C мешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов называется такое произведение, при котором 2 вектора перемножаются векторно, полученный при этом вектор скалярно умножается на 3-й вектор. В результате получается число.

- обозначение смешанного произведения. 

Свойства смешанного произведения

. Абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Доказательство. Возьмем три некомпланарных вектора , , . Рассмотрим смешанное произведение.

, где

,

                                                                                                   

                                                                                          

 

Рис. 7

 

по определению векторного произведения  - площадь параллелограмма,        

                                                                                             

- Объем параллелепипеда.

. Круговая (циклическая) перестановка векторов не меняет смешанного произведения, при изменении порядка следования векторов смешанное произведение меняет знак на противоположенный.

 

 

 

Рис. 8

. Смешанное произведение обращается в нуль, если перемножаемые векторы компланарны.

. Смешанное произведение векторов, заданных проекциями

,                    ,      , равно

. Объем пирамиды, построенного на векторах , ,  равен

 

 

                                            

 

Рис. 9

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Пусть в пространстве  дана точка  и вектор

 

 

 

                                              Рис. 10

 

Уравнение плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно заданному вектору  определяется уравнением

 

 

Вектор , перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором этой плоскости.

Уравнение плоскости по трем точкам

Пусть в пространстве  даны три точки , , , не лежащие на одной прямой. Выберем в этом пространстве произвольную точку  и построим три вектора , , .

 

 

Рис. 11

 

Предположим, что точка  лежит на плоскости  (рис. 11), проходящей через заданные точки . Тогда векторы  и  лежат на этой плоскости. Следовательно, Û

 

                                                                                                     (1)

Общее уравнение плоскости

Уравнение первой степени относительно переменных

                                           (2)

будем называть общим уравнением плоскости.

Рассмотрим некоторые частные случаи этого уравнения:

1) . Тогда плоскость  проходит через начало координат, так как точка  принадлежит этой плоскости при любых значениях  и ;

2) . Уравнение плоскости запишется в виде . Так как старшие коэффициенты  и  являются проекциями нормального к плоскости вектора , то вектор  перпендикулярен этой плоскости. Но вектор  перпендикулярен и координатной оси . Следовательно, рассматриваемая плоскость параллельна оси ;

3) если , то плоскость  параллельна оси  (доказать самостоятельно);

4) если , то плоскость проходит через начало координат и параллельна оси . Следовательно, плоскость  проходит через ось ;

5) если , то Û  совпадает с плоскостью .

Кривые второго порядка

Парабола

   Парабола - линия, которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет уравнение   (1)

                            

Уравнение (1) иногда называют каноническим уравнением параболы.

 

Теорема. Парабола представляет собой множество точек, равноудаленных от данной прямой (директрисы параболы) и данной точки (фокуса параболы), не лежащей на директрисе.

· Пусть парабола задана уравнением (1). Имеем:

т.е. точка (x, y) параболы равноудалена от прямой x = - p/2 и точки (p/2, 0), котораяявляется фокусом параболы, поскольку при x = p/2 имеем .

Обратно, рассмотрим прямую x = - p/2 и точку F(p/2, 0). Точка M(x, y) удалена отуказанной прямой на расстояние |x+p/2|, а от точки F — на расстояние .

Условие равенства этих расстояний

после возведения в квадрат и несложных преобразований дает уравнение (1). ►

 

Рис. 12

 

Основные термины, связанные с параболой:

(1) ось Ox — ось параболы;

(2) фокальная хорда — отрезок с концами на параболе, проведенный через

фокус перпендикулярно оси;

(3) p — (фокальный) параметр (равен половине длины фокальной хорды);

(4) p/2 — фокусное расстояние

(5) точка F(p/2, 0) — фокус;

(6) прямая x = -p/2 — директриса.

 

Эллипс

Эллипс — это линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет уравнение

Указанная система координат называется канонической, уравнение (2) — каноническим уравнением эллипса.

Основные термины, связанные с эллипсом:

(1) a — большая полуось;

(2) b — малая полуось;

(3) — линейный эксцентриситет;

(4) точки (-c, 0), (c, 0) — фокусы;

(5) 2c — фокусное расстояние;

(6) ε = c/a< 1 — (числовой) эксцентриситет;

(7) прямые x = ± a/ ε — директрисы;

(8) ось OX — большая (фокальная) ось;

(9) ось OY — малая ось;

(10) фокальная хорда — отрезок с концами на эллипсе, проведенный через

фокус перпендикулярно фокальной оси;

(11) p = /a — (фокальный) параметр(равен половине длины фокальной

хорды);

(12) точки (±a, 0), (0, ±b) — вершины эллипса;

(13) точка O(0, 0) — центр эллипса.

                                           Рис. 13

 

Пусть M(x, y) — произвольная точка эллипса. Отрезки ,  называ-ются фокальными радиусами точки M.

Теорема.Фокальное свойство эллипса: Эллипс является множеством точек, сумма расстояний от которых до фокусов постоянна: +  = 2a.

● Рассмотрим эллипс

Фокальные радиусы произвольной точки M(x, y) эллипса равны

Имеем

Поскольку имеем , так что

Аналогично находим

Следовательно,

 

Обратно, пусть M(x, y) — точка плоскости, для которой сумма + постояннаи равна 2a, т.е. .

Уничтожив радикалы, придем к уравнению

Теорема.Директориальное свойство эллипса: Эллипс является множеством точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно(и равно ε ).

● Расстояния от произвольной точки M(x, y) эллипса до левой и правой директрисы равны

Обратно, если

то

и поэтому

Гипербола

Гипербола — эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy координат имеет уравнение

Указанная система координат называется канонической, уравнение (3) — каноническим уравнением гиперболы.

Выразим из уравнения гиперболы y:

Имеем:

Таким образом, прямые

являются асимптотами гиперболы.

                                                           Рис. 14

 

Основные термины, связанные с гиперболой:

(1) a — вещественная полуось;

(2) b — мнимая полуось;

(3) — линейный эксцентриситет;

(4) точки (-c, 0), (c, 0) — фокусы;

(5) 2c — фокусное расстояние;

(6) ε = c/a> 1 — (числовой) эксцентриситет;

(7) прямые x = ± a/ ε — директрисы;

(8) ось OX — вещественная (фокальная) ось;

(9) ось OY — мнимая ось;

(10) фокальная хорда — отрезок с концами на гиперболе, проведенный через

фокусперпендикулярно фокальной оси;

(11) p = a — (фокальный) параметр (равен половине длины фокальной

хорды);

(12) точки (± a, 0) — вершины гиперболы;

(13) точка O(0, 0) — центр гиперболы;

(14) прямые ay ± bx = 0 — асимптоты гиперболы.

                                                  

Рис. 15

 

Пусть M(x, y) — произвольная точка гиперболы. Отрезки , называются фокальными радиусами точки M.

Теорема. Фокальное свойство гиперболы: Гипербола является геометрическим местом точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине постоянна: | - | = 2a.

● Рассмотрим гиперболу

Длины фокальных радиусов точки M(x, y) равны

Имеем

Поскольку имеем

Аналогично получаем

Следовательно,

Обратно, пусть M(x, y) — точка плоскости, для которой| -  | = 2a., т.е.

Уничтожив радикалы, придем к уравнению

Теорема. Директориальное свойство гиперболы: Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно (и равно ε ).

                                                         Рис. 16

 

● Расстояния от произвольной точки M(x, y) гиперболы до левой и правой директрис равны

.

Обратно, если

то

и поэтому

Наряду с гиперболой, заданной каноническим уравнением

 

часто рассматривают гиперболу   , называемую сопряженной по отношению к исходной.

Умножая уравнение сопряженной гиперболы на -1, получим каноническое уравнение, в котором роли координатных осей поменялись:

 

Рис. 17

 

123Следующая ⇒

Поделиться: