Контрольная работа №1. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Контрольная работа №1. ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Цель: построение и исследование уравнения парной регрессии.

Простая (парная) регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными — и вида:

, (1.1)

где — зависимая переменная (результативный признак);

— независимая, или объясняющая, переменная (признак-фактор);

— случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии .

Построение и анализ нелинейных моделей имеют свою специфику. В рамках данной контрольной работы рассматриваются нелинейные модели, допускающие сведения их к линейному типу.

Расчетные соотношения.

Метод наименьших квадратов

Коэффициенты, определяемые на основе метода наименьших квадратов, являются решением системы уравнений:

(1.1)

где

; ; ; . (1.2)

Коэффициенты уравнений (1.3), (1.4) получаем, решив систему (1.5).

; (1.3),

где — выборочное значение корреляционного момента (ковариация), определенного по формуле: , (1.4)

– выборочное значение дисперсии величины , определяемой по формуле:

(1.5)

Оценка параметров нелинейной регрессии

2.1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам.

· равносторонняя гипербола: . (2.1)

· полулогарифмическая: . (2.2)

При оценке параметров регрессий (1.1), (1.2) используется метод замены переменных. Суть его состоит в замене нелинейных объясняющих переменных, в результате чего нелинейные функции регрессии сводятся к линейным. К новой, преобразованной функции регрессии может быть применен обычный метод наименьших квадратов (МНК), рассмотренный в лабораторной работе №1.

Таблица 1. Возможные замены переменных

	Вид модели	Линеаризующие преобразования	Ограничения	Обратная замена переменных
1
2

2.2. Регрессии, нелинейные относительно оцениваемых параметров, но линейных относительно включенных в анализ объясняющих переменных.

· логарифмическая модель (степенная): (2.3)

· показательная: ; (2.4)

Оценка параметров регрессий (1.3), (1.4), (1,5) выполняется по следующему алгоритму:

1. уравнения приводятся к линейному виду с помощью логарифмирования и последующей замены переменных;

2. оцениваются параметры преобразованного уравнения с использованием метода наименьших квадратов;

3. выполняется обратная замена переменных и записывается исходное уравнение.

Таблица 2. Возможные замены переменных

	Вид модели	Линеаризующие преобразования	Ограничения	Обратная замена переменных
1
2

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Оценка тесноты связи

Линейный коэффициент корреляции. При линейной регрессии в качестве показателя тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции. Его значение находится в границах .

, (3.1)

где , , . (3.2)

Коэффициент детерминации. Он характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.

(3.3)

где ,

, , (3.4)

C редняя ошибка аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации – среднее относительное отклонение расчетных значений от фактических .

(3.5)

Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если значение не превышает 8–10 %.

Чем выше показатель детерминации или чем ниже средняя ошибка аппроксимации, тем лучше модель описывает исходные данные.

Оценка тесноты связи

Индекс корреляции. При нелинейной регрессии в качестве показателя тесноты связи выступает индекс корреляции. Его значение находится в границах .

, (4.1)

где , (4.2)

Индекс детерминации. Он характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.

(4.3)

где ,

, , (4.4)

Следует обратить внимание на то, что разности в соответствующих суммах , и берутся не в преобразованных, а в исходных значениях результативного признака. Иначе говоря, при вычислении этих сумм следует использовать не преобразованные (линеаризованные) зависимости, а исходные нелинейные уравнения регрессии.

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

1. На основании таблиц 3,4 построить предложенные уравнения регрессий.

2. Выполнить анализ построенный моделей регрессии

3. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.

4. Свести данные анализа уравнений регрессий в таблицу. Выбрать наилучшую модель.

Таблица 4. Варианты заданий

Вариант	Таблица	Виды кривых аппроксимации
Вариант	Таблица	Линейная	Гиперболи-ческая	Полулогариф-мическая	Степенная		Показательная
1	5	*	*		*
2	5	*	*				*
3	5	*		*			*
4	5	*		*	*
5	5	*	*		*
6	5	*	*				*
7	5	*		*			*
8	5	*		*	*
9	6	*	*		*
10	6	*	*				*
11	6	*		*			*
12	6	*		*	*
13	6	*	*		*
14	6	*	*				*
15	6	*		*		*

Таблица 5 Данные для построения уравнений регрессий

Индекс потребительских цен, Y	Объем денежной массы, X
65	110
68	125
72,5	132
77,5	137
82	160
85,5	177
88,5	192
91	215
95	235
100	240
106,5	245
112	255
115,5	275
118,5	285
120	295
120,5	320
121	344

Таблица 6 Данные для построения уравнений регрессий

Объем экспорта, Y	год, X
54,1	81
35,4	82
56,6	83
46,6	84
46,7	85
52,1	86
56,6	87
44,8	88
68,3	89
36,3	90
75,0	91
57,2	92
69,0	93
55,5	94
73,3	95
64,1	96
60,0	97