Измерения в психолого-педагогическом исследовании

Понятие диагностической шкалы. В результатах педагогической диагностики тесно взаимосвязаны качественные и количествен­ные характеристики. Качество — это совокупность свойств, ука­зывающих на то, что представляет собой предмет, чем он являет­ся. Качеством называется также существенная определенность пред­мета, явления или процесса, в силу которой они являются дан­ным предметом, явлением или процессом. Традиционно качество раскрывается с помощью описания признаков.

Количество определяет размеры и отождествляется с мерой, числом, измерением. При этом измеряется не сам объект, а его свойство или отличительный признак. В широком смысле измере­ние — это особая процедура, посредством которой числа (или порядковые величины) приписываются вещам по определенным правилам. Сами правила состоят в установлении соответствия между некоторыми свойствами чисел и некоторыми свойствами вещей. Возможность данного соответствия и обосновывает важность из­мерения в педагогике.

Анализируя качество, исследователь определяет, к какому клас­су уже известных явлений принадлежит данное качество и в чем его специфика. Затем устанавливает причинно-следственные за­висимости между явлениями. Задача количественного анализа сво­дится к измерению и счету выявленных свойств. Переход от каче­ственного изучения к количественному описанию осуществляет­ся в следующей последовательности действий:

243

- регистрация — выявление определенного качества у явлении данного класса и подсчет количества его проявлений (например, количество выборов при социометрических методиках);

- ранжирование — расположение собранных данных в опреде­ленной последовательности (убывание или нарастание зафикси­рованных показателей), определение места в этом ряду изучаемых объектов (например, составление списка членов группы в поряд­ке убывания их выборов);

- шкалирование — присвоение баллов или других цифровых
показателей исследуемым характеристикам.

Шкала (от лат. зса1а — лестница) представляет собой числовую систему, в которой отношения между различными свойствами объектов выражены свойствами числового ряда. Шкала — это спо­соб упорядочивания объектов произвольной природы. Шкалиро­вание как количественный метод исследования дает возможность ввести цифровые показатели в оценку отдельных сторон педаго­гических явлений.

Это требует глубокого проникновения в суть изучаемых (в том числе педагогических) явлений, логического осмысления про­блемы. Например, чтобы измерить степень развития любого мо­рального качества у школьников, следует установить, в чем кон­кретно оно проявляется. Затем эти конкретные проявления вклю­чаются в шкалу в виде непрерывного ряда от простого к сложно­му. Каждое из конкретных проявлений морального качества оце­нивается количественно.

Измерения можно проводить на четырех уровнях, каждому из которых соответствует своя шкала: 1) шкала наименований (или номинальная шкала), 2) шкала порядка (или ранговая, ординаль­ная шкала); 3) интервальная шкала, 4) шкала отношений (про­порциональная шкала).

При этом каждый тип шкалы может быть охарактеризован со­ответствующими числовыми свойствами. Рассмотрим более под­робно основные свойства разных типов шкал, эмпирические опе­рации, допустимые для каждого типа шкал, а также статистиче­ские приемы обработки и анализа исходных, или, как их чаще называют, первичных, результатов исследования.

Номинальная шкала. Шкалу наименований иначе называют номинальной (назывной), потому что с ее помощью предметы лишь группируются по классам на основании наличия у них об­щего признака или свойства. С помощью шкалы каждой группе приписывается определенный числовой индекс.

Примером таких шкал является группировка людей по полу, социальному положению, месту жительства, семейному положе­нию. Очевидно, что, присвоив, к примеру, девочкам индекс 0, а

244

мальчикам — 1, мы с уверенностью можем сказать лишь то, что эти группы различаются по данному признаку, если их ин­дексы различны (или равны, если равны их индексы). Определить же, на сколько или во сколько раз они отличаются и даже какой показатель больше или меньше, номинальная шкала не позволяет. Цифровые индексы 0 и 1 взяты нами произвольно, вместо них вполне возможно обозначить группы другими цифрами в любом порядке, к примеру: 187 и 59. Эти числа — всего лишь имена. Потому шкала и называется номинальной (от лат. потеп — имя).

Мы выполнили бы номинальное измерение, если бы присвоили число 1 англичанам, 2 — немцам, а 3 — французам. Равна ли одно­му французу сумма одного англичанина и одного немца (1 + 2 = 3)? Конечно, нет. Если процесс присвоения чисел предметам представ­лял собой номинальное измерение, то действия с величиной, по­рядком и прочими свойствами чисел не будут иметь никакого смыс­ла по отношению к самим предметам, поскольку мы не интересо­вались величиной, порядком и другими свойствами чисел, когда присваивали их (В. Г. Максимов).

При построении шкал наименований главными являются ка­чественные различия, а количественные не принимаются во вни­мание. Поэтому числа, используемые для обозначения классов эквивалентности в этих шкалах, не отражают количественных раз­личий выраженности изучаемого признака.

Назначение номинальной шкалы состоит в различении объек­тов по наличию или отсутствию признака, и применяется она для классификации объектов.

Порядковая (или ранговая) шкала измерений. Порядковая шка­ла (ординальная, ранговая) — это упорядоченная номинальная шкала, которая устанавливает не только равенство между объек­тами по выбранным признакам, но и отношения порядка. Она позволяет обнаружить в предметах различия в степени выражен­ности признака или свойства.

Общий вид порядковой шкалы:

а) максимально положительный ответ;

б) положительный ответ;

в) отрицательный ответ;

г) максимально отрицательный ответ.

При помощи порядковой шкалы изучаются отношения опра­шиваемого к различным объектам, измеряется степень оценки им каких-то предметов и явлений, интенсивность проявления неко­торых личностных характеристик, педагогических явлений.

Если ответам на приведенной выше ранговой шкале присвое­ны номера 4, 3, 2, 1, то столь же правомерно и присвоить номера

245

254, 52, 37, 0 — важно лишь, что эти четыре числа идут в поряд­ке убывания. Порядковая шкала не дает возможности изменить расстояние между объектами, проецируемыми на нее, она харак­теризует только порядок расположения объектов по возраста­нию или убыванию их свойств. Данный вид измерения использует два свойства чисел — различие их и порядок расположения. Шка­ла порядка неравномерна. Расстояния между соседними метками шкалы неизвестны. Следовательно, некорректно складывать, вы­читать, умножать, делить порядковые места или с их помощью вычислять среднее арифметическое значение.

То, что Саша в классе первый по росту, а Денис — третий, озна­чает лишь то, что Саша самый высокий и между ним и Денисом есть еще кто-то один. Но знание ранга не дает возможности ответить на такие вопросы, как «на сколько? » или «во сколько раз? ». Зато мож­но с уверенностью сказать, что если Сергей выше Артема, а Миха­ил ниже Артема, то Сергей выше Михаила.

Школьные отметки также представляют собой ранговую шкалу, которая позволяет утверждать, что ответ на «5» лучше, чем на «3». Здесь отсутствует равномерность распределения между выстав­ляемыми отметками. Никто не может утверждать, будто различие между отметками «1» и «2» столь же велико, как между «3» и «4» или «4» и «5». Именно поэтому неправомерно выставлять в качестве ито­говой оценки среднюю арифметическую.

Порядковая шкала позволяет различать уровень проявления свойств объекта, но не определяет величину различия проявления свойств, поскольку не имеет эталона (масштабной единицы). Ее применение целесообразно в целях упорядочения совокупности объектов по интенсивности проявления диагностируемого свойства.

Большая часть шкал, широко применяемых в педагогических, социологических, социально-психологических исследованиях, — это шкалы порядка.

Интервальная шкала. Такое присвоение объектам чисел, при котором равные разности чисел соответствуют равным разностям значений измеряемого признака или свойства объектов, стано­вится возможным при использовании интервальной шкалы. Она образуется на основе порядковой шкалы путем присвоения чис­ловых эквивалентов ее делениям. Интервальная шкала характери­зуется тем, что интервалы между объектами могут быть измере­ны, а значит, появляется возможность определять не только при­знаки свойств предметов, но и количественное различие степе­ней свойств этих предметов.

Шкала интервалов имеет отличительные свойства, заключаю­щиеся в следующих возможностях: определение признаков, свойств предметов, выявление различия в степени измеряемых свойств,

246

опора на условно определенную нулевую точку отсчета, произ­вольное определение величины единицы измерения (интерваль­ной величины).

Для интервального измерения устанавливается единица изме­рения (градус, метр, сантиметр, грамм и т.д.). Предмету присваи­вается число, равное количеству единиц измерения, которое при­близительно соответствует количеству измеряемого свойства. На­пример, температура металлического бруска равна 86 °С.

При создании шкал интервалов основная проблема состоит в том, чтобы изобрести такие операции, которые позволили бы уравнять единицы шкал. В шкале имеются интервалы с соответ­ствующими номерами, и характер ответов испытуемого фиксиру­ется на определенной точке шкалы, выражающей его отношение к данному вопросу.

Для получения интервальной шкалы используют вопросы с оценкой: закрытые вопросы, к которым прилагается оценочная характеристика типа «полностью одобряю», «отношусь нейтраль­но», «он вызывает во мне некоторое неодобрение», «...полное неодобрение», «не знаю». В этом случае исследователь получает не только тот ответ, с которым респондент согласен, но и тот, с которым он не согласен, а также видит меру этого согласия и несогласия. В результате появляется возможность провести коли­чественную обработку ответов, дав каждому ответу определенную количественную оценку.

Для построения трехградусной односторонней шкалы на вопрос «Доволен ли ты своей школой? » предлагается три ответа: очень — 10; не очень — 5; не доволен — 0.

Многоградусная односторонняя шкала имеет такой вид: очень доволен — 6; относительно доволен — 4; не очень доволен — 2; совсем не доволен — 0.

Шкалы могут быть и двусторонние, т.е. иметь оценку ответов со знаком «минус». Например, на вопрос «Окончив школу, как ты будешь о ней вспоминать? » даются следующие ответы: очень хорошо «+10»; довольно хорошо «+5»; нейтрально «0»; довольно плохо «-5»; очень плохо «-10».

Шкалам интервалов присущи все те отношения, которые харак­терны для номинальных и порядковых шкал. Кроме того, для них возможно использование операций установления равенства, разно­сти, сопоставления «больше — меньше» в отношении измеряемых свойств, а также утверждение равенства интервалов и равенства раз­ностей между значениями одной шкалы. Однако операции сложе­ния, умножения и деления с этими данными сомнительны. Между показаниями на интервальной шкале нельзя установить пропорций (соотношения). К примеру, предмет, имеющий температуру 30°, не будет втрое теплее того, у которого температура 10°.

247

Эти рассуждения обусловлены тем, что три момента на шкале интервалов устанавливаются произвольно: нуль шкалы (точка от­счета, которая не означает полного отсутствия измеряемого при­знака), величина единицы измерения и направление, в котором ведется подсчет.

Шкала интервалов имеет масштабную единицу, благодаря чему позволяет определять различие, степень проявленности и величину различия измеряемого свойства объекта. Она не определяет уровня исчезновения свойства и пропорций. Эту шкалу целесообразно при­менять в тестовых методиках.

Шкала отношений. Когда нулевая точка на интервальной шка­ле не произвольна, а указывает на полное отсутствие измеряемо­го свойства, эта шкала становится шкалой отношений, или про­порциональной шкалой. Второе название указывает на то, что числа, приравниваемые к классам объектов, пропорциональны степени выраженности измеряемого свойства. В условиях шкалы отношений возможны утверждения, что у А в 2 (5, 7, 5) раза боль­ше свойств, чем у В. Измеритель может заметить отсутствие свой­ства и имеет единицу измерения, позволяющую регистрировать различающиеся значения признака.

Шкала отношений характеризуется возможностью определе­ния каждого из следующих четырех соотношений: равенство, ран­говый порядок, равенство интервалов и равенство отношений. Все операции с цифрами (сложение, вычитание, умножение и деле­ние) можно производить без каких-либо ограничений. Примера­ми измерения в шкале отношений могут служить измерение раз­меров и массы предметов, измерение температуры по шкале Кель­вина. Числа, присвоенные объектам, обладают всеми свойствами объектов интервальной шкалы, но помимо этого на шкале суще­ствует абсолютный нуль.

Шкала отношений определяет абсолютно любые отношения между уровнями проявления свойств, имеет масштабную единицу, фиксирует исчезновение свойства.

В психолого-педагогической диагностике она используется край­не редко, например для измерения скорости выполнения зада­ния, количества сделанных однородных ошибок, количества за­поминаемых при первоначальном изучении слов иностранного языка и т.д.

Специфика использования разных типов шкал. Разработка шка­лы для измерения требует учета таких условий, как соответствие измеряемых объектов, явлений измерительному эталону; выявле­ние возможности измерения интервала между различными про-

248

явлениями измеряемого свойства; определение конкретных пока­зателей различных проявлений измеряемых явлений.

Различие уровней измерения качества можно проиллюстриро­вать простым примером:

- если в диагностике используется критерий факта, т.е. выяв­ляется наличие или отсутствие какого-либо свойства, то получает­ся номинальная шкала (к подобным свойствам, например, относит­ся пол испытуемого);

- если можно установить и степень выраженности этого свой­ства («больше» — «меньше»), то строится ранговая шкала (приме­ром таких свойств является степень произвольности внимания);

- если фиксируется, насколько диагностируемое свойство у од­них испытуемых выражено больше, чем у других, то можно полу­чить интервальную шкалу (большинство тестов успеваемости, на­пример, дают такую возможность);

- если же выясняется, во сколько раз больше свойство выраже­но у одних испытуемых чем у других, то получим пропорциональ­ную шкалу (например, антропометрические параметры: рост, мас­са, объем легких и т.д.).

Шкалы наименований самые «слабые». Числа в них использу­ются только для обозначения принадлежности исследуемого объек­та к определенному классу. В ранговых шкалах устанавливается порядок следования, отношения «больше» и «меньше», общая иерархия. Интервальная шкала дополнительно предусматривает определенные расстояния между отдельными (двумя любыми) числами на шкале, а в шкале отношений, кроме того, определена еще и нулевая точка (точка отсчета). Однако по мере возрастания точности и функциональности шкал возрастает и трудность в их разработке, усложняются соответствующие диагностические ме­тодики. Поэтому в соответствии с решаемыми конкретными зада­чами каждый раз следует выбирать минимально достаточную шкалу.

Выделение уровней развития исследуемого свойства — одна из типичных проблем при выборе оптимальной шкалы. При целост­ном подходе к изучению педагогических явлений и процессов раз­витие понимается как переход качества от низших уровней к выс­шим. При выделении уровней чаще всего берут за основу струк­турно-функциональный признак: измеряемое качество (например, отношение) при переходе на другой уровень меняет свою струк­туру и функции.

Применяя категорию целостности, можно рассматривать каж­дый новый уровень развития как качественно определенное со­стояние целого. Считается, что переход качества на более высо­кий уровень означает не исчезновение интегративных свойств предшествующего уровня, а преобразование их в более совершен­ные. Некоторые ученые отмечают, что путь развития есть систем-

249

но-целостный процесс и включает следующие четыре уровня си­стемности.

Первый уровень — аморфность системы, разрозненность ее элементов, отсутствие устойчивых связей между ними, когда нет еще возможности говорить о сколько-нибудь сложившейся структуре. Система ведет себя непредсказуемо, велика ее зависи­мость от условий внешней среды.

Второй уровень — появление связей между группами эле­ментов в системе, в ней образуются «фрагменты структуры», ус­танавливаются причинно-следственные связи, поведение систе­мы становится предсказуемым в определенных ситуациях, но ос­тается неустойчивым.

Третий уровень — наличие связей практически между все­ми элементами системы, выстраивание ее внутренней структуры, более устойчивое поведение системы, т. е. оно проявляется на уров­не тенденций в большинстве ситуаций жизнедеятельности. Это уровень связного целого, однако система еще неустойчива, ее структура с большой степенью вероятности может быть разруше­на внешними воздействиями.

Четвертый уровень — оптимально связное целое, связи между элементами системы устойчивы, выстраиваются в иерар­хическую структуру; устойчивым и автономным (относительно не­зависимым от внешней среды) становится и поведение системы. Это стадия саморазвития системы, когда усиливаются внутрен­ние факторы ее развития, а внешние отступают на второй план, когда система включает освоенную среду в качестве элементов своей структуры.

Выделенные уровни могут стать основой для построения ран­говой шкалы, которую при соответствующей статистической об­работке можно перевести в интервальную.

9.2. Математическая и статистическая обработка данных¹

Использование статистики в исследовании. Там, где это возмож­но, качественный анализ результатов диагностики стремятся до­полнить количественным — математической обработкой и стати­стическим анализом. Методы статистики позволяют не только ус­тановить причинно-следственную связь, но и прогнозировать про­текание процессов на основе статистических моделей. Имеются три главных раздела статистики.

• Описательная статистика позволяет описывать, подытожи­вать и воспроизводить в виде таблиц или графиков данные того

В разделе использованы материалы и разработки М.И.Еременко.

250

или иного распределения, вычислять среднее для данного рас­пределения, его размах и дисперсию.

• Индуктивная статистика необходима тогда, когда требуется проверить, можно ли распространить результаты, полученные на данной выборке, на всю популяцию, из которой выборка взята. Иначе говоря, она позволяет установить, до какой степени мож­но путем индукции распространить на большее число объектов ту или иную закономерность, обнаруженную при изучении ограни­ченной группы в ходе какого-либо наблюдения или эксперимента. Следовательно, индуктивная статистика необходима после полу­чения эмпирических данных, на этапе обобщения и конструиро­вания выводов.

• Корреляция показывает вероятностную или статистическую зависимость. В отличие от функциональной зависимости корреля­ция возникает тогда, когда зависимость одного из признаков от другого осложняется наличием ряда случайных факторов.

Выбор методов обработки данных, полученных в результате диагностики, во многом определяется тем, какой шкалой (номи­нальной, ранговой, интервальной или шкалой отношений) пользовались при измерениях; подчиняются ли полученные дан­ные закону нормального распределения; являются ли сравнивае­мые выборки зависимыми или независимыми.

Соответственно ответом на эти вопросы при анализе и матема­тической обработке массового материала применяются статисти­ческие методы, в число которых входят вычисление средних вели­чин, а также подсчет степеней рассеивания около этих величин — дисперсии, среднего квадратичного отклонения, коэффициента вариации и др.

Основные этапы обработки результатов. Полученные в резуль­тате диагностики данные — это основные элементы, подлежащие анализу. Данными могут быть количественные результаты, другая информация, которую можно классифицировать или разбить на категории с целью обработки.

Применение в педагогическом исследовании статистических методов включает в себя следующие этапы.

Сбор эмпирических данных методами наблюдения, тестирования, эксперимента, анкетирования и других в целях получения коли­чественных сведений о каких-либо явлениях, заполнение матема­тической модели конкретными цифрами.

Сводка полученных сведений, нахождение обобщающих число­вых данных и их обработка в пределах формальной математиче­ской модели.

Составление математической модели для последующего описа­ния с помощью цифр существенных свойств изучаемого объекта.

Анализ и интерпретация данных, конструирование содержатель­ных педагогических выводов.

9^1

Статистическая обработка цифровых данных начинается с груп­пировки. Для этого прежде всего необходимо расположить данные каждой выборки в возрастающем порядке. Многие данные прини­мают одни и те же значения, причем одни из них встречаются чаще, другие — реже. Графически распределение можно предста­вить в виде столбиковых диаграмм. При этом распределение дан­ных по их значениям дает больше информации, чем простое пред­ставление в виде рядов. Подобную группировку используют в ос­новном для качественных данных, четко разделяющихся на обо­собленные категории.

Количественные данные отличаются от качественных своей многочисленностью и располагаются на непрерывной шкале. По­этому такие данные предпочитают группировать по классам, что­бы яснее была видна основная тенденция распределения. Группи­ровка по классам заключается в объединении данных с одинако­выми или близкими значениями в классы и определении частот для каждого класса. Способ разделения на классы и частота каж­дого класса зависят от того, что именно экспериментатор хочет выявить при разделении измерительной шкалы на равные интер­валы.

Распределение данных. Многочисленные методы статистической и математической обработки данных, относящихся к интерваль­ной шкале, исходят из гипотезы, что их значения подчиняются нормальному распределению, при котором большая* часть значений группируется около некоторого среднего значения, по обе сторо­ны от которого частота наблюдений равномерно снижается.

252

Если построить график такого распределения, когда горизон­тальная ось показывает значение признака, а вертикальная — ко­личество соответствующих результатов, то получится симметрич­ная кривая, похожая на колокол (рис. 2). В тех случаях, когда ка­кие-либо причины препятствуют более частому появлению зна­чений, которые выше или ниже среднего, образуются асиммет­ричные распределения (рис. 3, 4). Чем больше значений признака находится вблизи среднего, тем острее вершина кривой; при раз-

бросе результатов (когда многие из них существенно отличаются от среднего) кривая становится более пологой (рис. 5).

Распределение может быть представлено и гистограммой, т.е. последовательностью столбцов, каждый из которых опирается на один разрядный интервал, а высота его отражает число случаев, или частоту, в этом разряде. На рис. 6 и 7 приведены примеры гистограмм распределения данных с разными значениями интер­валов. Применение гистограмм удобно при оценках распределе­ния непрерывной величины (например, распределение учащихся по уровням доходов на одного члена семьи). Если визуальное срав­нение реальной гистограммы с кривой нормального распределе­ния кажется недостаточным, можно использовать разработанные в математической статистике таблицы и формулы оценки нор­мальности распределения, а также методы приведения распреде­ления к нормальному виду.

253

Кривую нормального распределения называют также «колоко­лом Гаусса» или Гауссовой кривой, по имени впервые описавшего ее немецкого математика К. Ф. Гаусса. Эта математическая модель показывает, каким образом значения величин, называемых случай­ными переменными, распределяются относительно среднего зна­чения. Одна из таких случайных переменных — рост человека. Ко-

личество людей с ростом, средним для исследуемой группы, скон­центрировано вблизи средней части кривой, а количество людей с более низким и более высоким ростом распределено с обеих сто­рон от центра кривой.

Другой пример из области социальной жизни — стремление людей выглядеть представителями «среднего класса». «Нормаль­ный» доход имеют большинство из тех, с кем общается конкретный человек (количество людей, имеющих такой доход, сконцентриро­вано в средней части кривой), а количество людей с чрезвычайно большим и практически отсутствующим доходом распределено соответственно на противоположных концах кривой. Человек, до­ход которого отстоит далеко от центра и приближается к одному из концов кривой нормального распределения, естественно, хочет иметь более «нормальный» имидж. Легко понять желание малоиму­щего выглядеть «поприличнее»; также естественным кажется же­лание богатого человека в повседневном общении выглядеть «по­проще». Однако странным (эпатажным) выглядит желание кого-либо, находящегося на одном конце кривой нормального распре­деления, передвинуться еще дальше.

Реальное распределение частот измеряемых величин может иметь не одну, а несколько вершин. В этом случае предпочтитель­но рассматривать интервальные распределения, когда в каждом из интервалов имеется одна вершина.

Меры центральной тенденции. В зависимости от характера дан­ных (по какой шкале они были получены: номинальной, ранго­вой или интервальной) для количественной характеристики со­вокупностей используют средние показатели: моду, медиану или среднее арифметическое.

Мода — наиболее просто получаемая мера центральной тен­денции. Это такое значение во множестве наблюдений, которое встречается особенно часто. Например, в совокупности значений (2; 8; 8; 3; 5; 3; 10; 5; 5; 5) модой является 5, потому что это значение встречается чаще любого другого.

Необходимо подчеркнуть, что мода представляет собой наибо­лее частое значение признака, а не то, сколько раз оно встречает­ся (частота этого значения). Мода соответствует либо наиболее частому значению (если анализируются дискретные величины), либо среднему значению класса с наибольшей частотой (если анализируются интервальные значения).

Мода используется в тех случаях, когда необходимо получить общее представление о распределении. Она необходима там, где требуется быстро охарактеризовать совокупность на основе явле­ния, встречающегося чаще всего. При изготовлении детской ме­бели, например, за основу берется мода (рост, масса ребенка, встречающиеся в данной возрастной группе чаще всего), а не сред­ние арифметические данные детей.

254

В некоторых случаях у распределения могут быть две моды. На­пример, в совокупности 2, 3, 3, 4, 5, 5 модами являются оценки 3 и 5. В этом случае говорят, что совокупность оценок является бимодальной. Большие совокупности оценок рассматриваются как бимодальные, если они образуют полигон частот с двумя верши­нами даже тогда, когда частоты не строго равны.

Принято считать, что в том случае, если все значения оценок встречаются одинаково часто, совокупность данных моды не име­ет. Например, в совокупности 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5 моды нет.

Моду как меру центральной тенденции интерпретируют следу­ющим образом: она имеет такое значение, которое наилучшим образом заменяет все значения; когда модой заменяют любое зна­чение ряда чисел, мы имеем наибольшую частоту совпадений с числами ряда.

При использовании номинальных шкал можно определить, какой номинальный класс имеет самый большой состав, и на­звать этот класс модой распределения. В данном случае мода явля­ется статистической мерой центральной тенденции: если продол­жить наблюдения, изменяя условия, в которых они проводились ранее, то мода будет представлять наблюдения, которые можно ожидать с максимальной вероятностью.

Предположим, что в классе 14 детей являются единственными детьми в семье (эту категорию условно обозначим нулем — 0); 11 детей имеют брата или сестру (обозначим единицей — 1); 5 де­тей — двух братьев или сестер (присвоим данной категории детей цифру 2); 3 ребенка — трех (обозначим цифрой 3) и 1 ребенок — четырех братьев и сестер (обозначим цифрой 4). Следовательно, показатель 0 («единственный ребенок в семье») является здесь мо­дальной величиной. В данном примере упорядочить по возрастаю­щей номинальные величины условно можно следующим образом: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4.

Следует заметить, что для малых групп часто о такой замене не может быть и речи. Например, группа из пяти учащихся имеет следующую успеваемость: 2, 2, 2, 5, 5. Модальный актив группы составляет величину 2. Эта цифра точно характеризует успевае­мость трех учащихся группы, но является чрезвычайно некоррект­ной в отношении двух других.

Мода для больших групп данных — достаточно стабильная мера центра распределения. Во многих распределениях значительного числа измерений, используемых в педагогике и психологии, мода близка к двум другим мерам — медиане и среднему арифметическому.

Медиана — это число, обозначающее середину множества чи­сел, т.е. половина чисел имеют значения большие, чем медиана,

255

а половина чисел — меньшие, чем медиана. При нечетном числе членов ранжированного ряда медиана соответствует центральной величине ряда.

Например, мы имеем следующий ранжированный ряд: 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18. В середине данного ряда находится число 11, следовательно, оно и является медианой. Число, которое является серединой множества чисел, совсем не обязательно должно нахо­диться посередине числового массива данных, например медиана числового ряда: 1, 2, 8, 15, 7, 5, 9 — равняется 7, потому что для ее нахождения нужно первоначально упорядочить множество по воз­растанию входящих в него значений (1, 2, 5, 7, 8, 9, 15) или по их убыванию (15, 9, 8, 7, 5, 2, 1).

Если рассмотреть совокупность отметок (2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5), то аналогично можно обнаружить, что ее медиана равна 4. Однако для больших совокупностей данных, где есть объединенные классы (по нескольку одинаковых значений), медиану проще находить с использованием табличной записи. Пусть мы имеем 16 отметок.

 

Оценка	Частота	Накопленная частота
2	1	1
3	3	4
4	8	12
5	4	16

Примечание. Частота показывает, сколько раз встречается это значение в совокупности. Накопленная частота, как это видно из таблицы, равна сумме частот данной отметки и всех предыдущих. Таким образом, накопленная частота самой высокой отметки равна общему количеству отметок.

Медиана выбирается 8-й и 9-й оценками в приведенной выше таблице, поскольку всего отметок 16. По таблице видно, что она располагается в интервале «четверок». Поскольку в верхней гра­нице ряда оценок накоплено 4 оценки (I +3 = 4), мы должны еще накопить 8-4 = 4 частоты, а всего в интервале 8 «четверок». По­этому медиана делит интервал «четверок» пополам. В интервале между значениями 3, 5 и 4, 5 лежит 8 «четверок». Следовательно, медиана равна 3, 5 + 4: 8 = 4.

Интерпретируем значение медианы на следующем примере. Пусть мы получили следующий ряд отметок: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, где медиана равна оценке 4 (поскольку именно 4 — расположена посередине упорядоченной сокупности отметок). Разность между 4 и 2 составляет два, между 4 и 5 — минус один. Сумма этих разно­стей, взятых по абсолютному значению (т.е. без знака), равна

256

2 + 2+1 + 1 + 1 + 1=8и всегда меньше суммы разностей относи­тельно любого другого числа данного ряда. В самом деле, разности между 5 и другими числами соответственно равны: 3, 3, 2, 1, О, О, а сумма абсолютных разностей всех значений относительно меди­аны всегда меньше суммы разностей относительно любой другой точки. Из этого следует, что если вместо каждой оценки ряда выбрать медиану, то будет допущена минимальная суммарная ошибка.

Медиана — один из членов ряда распределения или, как это бывает в четных рядах, очень близкая к нему величина. Опираясь на значение медианы, можно охарактеризовать структуру ряда: имеются ли равномерное распределение вокруг среднего, накоп­ление величин по возрастающим или убывающим интервалам?

Среднее арифметическое совокупности значений определяется суммированием всех данных и последующим делением на их ко­личество. Среднее арифметическое дает возможность охарактери­зовать исследуемую совокупность одним числом; сравнить отдель­ные величины со средним арифметическим; определить тенден­цию развития какого-либо явления; сравнить разные совокупно­сти; вычислить другие статистические показатели, так как многие статистические вычисления опираются на средние арифметиче­ские.

В качестве меры центральной тенденции при анализе данных используют понятие среднего, которое может быть не связано с каким-то цифровым показателем, а представляет обобщенную ка­тегорию мышления, например: «средний ученик», «средний учи­тель», «средняя успеваемость». Но среднее может быть и в цифро­вой форме, когда отражаются те или иные средние величины сово­купности, вычисляются средние величины объема. Они характери­зуются тем, что их числовое значение изменяется при изменении значения любого члена совокупности.

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: