КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

 По причинам, вызывающим погрешности, они делятся на:

1) систематические,

2) случайные,

3) промахи.

Систематические погрешности обусловлены действующими причинами. Они вызываются неточностью прибора, несовершенством метода измерений и т.п. При повторении эксперимента их величина и знак сохраняются. Увеличение числа измерений не устраняет систематических погрешностей.

Способ борьбы с систематическими погрешностями является отыскание поправок к измерительным приборам.

Случайные погрешности – результат одновременного действия различных возмущающих факторов, не связанных между собой. Случайные погрешности неизбежны, и тем заметнее, чем чувствительнее прибор. При отсутствии систематических погрешностей они служат причиной разброса повторных измерений относительно истинного значения измеряемой величины.

Случайные погрешности исключить нельзя, но они могут быть вычислены с помощью статических методов. При обработке результатов измерений пользуются тремя аксиомами:

1) За наиболее вероятный результат измерений или за значение измеряемой величины принимают среднее арифметическое n измерений.

(1)

2) Вероятность появления малых погрешностей больше, чем вероятность появления больших погрешностей.

3) Погрешности положительные встречаются также часто, как погрешности отрицательные, т.е. закон их распределения симметричный. (см. рис. 1)

Эти аксиомы приводят к нормальному закону распределения – закону Гаусса.

где d - среднеквадратичная погрешность измерений, которая находится по формуле:

(4)

DХ_i – абсолютная погрешность i –го измерения.

На рис. 1 представлен вид закона распределения Гаусса. На рисунке а) по оси абсцисс отложены результаты наблюдения некоторой величины Х, содержащие случайные погрешности, а по оси ординат – частота получения значения Х_i, которая описывается некоторой функцией F, называемой плотностью вероятности появления Х_i.

 Функция имеет максимум, который соответствует значению Х_m, плотность вероятности            – наибольшая. Значение случайной величины, соответствующее максимуму плотности вероятности называют математическим ожиданием.

Рис. 1.

 

Если перенести начало координат в центр распределения, то получим кривую нормального распределения случайных погрешностей (рис. 1 б). Ширина кривой может быть различной. Если разброс мал, то кривая сужается. Ширина кривой определяется параметром рассеивания случайных величин от среднего значения и получила название дисперсии. Чем меньше дисперсия, тем острее и выше максимум кривой распределения. Квадратный корень из дисперсии называют среднеквадратическим отклонением результата наблюдения, или стандартным отклонением, или стандартной погрешностью.

Указание только на размер погрешности без оценки величины вероятности ее появления лишено смысла. Поэтому при оценке случайных погрешностей важное значение имеют: доверительная вероятность, доверительный интервал, границы доверительного интервала.

Среднеквадратическое отклонение или среднюю квадратическую погрешность определяют по уравнению

Эта величина тем надежнее, чем больше n.

Если n<30, то данное уравнение завышает точность результата измерения.

Английский математик Госсет (псевдоним Стьюдент) предложил метод отыскания доверительного интервала при n<30. При этом результат измерения записывается так:

          (5)

где Х_ср – среднее арифметическое ряда наблюдений;

  d - среднеквадратическое отклонение, рассчитанное по уравнению (2);

  t_a - параметр функции Стьюдента, называемый коэффициентом кратности, зависящий от заданной доверительной вероятности и количества наблюдений.

Из уравнения (4) следует, что с увеличением числа повторных измерений среднеквадратическая погрешность результата измерений уменьшается. Однако надо всегда выбирать оптимальное число измерений. При этом пользуются такими правилами:

1) Если систематическая погрешность является определяющей, т.е. ее величина существенно больше величины случайной погрешности, присущей данному методу, то достаточно выполнить измерение один раз.

2) Если случайная погрешность является определяющей, то измерение следует проводить несколько раз. Число измерений целесообразно выбирать таким, чтобы среднеквадратическая погрешность была меньше систематической погрешности.

Грубые погрешности или промахи больше или равны 3 d. Причины их: невнимательность при снятии показания прибора, ошибка в вычислениях, ошибка при переписывании. При обработке результатов данные ряда измерений, приводящие к грубым погрешностям, исключаются.

 

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

 

Погрешности прямых измерений:

1.1. При однократном измерении абсолютную погрешность принимают равной половине цены деления измерительного прибора.

1.2. При многократных измерениях одной и той же величины порядок расчета погрешностей следующий:

- результаты каждого измерения записываются в таблицу;

- вычисляется среднеарифметическое значение x_ср. n измерений по уравнению (1);

- находятся абсолютные погрешности каждого измерения по уравнению (2)

- вычисляются (Dх_i)² – квадрат абсолютных погрешностей каждого измерения;

- определяется среднеквадратическая погрешность d по уравнению (2).

Окончательный результат записывается в виде

t_a - берут из таблицы распределения Стьюдента. 

 

Таблица 1.

Таблица коэффициентов Стьюдента

n	a
	0,9	0,95	0,98	0,99
2 3 4 5 6 7 8 9 10 …	6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83	12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26	31,82 6,96 4,54 3,75 3,36 3,14 3,00 2,90 2,82	63,66 9,92 5,94 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25
¥	1,65	1,96	2,33	2,58

 

Погрешности косвенных измерений

Пусть искомая величина f определяется из прямых измерений величины х, причем f=f(х). Это значит, что величина f получается в результате каких – либо математических операций над измеренной величиной х. (Например, f = х²).

Абсолютная погрешность будет определяться разностью между значениями f когда  и когда :

При малых  можно считать, что

при

- первая производная функции f по х. Т.е. абсолютная погрешность функции одной переменной равна произведению производной этой функции на приращение аргумента.

В случае, если функция представляет собой зависимость от нескольких переменных

то абсолютная погрешность такой функции будет равна сумме произведений частных производных функции по каждой переменной на приращение этой переменной, т.е.

        (6)

Относительная погрешность f будет, как обычно:

                           (7)

Из курса математики известно, что

                        (8)

Поэтому, для расчета относительной погрешности косвенных измерений следует сначала функцию прологарифмировать, а затем найти дифференциал:

Рассмотрим нахождение косвенных ошибок на примере измерения объема цилиндра по диаметру D_ср. и высоте h_ср.

Объем цилиндра находится из прямых измерений D и h. Ошибки DD и Dh определяются как погрешности прямых измерений. Пользуясь описанным выше математическим приемом

Исходную формулу логарифмируем:

Полученное выражение дифференцируем:

Заменяем знак на d : D

или

                (9)

Примечание:

Принято абсолютную ошибку приближенных величин находить как половину разряда последней значащей цифры. Так как число p=3,14 является приближенной величиной (округленной с точностью до сотых долей), то Dp = 0,005.

Для определения объема цилиндра делают многократные измерения штангенциркулем высоты h и диаметра D. Данные заносятся в таблицу:

 

Таблица 2

Пример нахождения объема цилиндра

 

№	D, мм	DD, мм	(D)2, мм2	h, мм	Dh, мм	(Dh)2, мм2
1 2 3 4 5 6 7	10,1 9,9 9,8 10,0 10,1 10,0 9,9	0,1 0,1 0,2 0 0,1 0 0,1	0,01 0,01 0,04 0 0,01 0 0,1	40,5 40,6 40,5 40,7 40,6 40,5 40,6	0,1 0 0,1 0,1 0 0,06 0	0,01 0 0,01 0,01 0 0,01 0
S ср.	69,8 10,0	- -	0,08 -	284,0 40,6	- -	0,04 -

 

1. По уравнению (1) вычисляем среднее значение диаметра D_ср =10,0 мм и высоты                  h_cp =40,6 мм

2. Вычисляем объем цилиндра:

3. Необходимо из таблицы 1 определить коэффициент Стьюдента для надежности a = 0,95 и n=7.

4. По уравнению (4) находим ошибки прямых измерений диаметра DD и высоты Dh с учетом коэффициента Стьюдента:

5. Пользуясь полученной выше формулой для расчета косвенной ошибки объема                                           (уравнение (9), подсчитаем абсолютную ошибку:

 

6. Оцениваем доверительный интервал, в котором лежит искомый объем по уравнению (5):

Это значит, что с надежностью 0,95 истинное значение объема лежит в найденном доверительном интервале.

ГРАФИЧЕСКАЯ

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: