слабо сжимаемой) жидкости, описываемой уравнением состояния (2.14):

. (6.15)

Если , то можно взять уравнения состояния упругой жидкости в виде (2.15). Тогда из (6.15) получаем следующее выражение для функции Лейбензона

. (6.16)

Подставив (6.16) в дифференциальное уравнение (6.9), получим

. (6.17)

Как следует из выражения (6.17), при установившейся фильтрации упругой жидкости плотность можно считать постоянной, поэтому при решении практических задач с установившейся фильтрацией упругой жидкости можно пользоваться формулами для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости. Однако в случае фильтрации упругой жидкости в пласте с очень высоким пластовым давлением и при большой депрессии, следует использовать функцию Лейбензона (6.15), поскольку возможны большие погрешности.

Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток

Идеального газа

На основании уравнения состояния идеального газа (2.18)

при изотермическом процессе, находим функцию Лейбензона

. (6.18)

Используя аналогию между течением несжимаемой жидкости и течением газа найдем характеристики фильтрационного потока газа по аналогии с соответствующими характеристиками потока несжимаемой жидкости.

1) Распределение давления в прямолинейно-параллельном фильтрационном потоке (рис.8) несжимаемой жидкости

При фильтрации газа аналогичное соотношение справедливо для функции Лейбензона:

Используя выражение функции Лейбензона (6.18)

; ,

находим распределение давления Р(х) в прямолинейно-параллельном потоке идеального газа

, (6.19)

т.е. давление по длине пласта Р(х) изменяется по параболическому закону (рис.36, кривая 1), а зависимость Р²(х) – прямолинейная.

Рис. 36

2) Градиент давления в потоке несжимаемой жидкости имеет вид

По аналогии градиент функции Лейбензона для потока газа будет

. (6.20)

Дифференцируя по Х выражение (6.18) и используя выражения и , из уравнения (6.20) получим распределение градиента давления в фильтрационном потоке газа