Спектральная плотность случайного процесса

 

    При анализе шумовых воздействий также как и в случае детерминированных сигналов удобно использовать представление функций в частотной области. Такой подход позволяет свести решение исходный диффуров к представлению их в виде линейных алгебраических уравнений.

    Однако принятые допущения (о стационарности) не позволяют непосредственно использовать преобразование Фурье или Лапласа для преобразования шумового процесса из временной области в частотную.

    Пусть задана детерминированная функция . Тогда для преобразования Фурье:

1) Условие Дирихле (конечное число экстремумов и разрывов на интервале времени);

2)  - абсолютно интегрируема

 соотв Энергии СП

    Но для стационарных СП 2-ое условие не выполняется, так как  и  не зависят от времени. Интеграл не сходится(?)

    Это соответствует в теории тому, что энергия процесса  становится бесконечной на длительном интервале наблюдения.

    Однако средняя мощность процесса, которая представляет собой энергию, приведенную ко времени наблюдения , остается конечной, что позволяет выполнить условие абсолютной сходимости для мощностных характеристик ШП.

    Далее выделим из N реализаций СП некоторую k-ую реализацию  и введем в рассмотрение усеченную k-ую реализацию на интервале времени наблюдения .

 на интервале [0, T ]

    В силу конечности  выполняется условие абсолютной сходимости и, следовательно, для  можно взять преобразование Фурье. Тогда, после преобразования, получим:

 прямое ПФ

    Определим энергию:

    По теореме Парсеваля с использованием спектрального представления  запишем: новый предел интегрирования:

Не хватает формулы (*)

    При увеличении времени наблюдения T функция E линейно возрастает и стремится к бесконечности. Однако для средней мощности получим:

    Причем данная величина остается конечной даже при возрастании времени наблюдения, поскольку скорость роста числителя и знаменателя одинакова. То есть предела данной функции при больших T будет конечной величиной (по Лопиталю). Следовательно, предельный переход при больших T позволяет получить конечное значение средней мощности для полной k-ой реализации. Здесь есть ранее упущенная формула (*):

    Предельный переход – по времени. Интегрирование – по частоте. Следовательно, предельный переход загоним под интеграл:

    Предполагая процесс эргодическим, примем усреднение по k-ой реализации как усреднение по ансамблю:

Спектр. пл. ср мощности СП

Если  - физическая величина:

И можно записать:

 ???

Для белого шума:  - не зависит от  Переход к f и df (полоса конечна), поиск ед. измерения

 

§3. Линейные преобразования случайного процесса

 

    Предполагаем, что на линейную схему воздействует шум. Его спектральная плотность средней мощности известна. Надо определить отклик на шумовое воздействие.

    Выделим из ансамбля  k-ую реализацию.  - интервал наблюдения. Рассмотрим . Для нее строим преобразование Фурье  имеем:

1) Воздействию в виде усеченной k-ой реализации  на выходе будет соответствовать отклик .

 соответствующее представление отклика на вых

2) Определим для данной схемы передаточную функцию

Тогда в частотной области  и  связаны соотношением:

    Для входного воздействия введем спектральную плотность средней мощности  (для отклика тоже).

 спектр пл.ср.мощности на выходе

    Подставим сюда :

 связь спектральных пл.мощности на выходе и входе для усеченной реализации через передаточную функцию в частотной области

    Предполагая процесс эргодическим, решаем, что усреднение k-ой реализации есть усреднение по ансамблю.

 уже не для конкр. усеченных реализаций

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: