Тесты для проверки статистической равномерности датчика.

Тест заключается в проверке гипотезы о статистической равномерности распределения S‑мерных векторов, последовательно выбираемых из базовой последовательности: (x₁, x₂, …, x_S), (x_S+1, …,x_2S), (x_2S+1,…,x_3S,),…, и т.д., — в S‑мерном единичном гиперкубе.

Один из тестов основывается на равномерном разбиении гиперкуба на части. Для этого отрезок [0,1] каждой оси гиперкуба разбивается на k частей. Тогда весь единичный гиперкуб разбивается на k^S равных частей. По полученным реализациям S‑мерных базовых векторов строится многомерная гистограмма. Накопление статистики для ее построения может быть организовано с помощью одномерного массива m[j] (j=1,2,…,L) следующим образом.

Пусть получена некоторая реализация S‑мерного базового вектора (x₁, x₂, …,xj,…, x_S).

Для каждой j‑ой компоненты этого вектора определяется номер ячейки r_j = [ x _j × k ]+1 (здесь [b] – целая часть числа b) по соответствующей оси единичного гиперкуба, в которую эта компонента попадает.

Тогда номер ячейки r одномерного массива m, в которой накапливается статистическая информация по данной реализации (m[r]:=m[r]+1), определяется следующим соотношением:

.                                        (3.16)

Генерируется N векторов. По этим результатам рассчитываются частоты

P^*_r = m[r]/N.                                            (3.17)

Соответствующие теоретические вероятности одинаковы и равны

P_r = 1/k^S.                                                           (3.18)

Рассчитывается значение критерия :

.                                   (3.19)

Проверка гипотезы о статистической равномерности последовательности БПЧ осуществляется с числом степеней свободы, равным (k^S–1).

Параметрами проверки являются значения k, S, N. Относительно выбора их значений можно сказать следующее. На первый взгляд кажется, что чем большие значения k и S выбрать, тем точнее будет проверка. Но при этом необходимо учитывать следующее. Выбор N определяется значениями k и S. Для того, чтобы выводы, полученные с помощью критерия , имели статистическую значимость, необходимо, чтобы в каждую ячейку многомерной гистограммы попало 20— 30 реализаций. Исходя из очевидных вероятностных соотношений NP_r=N/k^S ³20¸30 видно, что необходимый объем выборки

N³ (20¸30) k^S.                                                  (3.20)

Таким образом, видно, что выбор больших значений k и S приводит к значительной вычислительной сложности рассматриваемой тестовой проверки.

Кроме того, не в пользу необоснованного выбора больших значений k и S говорит также следующее. На большом объеме выборки N могут нивелироваться результаты плохой работы датчика на выборке меньшего объема. Тогда, проверив датчик на большом объеме выборки, а применяя в конкретной ИМ, требующей значительно меньшего числа БПЧ, можем получить большую методическую погрешность из‑за плохой работы датчика на этом малом объеме.

Окончательные рекомендации по выбору значений k, S, N таковы:

1) исходя из потребности ИМЭ на конкретной ИМ определяется объем выборки N для тестовой проверки,

2) затем подбираются значения k и S так, чтобы в каждую ячейку единичного гиперкуба попадало в среднем по 20 ¸ 30 реализаций S‑мерного вектора БПЧ.

 

Очевидные недостатки теста с равномерным разбиением единичного гиперкуба на части (большой требуемый объем выборки, и, следовательно, значительные затраты машинного времени, большая величина требуемой памяти ЭВМ) привели к созданию более эффективных тестов с неравномерным разбиением (так называемых, покер‑тестов). В них отдельные ячейки единичного гиперкуба после его равномерного разбиения объединяются по определенным признакам в непересекающиеся подобласти, полностью перекрывающие все пространство единичного гиперкуба. Теоретические вероятности попадания S‑мерного вектора БПЧ в эти подобласти рассчитываются с помощью формулы непосредственного подсчета вероятностей. Признаки объединения в подобласти, удовлетворяющие перечисленным свойствам, формулируются по соотношению номеров ячеек r_j отдельных компонент реализаций S‑мерного вектора БПЧ.

Рассмотрим 5‑мерный покер‑тест (S=5). Вся информация по этому тесту при k=10 сведена в следующую таблицу 3.1.

Таблица 3.1

№ области	Области разбиения	Признаки формирования разбиения	теорет. вероятности
1	А0	все пять rj разные	0,3024
2	А1	1 пара rj одинаковых, остальные разные	0,504
3	А2	2 пары rj одинаковых	0,108
4	А3	тройка rj одинаковых, остальные разные	0,072
5	А4	тройка rj одинаковых + пара rj одинаковых	0,09
6	А5	четверка rj одинаковых	0,0045
7	А6	все rj одинаковые	0,0001

Как видно из этого примера, преимуществом покер‑теста является значительно меньшее число подобластей единичного гиперкуба, по которым накапливается статистика. Среди них только одна самая малая (А⁶) определяет объем выборки. При этом необходимо отметить следующее свойство образованных подобластей единичного гиперкуба, обеспечивающее во многом точность тестовой проверки статистической равномерности распределения БПЧ. Каждая область не сосредоточена в одном месте гиперкуба, а распределена по его объему (например, подобласть А⁰ объединяет ячейки равномерного распределения гиперкуба, расположенные по его диагонали).

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: