ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И ОБРАБОТКА

РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТОВ

 

После выбора плана эксперимента, основных уровней и интервалов варьирования факторов переходят к эксперименту. Каждая строка матрицы — это условия опыта. Для исключения систематических ошибок рекомендуется опыты, предусмотренные матрицей, проводить в случайной последовательности. Последовательность проведения опытов следует выбирать по таблице случайных чисел (табл.3). Например, если требуется провести восемь опытов, то из случайного места таблицы последовательно выписывают числа, лежащие в интервале от 1 до 8, при этом отбрасывают уже выписанные числа и числа больше восьми. Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый опыт рекомендуется повторить п раз. Опыты, повторенные несколько раз при одних и тех же значениях факторов, называют параллельными. В дальнейшем обработку экспериментальных данных следует проводить аналогично обработке данных в лабораторной работе № 1.

 

ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА И СДАЧА ЗАЧЕТА

ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

После выполнения лабораторной работы студент оформляет отчет, в котором приводятся кратко теоретические положения, матрица планирования первого порядка, заполненная с учетом результатов проведенных экспериментов и результатов измерения шероховатости шлифованных поверхностей. В отчете приводятся расчеты, на основании которых получена многофакторная модель.

Приводится проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии и адекватности модели, а также графики зависимостей, связывающих параметр оптимизации с независимыми факторами.

Отчет студента по лабораторной работе состоит в правильных ответах студента на вопросы преподавателя, касающихся как методики планирования, постановки и проведения экспериментов, их статистической обработки, так и объяснения физической сущности влияния того или иного фактора на параметр оптимизации.

 

Лабораторная работа № 3

 

«Планирование и реализация центрального

Композиционного рототабельного многофакторного эксперимента второго порядка»

Цель работы: изучение и освоение методики планирования и практической реализации центрального композиционного рототабельного многофакторного эксперимента второго порядка.

Задание

1. На основании результатов обработки данных и получения неадекватной линейной многофакторной модели разработать матрицу центрального композиционного рототабельного многофакторного эксперимента второго порядка.

2. Реализовать матрицу планирования второго порядка, предварительно рандомизировав проведение опытов во времени;

3. Рассчитать коэффициенты регрессии и проверить их значимость;

4. Проверить гипотезу адекватности найденной модели второго порядка, связывающей параметр оптимизации с независимыми факторами_;

5. Построить графики зависимостей параметра оптимизации от независимых факторов.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

 

В процессе реализации центрального композиционного ортогонального плана функцию отклика в области оптимума обычно удается аппроксимировать полиномом второй степени вида

Для оценки всех коэффициентов полинома второй степени необходимо, чтобы в плане эксперимента каждый фактор принимал не менее трех значений. Применение планов типа 3^k связано с большим числом опытов. Более рациональным является центральное композиционное планирование.

Центральный композиционный план второго порядка получают достройкой некоторого количества точек к «ядру», образованному линейным планом. При числе к факторов менее пяти за «ядро» центрального композиционного плана обычно принимают план полного факторного эксперимента типа 2 ^k.

Если число факторов более пяти, то за «ядро» центрального композиционного плана принимают полуреплику от полного факторного эксперимента. Такой выбор «ядра» центрального композиционного плана обусловлен тем, что от «ядра» плана требуется раздельная оценка всех линейных эффектов и парных эффектов взаимодействия.

Для двух факторов центральный композиционный план второго порядка может быть представлен следующей схемой (рис. 1).

К полному факторному эксперименту 2² (точки 1, 2, 3, 4) добавляют некоторое число n₀ опытов в центре плана (точка 9)и четыре «звездных» точки 5, 6, 7, 8 с координатами ( +  ; 0); (–  ; 0); (0, + ); (0; – ).

План второго порядка для двух факторов может быть представлен матрицей (табл.1).

Чтобы получить центральный композиционный план второго порядка для трех факторов, к полному факторному эксперименту 2³ добавляют шесть «звездных» точек с координатами ( +  ; 0; 0); (–  ; 0; 0); (0; +  ; 0); (0; – ; 0); (0; 0; + ); (0; 0; – ) и некоторое число n₀ точек в центре плана.

Центральный композиционный план второго порядка для трех факторов может быть выражен матрицей (табл. 2).

 

 

 

                                                                            

 

Рис. 1. Схема центрального композиционного плана второго порядка

для двух факторов

 

Таблица 1

Матрица центрального композиционного плана второго порядка

для двух факторов

Содержание плана	Номер опыта	X0	X1	Х2	X1 Х2	X12	Х22	Y
План Типа 22	1	+	+	+	+	+	+	Y1
	2	+	-	+	-	+	+	Y2
	3	+	+	–	-	+	+	Y3
	4	+	-	–	+	+	+	Y4
«Звездные» точки	5	+	+	0	0		0	Y5
	6	+		0	0		0	Y6
	7	+	0	+	0	0		Y7
	8	+	0		0	0		Y8
Нулевая точка	9	+	0	0	0	0	0	Y9

 

Таблица 2

Матрица центрального композиционного плана второго порядка

для трех факторов

Содержа-ние плана	Номер опыта	X0	X1	Х2	Х3	X1 Х2	X1 Х3	X2 Х3	X12	Х22	Х32	Y
План Типа 22	1	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	Y1
	2	+	-	+	+	–	-	+	+	+	+	Y2
	3	+	+	-	+	–	+	–	+	+	+	Y3
	4	+	-	-	+	+	-	–	+	+	+	Y4
	5	+	+	+	–	+	-	–	+	+	+	Y5
	6	+	-	+	–	–	+	–	+	+	+	Y6
	7	+	+	-	–	–	-	+	+	+	+	Y7
	8	+	-	-	–	+	+	+	+	+	+	Y8
«Звездные» точки	9	+		0	0	0	0	0		0	0	Y9
	10	+		0	0	0	0	0		0	0	Y10
	11	+	0		0	0	0	0	0		0	Y11
	12	+	0		0	0	0	0	0		0	Y12
	13	+	0	0		0	0	0	0	0		Y13
	14	+	0	0		0	0	0	0	0		Y14
Нулевая точка	15	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	Y15

 

Общее число N опытов центрального композиционного план; зависит от числа k факторов и определяется по выражению .

Величину «звездного» плеча  и число опытов n₀ в центре плана выбирают в зависимости от принятого критерия оптимальности. За критерий оптимальности обычно принимают ортогональность или ротатабельность плана.

Ортогонализация планов достигается выбором «звездного» плеча . Значения «звездного» плеча , вычисленные для различного числа факторов, приведены в табл. 3.

Если ортогональность принять за достаточный критерий оптимальности плана эксперимента, то на число опытов в центре плана не накладывается какого-либо ограничения.

 

 

Таблица 3

Величина «звездного» плеча

Число независимых переменных	Ядро плана	Число дополнительных опытов	Величина плеча
2	22	5	1, 000
3	23	7	1, 215
4	24	9	1, 414
5	25-1	11	1, 547

 

Ортогональный центральный композиционный план второго порядка для двух факторов может быть представлен матрицей (табл. 4).

 

Таблица 4

Ортогональный центральный композиционный план второго порядка

для двух факторов

Содержание плана	Номер операции	X0	X1	Х2	X1 Х2	X12-2/3	Х22-2/3	Y
План типа 22	1	+	+	+	+	+ 1/3	+ 1/3	Y1
	2	+	-	+	–	+ 1/3	+ 1/3	Y2
	3	+	+	–	–	+ 1/3	+ 1/3	Y3
	4	+	–	–	+	+ 1/3	+ 1/3	Y4
«Звездные» точки с плечом	5	+	+	0	0	+ 1/3	– 2/3	Y5
	6	+	–	0	0	+ 1/3	– 2/3	Y6
	7	+	0	+	0	– 2/3	+ 1/3	Y7
	8	+	0	–	0	– 2/3	+ 1/3	Y8
Нулевая точка	9	+	0	0	0	– 2/3	– 2/3	Y9

2. ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И ОБРАБОТКА

РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТОВ

 

Для получения модели второй степени, связывающей параметр оптимизации с независимыми факторами, необходимо провести дополнительные к плану первого порядка опыты согласно матрице планирования, представленной в табл.4 (приведенная матрица соответствует двум факторам, в случае числа факторов больше двух необходимо составить новую матрицу планирования).

Обработку экспериментальных данных проводим, с учетом результатов опытов в звездных точках факторов.

Благодаря ортогональности матрицы планирования коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга по формуле

где i – номер столбца матрицы; j – номер опыта; X_ij – элементы соответствующего столбца матрицы; Y_i – значение параметра оптимизации в i-м опыте.

Дисперсии коэффициентов регрессии определяются по формуле

Дисперсии коэффициентов не равны, так как суммы квадратов элементов столбцов матрицы

не равны друг другу.

Реализация опытов по матрице планирования с квадратичной переменной позволяет построить модель вида

Неизвестный коэффициент b₀ находят по выражению

с дисперсией

.

 

Проверка адекватности уравнения второго порядка, полученного после центрального композиционного ортогонального планирования, производится так же, как и проверка адекватности линейной модели, полученной при реализации плана первого порядка.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: