I. Вычислить определенные интегралы. ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3   Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 1. 1. 1. 2. 2. 2. 3. 3. 3. 4. 4. 4. 5. 5. 5.   6. 6. 6.   7. 7. 7.   8. 8. 8. 9. 9.   9.   10. 10. 10.   Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 1. 1. 1.   2. 2. 2.   3. 3. 3.   4. 4. 4. 5. 5. 5.   6. 6. 6.   7. 7. 7.   8. 8. 8.   9. 9. 9.   10. 10. 10.       Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 1. 1. 1.   2. 2.   2.     3. 3. 3. 4. 4.   4.     5. 5. 5.     6. 6. 6.   7. 7. 7.   8. 8. 8.   9. 9. 9.       10. 10. 10.   Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12 1. 1. 1.   2. 2. 2.   3. 3. 3.   4. 4. 4.   5. 5. 5.   6. 6. 6.   7. 7. 7.   8. 8. 8.   9. 9. 9.   10. 10. 10.             Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15 1. 1. 1. 2. 2. 2.   3. 3. 3.   4. 4. 4.   5. 5. 5.     6. 6. 6.   7. 7. 7.   8. 8. 8.   9. 9. 9.   10. 10. 10.   Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18 1. 1. 1.   2. 2. 2.   3. 3. 3.   4. 4. 4.   5. 5. 5.   6. 6. 6.   7. 7. 7.   8. 8. 8.   9. 9. 9.   10. 10. 10.   Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21 1. 1. 1.   2. 2. 2.   3. 3. 3.   4. 4. 4.   5. 5. 5.   6. 6. 6.   7. 7. 7.   8. 8. 8.   9. 9. 9.       10. 10. 10.   Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24 1. 1. 1.   2. 2. 2.   3. 3. 3.   4. 4. 4.   5. 5. 5.   6. 6. 6.   7. 7. 7.   8. 8. 8.   9. 9. 9.   10. 10. 10.   Вариант 25     1. 6.   2. 7.   3. 8.   4. 9. 5. 10.   II. Вычислить определенные интегралы. Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Вариант 1 1

Вариант 12

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

Вариант 16

Вариант 17

Вариант 18

Вариант 19

Вариант 20

Вариант 2 1

Вариант 22

Вариант 23

Вариант 24

Вариант 25

 

III . Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

 

Вариант 4		Вариант 5		Вариант 6

 

Вариант 7		Вариант 8		Вариант 9

 

Вариант 10		Вариант 11		Вариант 12

 

Вариант 13		Вариант 14		Вариант15

 

Вариант 16		Вариант 17		Вариант 18

 

Вариант 19		Вариант 20		Вариант 21

 

Вариант 22		Вариант 23		Вариант 24

 

Вариант 25

 

III. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями.

IV.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.

 

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ №2

«Дифференциальные уравнения»

 

Вариант 0

I. Решить уравнение .

 

II. Найти общее решение уравнения .

 

III. Найти общее решение уравнения:

а)

б)

 

IV. Найти общее решение уравнения (без нахождения неопределенных коэффициентов).

а)

б)

 

V.  Решить задачу Коши.

     y (0) = 0 ; y ’ (0) = 0

 

VI. Найти общее решение уравнения методом вариации произвольных постоянных.

 

Решение.

I.

Разделим обе части уравнения на х³, получим

Правая часть этого уравнения есть функция отношения ,   

следовательно , это однородное уравнение.

Обозначим и

 

Имеем:

 

- это уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируем:

.          Подставим

Если константу С записать в другом виде « », то общее решение будет иметь вид:

В процессе решения мы делили обе части уравнения на  х³≠0 и  u³ ≠0 и могли потерять решения  х=0 и u=0 ( u=0  =0 y=0)

Непосредственной проверкой убеждаемся , что  х  = 0 не является решением;  а  у = 0 – решение,  которое не входит в общий интеграл ни при каком С

Имеем ответ: ;    у=0.

 

II.

Это линейное уравнение

Пусть

Имеем

– уравнение с разделяющими переменными.

, 

 

т.к  

,    подставим найденное     u

Интегрируем

Тогда

Ответ:

 

III.   a)

Это уравнение второго порядка, не содержащее функцию у.

Положим

Уравнение имеет вид  – это уравнение с разделяющимися        переменными.  .

Вернемся  к    у , получаем

 

Это и будет ответом.

 

б)

Это уравнение второго порядка, не содержащее Х.

Положим

Имеем p ( p ’ 2 y ) = 0

1) p = 0 = 0 y = C

2)

 

Ответ: y=C;

 

IV.   а)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

1) Рассмотрим однородное уравнение:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

    k³ - 5k = 0 k(k²-5) = 0 k₁ = 0 k_2,3 = ±

 Следовательно ,

 

 - oбщее решение однородного уравнения в случае действительных  различных корней характеристического уравнения.

2) Правая часть неоднородного уравнения ;  – многочлен нулевой степени,  (α – не является корнем характеристического уравнения).  Тогда  – частное решение неоднородного уравнения.

3) Найдем неопределенный коэффициент  А

Имеем

 

Подставим найденные производные в исходное уравнение

. Известно, что

 

Ответ:

 

б) Найти вид общего решения уравнения

1). Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

если корни характеристического уравнения комплексны  α±β , то

 

 

 

2). Правая часть уравнения имеет вид:

,   где

- многочлен степени 2

- многочлен степени 1

Для правой части нашего уравнения

 

,

здесь  многочлен 2-ой степени c неопределенными коэффициентами.

3) Общее решение неоднородного уравнения   y_0н  есть сумма общего решения однородного уравнения  y₀₀ и частного решения неоднородного уравнения    y_чн     y_0н=y₀₀+y_чн

Имеем

 

V.  ; ;

1) Найдем y₀₀ для уравнения

Характеристическое уравнение k² - 2k = 0 k₁ = 0; k₂ = 2

Корни действительны и различны, следовательно,

 

2) Найдем   y_чн , ;  – многочлен,  α = 0.

Значит,

Множитель Х появляется из-за того, что  α = 0 есть однократный корень характеристического уравнения.

 

3) Найдем коэффициенты A, B, C

          

Подставим в уравнение

 

Отсюда:   → 

4) Чтобы решить задачу Коши, нужно найти  С₁  и  С₂ , воспользовавшись начальными условиями:

Ответ:  – искомое решение.

 

VI.

1) Рассмотрим однородное уравнение и найдем корни его характеристического уравнения

т.е. функции и будут частными решениями этого однородного уравнения.

2) Запишем решение неоднородного уравнения в виде:

 

  и составим систему уравнений для нахождения и

 

 

Применим метод Крамера для решения системы:

 

 

Тогда

   

 

Ответ:

               

 

 

КОНТРОЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №2

I. Найти общее решение уравнения:

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

15.

 

16.

 

17.

 

18.

 

19.

 

20.

 

21.

 

22.

 

23.

 

24.

 

25.

I. Найти общее решение уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

 

 

II. Найти общее решение уравнения:

1. а) ; 

б) , y (0) = - 1 , y ’(0) = 1

2. а) ; 

б)

 

3. а)  

 б)

 

4. а)  

б)

 

5. а)  

 б)

 

6. а)  ;

б)

 

7. а) ;

б)

 

8. а)  

б)  , y (0)  = 4, y ’(0) = 2

9. а)  

б)

10. а) ; 

б)

 

11. а)  

б)

 

12. а)  

 б)

 

13. а)  

б)

 

14. а)  

 б)

 

15. а)  

 б)

 

16. а)  

б)

 

17. а)  

б)   

 

18. а)  

б)

 

19. а) ;

  б)

 

20. а)  ;

б)

 

21. а) ; 

б)

 

22. а)  ;

 б)

 

      23. а)  ;

 б)

 

24. а)  

 б)  +1

    25. а)  

 б)

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: