ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Стр 1 из 2Следующая ⇒

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

ВЫПОЛНИЛИ : студенты _______________

_______________

курс_______________

направление ______________

ПРОВЕРИЛ_____________________________

КАЛИНИНГРАД 2017

Лабораторная работа по физике №12.

Изучение затухающих колебаний в колебательном контуре

Цель лабораторной работы

Целью лабораторной работы является экспериментальное изучение процесса затухания колебаний в электрическом контуре.

Задачи лабораторной работы

Задачи лабораторной работы – изучение свойств колебательного контура и измерение основных характеристик затухающих колебаний – периода, коэффициента и декремента затухания, критического сопротивления контура, добротности контура.

Экспериментальное оборудование, приборы и принадлежности

Рис. 1

Лабораторный стенд (рис.1) выполнен в виде собираемой из пластиковых монтажных элементов схемы на магнитной основе и включает в себя резисторы (3), конденсаторы (1, 7), катушку индуктивности (2), источник ЭДС, кнопки-выключатели (5, 6) для замыкания цепи зарядки конденсатора и его разрядки, переменный резистор (8), а также элементы для сборки электрической цепи. К приборам и принадлежностям относятся компьютер с необходимым программным обеспечением, двухканальный осциллографический датчик напряжения (4) для регистрации электрической разности потенциалов на активном сопротивлении, индуктивности, либо емкости, соединительный кабель для подключения датчика к компьютеру.

Теоретическая часть

В работе изучаются свободные колебания в колебательном контуре, состоящем из индуктивности L, емкости С и резистора R (рис. 2) (резистор в реальной схеме не обязателен: его роль может исполнять омическое сопротивление катушки самоиндукции). Конденсатор контура заряжается от источника постоянного тока. После размыкания цепи заряда и замыкания контура с индуктивностью в нем возникают свободные электрические колебания. Напряжение на конденсаторе либо активном сопротивлении изучаются при помощи осциллографа. По картине, возникающей на экране (рис. 3), можно определить период электрических колебаний в контуре, исследовать затухание колебаний и определить основные параметры колебательного контура. Ознакомление со свойствами колебательного контура и измерение его характеристик составляют цель предлагаемой работы.

Рис. 2

Рис. 3

1. Обозначим через q заряд на конденсаторе, через U - напряжение на нем, а через I – ток контура. В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи для схемы (рис. 1) Э.Д.С. самоиндукции в контуре равна сумме падений напряжений на сопротивлении R и конденсаторе C:

Заряд конденсатора q связан с током I соотношением:

Электродвижущая сила самоиндукции определяется индуктивностью контура и скоростью изменения тока:

Воспользовавшись связью между зарядом на конденсаторе, емкостью и

напряжением (q = CU), найдем:

Подставляя это выражение в равенство (1), получим:

Поделим это уравнение на LC и введем обозначения:

Величины ω₀² и δ положительны; ω₀ имеет размерность частоты, а δ называется коэффициентом затухания контура (см. ниже). Обозначив операцию дифференцирования по времени точкой, получим окончательно:

Выразим напряжение на конденсаторе через заряд и емкость, тогда уравнение (1) с учетом (2) будет выглядеть:

Продифференцируем полученное уравнение по времени:

и прономеруем, разделив на L:

Если предположить, что I = q , то уравнение (5) преобразуется к виду:

и окончательно:

Таким образом, уравнения для напряжения на конденсаторе (4), тока в контуре (6) и заряда конденсатора (7) имеют одинаковый вид и, следовательно, напряжение, ток и заряд меняются по сходным законам. Вернемся к рассмотрению дифференциального уравнения. Уравнение (4) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка и описывает широкий класс колебательных систем, как электрических, так и механических. Будем искать его решение в виде:

Подставляя (8) в (4) и сокращая полученное уравнение (8), получим:

Уравнение (9) называется характеристическим. Оно определяет два возможных значения λ:

Общее решение (4) может быть записано в форме:

и содержит две произвольные константы, выбор которых зависит от начальных условий, например, от начальных значений. В зависимости от соотношения между ω0 и δ напряжение U может изменяться во времени по колебательному или по апериодическому закону.

2. Колебательный разряд имеет место при ω₀ > δ. Из формулы (10) следует, что λ_1,2, в этом случае комплексны. Введем обозначение:

Формулу (11) удобно в этом случае записать в виде:

Две формулы (13) эквивалентны. Обе они содержат две произвольные константы: C1 и C2 в первом, A и θ во втором случае. Нетрудно найти связь между ними:

Аргумент ωt - θ называется фазой, а коэффициент t Ae⁻^tδпри тригонометрической функции – амплитудой колебаний. Запись решения в форме (13) ясно проявляет колебательный характер процесса. Колебания затухают, уменьшаясь по амплитуде в e раз за время τ =1/δ. Величина ω, определяемая (12), носит название круговой частоты собственных колебаний контура.

3. При ω₀ <δ оба корня уравнения (10) действительны и отрицательны. Разряд носит апериодический характер. Как видно из (11), напряжение на конденсаторе равно сумме двух экспонент, убывающих с разными постоянными времени:

4. При ω₀ =δ обе экспоненты оказываются тождественными, и остается всего одна произвольная константа C₁+C₂ с помощью которой, вообще говоря, нельзя удовлетворить начальным условиям задачи. Это показывает, что решение (11) в этом случае не является общим. При ω0=δ общее решение имеет вид:

где G и D – произвольные константы. Подставляя (14) в (4), нетрудно убедиться в том, что при любых значениях G и D выражение (14) действительно является решением (4) (при ω₀=δ). Режим (14) носит название критического. Приравнивая ω₀ и δ, из формул (3) получим:

Формула (15) определяет критическое сопротивление контура. При R ≥R_кр разряд имеет апериодический, а при R <R_кр – колебательный характер.

5. В колебательном режиме контур принято характеризовать периодом колебаний, добротностью и логарифмическим декрементом затухания. Период колебаний Т определяется по формуле, следующей из (12) и (13):

Наибольший практический интерес представляют контуры со слабым затуханием. В этом случае δ<<ω₀ и можно пользоваться приближенной формулой, которая следует из (16) и (3) при малых δ:

Добротность контура Q показывает, во сколько раз запас колебательной энергии в контуре превосходит среднюю потерю энергии за время, в течение которого фаза колебаний изменяется на 1 радиан. Колебательную энергию в контуре проще всего определить в момент, когда она заключена в конденсаторе, т. е. при ωt=θ+2πn, где n - любое целое число:

Потеря энергии за период равна:

Средняя потеря энергии за время изменения фазы на 1 радиан в 2π раз меньше, чем ∆We. Полагая 2δT<<1 (слабое затухание), найдем:

Поэтому добротность Q равна:

При написании цепочки формул (20) была использована формула (16) для периода и формулы (3) для частоты собственных колебаний ω0 и затухания δ. Логарифмический декремент затухания ϑ равен логарифму отношения амплитуд двух последовательных отклонений в одну сторону. Из (13) имеем:

На практике для определения ϑ полезно использовать отношение амплитуд, разделенных целым числом периодов n. В этом случае формула для определения логарифмического декремента затухания ϑ имеет вид:

Картину колебаний удобно представлять не только в координатах U, t (такая картина имеет вид затухающей синусоиды), но и в координатах U’ и U , или, как говорят, в фазовой плоскости. В этих координатах кривая незатухающих колебаний (δ=0) имела бы вид окружности (при одинаковых амплитудах U и dU/dt), а картина реальных колебаний изображается сворачивающейся спиралью (рис. 4). Доказательство этих утверждений мы предоставляем читателю. Для представления картины колебаний в фазовой плоскости напряжение на конденсаторе подается на первый канал осциллографического датчика, а на его второй канал подается напряжение с резистора, которое, в соответствии с законом Ома, пропорционально току в контуре (U_r = I_r = CU' r). Здесь учтена дифференциальная связь между током I и напряжением на конденсаторе U. Построение зависимости U=U(I) осуществляется при компьютерной обработке данных в рамках сценария работы.