Спектральный анализ является одним из самых мощных инструментов обработки эксперимента. В частности, он используется для анализа данных, выявления характерных частот, в целях подавления шума и т.д.

Спектром совокупности данных y(x) называют некоторую функцию другой координаты (или координат, если речь идет о многомерном спектре) F(ω), полученную в соответствии с определенным алгоритмом. Примерами спектров являются преобразование Фурье, спектр мощности, вейвлет-преобразование.

что преобразование Фурье существует для всех ограниченных во времени сигналов , для которых выполняется условие Дирихле

Условия Дирихле сходимости ряда Фурье требуют, чтобы сигнал был задан на сегменте , при этом удовлетворял следующим условиям:

• Сигнал должен быть ограниченным, т.е. не иметь бесконечных значений.
• Сигнал должен быть кусочно-непрерывным, т.е. иметь конечное число точек разрыва первого рода (скачки и устранимые разрывы).
• Сигнал должен быть кусочно-монотонным, т.е. должен иметь конечное число экстремумов.

 

4. Преобразование Фурье.

Чтобы представить в виде гармоник непериодический сигнал не на конечном интервале, а на всей оси, необходимо использовать множество гармоник с непрерывным набором частот. Такое представление можно записать следующим образом:

.                                  (5)

То есть суммируются синусоиды с разными частотами, у каждой своя амплитуда и начальная фаза.

Как же найти нужные амплитуды и фазы для интересующих нас сигналов? Для этого вспомним, что синусоиду с ненулевой начальной фазой можно представить как сумму синуса и косинуса с нулевыми начальными фазами:

,                                  (6)

где ,  (см. задание 1.1г). Коэффициенты  и  для гармоник найти оказывается гораздо проще, чем амплитуду и фазу. А именно:

,                                               (7)

.                                              (8)

То есть надо найти интеграл от произведения сигнала на синус или косинус соответственно.

Попробуйте представить себе, что значения ,  и  в каждый момент времени  это координаты векторов (такие вот бесконечномерные вектора). Тогда формулы (7) и (8) есть не что иное, как скалярные произведения этих векторов, то есть проекции вектора  на вектора  и . Вектор, соответствующий сигналу, мы представляем в виде комбинации базисных векторов, которым являются синусы и косинусы.

После того как вычислены  и  при желании легко можно найти амплитуду и фазу каждой гармоники.

Приведенные выше формулы для краткости и удобства аналитических расчетов принято писать в комплексной форме. Вместо формулы (5) пишут:

,                                         (9)

вместо уравнений (7) и (8):

.                                         (10)

Здесь , то есть действительная часть этой величины есть , а мнимая есть . Выражение (10) называют прямым преобразованием Фурье, (9) – обратным преобразованием Фурье. Благодаря комплексному представлению получается одна формула для прямого преобразования вместо двух. Кроме того, экспоненты проще интегрировать, чем синусы и косинусы и, соответственно, проще находить аналитические выражения для спектров.

Теперь вспомним, что экспериментально снимаемые и обрабатываемые на компьютере сигналы представляют собой временные ряды. То есть значения сигнала известны только в дискретные моменты времени: , . В результате интегралы приходится менять на суммы:

,                           (11)

.                           (12)

Преобразование Фурье становится таким же дискретным, как и сигнал: . Спектральное разрешение (наименьший шаг по частоте) определяется длиной анализируемого ряда . Кроме того, появляется предельная частота . Колебания с более высокими частотами просто невозможно анализировать, так как на период приходится в среднем меньше двух значений во временном ряде.

Величины  и  связаны равенством Парсеваля:

.                                         (13)

То есть сумма квадратов значений в сигнале пропорциональна сумме квадратов амплитуд гармоник. В случае если сигнал представляет собой ток или напряжение в цепи, сумма квадратов значений имеет смысл мощности. Равенство Парсеваля говорит, что эта мощность распределяется по гармоникам. Поэтому график величины  как функции частоты называется спектром мощности. Иногда кроме спектра мощности (отражающего амплитуды гармоник) используют также спектр фаз.

7.Теория фильтрации, типы виды и характеристики фильтров.

• В современных многоканальных системах связи широко используется частотный принцип разделения сигналов. Он состоит в том, что каждому сигналу отводится своя полоса частот. Важнейшую роль при обработке таких сигналов играют фильтры электрических сигналов.

• Фильтры – это устройства, которые предназначены для

 пропускания сигналов в определенной полосе частот и

 подавления сигналов за пределами этой полосы частот.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: