Шестнадцатое заседание КРМ

 

было расширенным — его провели совместно с активом. Мысль эту подал Сева. С некоторых пор он одержим идеей, что математические дарования необходимо выявлять как можно раньше. Ведь самые значительные свои открытия великие математики делали как раз в юные годы. Нелишне будет сказать, что Сева только недавно прочитал книгу о французском математике Эваристе Галуа, который умер всего 21 года от роду, успев, однако, оставить миру свою гениальную работу…

Неожиданно активистов на заседание явилось так много (по выражению президента, «столько много»), что в небольшой Севиной комнате буквально негде было повернуться.

— «Партер и кресла, все кипит», — объявил, открывая заседание, хозяин дома. — Леди и джентльмены! Действительные и почётные члены Клуба Рассеянного Магистра! Первый вопрос нашего очередного заседания называется: «Любое, любую, в любом!»

— Ничего подобного, — нарушил торжественность некий взлохмаченный активист. — Первый вопрос такой: почему Магистр соединил барона Мюнхгаузена с Тартареном из Тараскона?

— Отвечаю, — невозмутимо сказал Сева. — Потому что Магистр есть Магистр! А вообще вопросы попрошу задавать в конце заседания. Итак, задумайте каждый какое-нибудь число, запишите его на бумажке и проделайте с ним все то, что предлагал Мюнхгаузен. Ну, а я уж как-нибудь да угадаю, какую цифру каждый из вас зачеркнул. Даю 38 секунд. Начали!

Ненадолго наступила тишина. Потом активисты засопели, зашептались…

— Время! — железным голосом провозгласил Сева и попросил каждого назвать свой результат.

И тут начался такой галдёж, что хоть уши затыкай. Активисты выкрикивали числа, а Сева называл зачёркнутую цифру. Из 28 цифр он угадал… одну! И то чисто случайно. За каждым неправильным ответом следовал мощный взрыв эмоций. Президент даже колокольчик сломал. Когда все кое-как утихомирились, Таня сказала:

— Мне кажется, я подметила в задании Мюнхгаузена некоторую закономерность. Если к тем числам, которые сейчас называли наши гости, приписывать зачёркнутую ими цифру, получается число, кратное девяти.

Все шумно стали проверять Танино предположение. Она оказалась права. Ей устроили овацию. Однако взлохмаченный активист потребовал доказательства: а ну как все это просто случайность?

Но Таня доказательства не знала. Выручил её, как всегда, Олег. Он предложил все действия над задуманными числами записать в общем виде, а вычисления начать с самого начала.

— Для быстроты вычисления, — продолжал он, — пусть задуманное число будет четырехзначным. Тогда в общем виде оно запишется так:

1000x +100y +10z +t .

— В таком случае сумма его цифр, — снова перебил взлохмаченный активист, — равна x +y +z +t .

— Правильно, — подтвердил Олег. — А теперь надо вычесть из задуманного числа сумму его цифр:

1000x +100y +10z +t -(x +y +z +t ), что равно 999x +99y +9z .

— Смотрите, — вмешалась Таня, — последняя цифра (t ) исчезла. Значит, она может быть любой!

— Правильно подметила! Остаётся взять девятку за скобки, и сразу станет ясным, что разность кратна девяти:

9(111x +11y +z ).

— До сих пор все верно, — кивнул Нулик, — но ведь дальше эту разность надо ещё умножить на любое число!

— Ну и что ж? — удивился Олег. — Если число делится на 9, то на сколько его ни умножай, произведение останется кратным девяти.

— Допустим, — упорствовал президент. — Но ведь после того как одна цифра была вычеркнута, остальные переставлялись в ЛЮБОМ порядке.

— И это не имеет значения, — успокоил его Олег. — Ведь для того чтобы число делилось на 9, надо, чтобы сумма его цифр тоже делилась на 9. Ну, а от перемены мест слагаемых сумма, как тебе известно, не меняется.

Нулик только руками развёл.

— Итак, — подытожил Сева (можно подумать, что он сам все доказал), — чтобы угадать зачёркнутую цифру, надо прочитанное вами число разделить на 9, а остаток дополнить до девятки. Это и будет искомая цифра.

Самая юная активистка — крохотная девочка в больших очках — попросила проверить правило на задуманном ею числе. Отгадывать зачёркнутое число вызвался Нулик. Девочка назвала число, получившееся у неё после заданных вычислений: 5871.

— Зачёркнутая цифра — 6, — сказал президент, подумав.

— Правильно, — подтвердила кроха. — Но разъясните ход ваших рассуждений.

— С удовольствием! — Нулик даже ножкой шаркнул. — Сложим цифры 5+8+7+1, получим 21. Разделим на 9, получим 2 и в остатке 3. Ну, а для того чтобы тройка стала девяткой, к ней надо прибавить шесть.

Все шумно захлопали. Президент раскланялся и предложил провести ещё один эксперимент. Успех явно вскружил ему голову.

 

— Пожалуйста, — как всегда, невозмутимо согласился Олег. — Результат моих вычислений: 603.

Нулик взмахнул рукой, как фокусник.

Итак, приступаю к отгадыванию. 6+0+3=9. Делю 9 на 9 — получается единица… А где же остаток? — Нулик озабоченно потёр переносицу. — Остатка нет! Постой-постой, какую цифру ты вычеркнул? Или ты ничего не вычёркивал?

— Нет, вычеркнул. Девятку! А мог бы вычеркнуть и нуль. А число при этом все равно делилось бы на 9 без остатка. Так что угадать зачёркнутую цифру в данном случае точно невозможно.

Президент чуть не заплакал:

— В чём же дело?

— Просто Магистр (а может быть, и сам барон Мюнхгаузен) забыл предупредить, что вычёркивать можно любую цифру, кроме нуля или девятки — по выбору.

— В общем, с первым вопросом все, — заключил Сева. — Переходим к следующему…

— Не торопись, — перебил я. — Есть ещё один, притом более простой способ отгадать зачёркнутую цифру. Но для этого надо уметь вычислять однозначную сумму цифр.

Все снова загалдели и потребовали разъяснения: что ещё за однозначная сумма цифр?

— Всем известно, — сказал я, — что однозначным числом называется число, состоящее из одной цифры, двузначное число состоит из двух цифр и так далее. Так вот, цифры числа надо складывать до тех пор, пока сумма не окажется однозначным числом. Для примера возьмём число 187254683. Сумма его цифр: 1+8+7+2+5+4+6+8+3=44. Теперь найдём сумму цифр числа 44. Это 8. Вот вам и однозначная сумма цифр заданного числа. Так вот, если в прочитанном вам числе вычислить однозначную сумму его цифр и дополнить её до девятки, то это дополнение и будет искомой, то есть зачёркнутой цифрой.

Нулик, по своему обыкновению, стал проверять моё правило на примере и выбрал число, названное девочкой в очках: 5871. Однозначную сумму цифр он нашёл правильно: 5+8+7+1=21, далее 2+1=3, дополнение до девяти равно 6. Ура!

Ребята снова загалдели. Сева приложил палец к губам:

— Эй, вы, потише! А не то сюда весь дом сбежится…

Когда все немного успокоились, Олег предложил для вычисления однозначной суммы цифр ещё более короткий способ, чем мой. Он просто-напросто вычёркивал в числе цифры, которые в сумме давали 9. Для этого он воспользовался моим же примером: 187 254 683. Сначала он вычеркнул 1 и 8, затем 7 и 2, далее 5 и 4, наконец, 6 и 3. Осталась одна цифра — 8!

И снова шум, гам, крики «ура!»…

— Но самое замечательное, — сказал я, когда активисты наконец усовестились, — что с помощью однозначной суммы цифр можно проверять правильность, а лучше сказать — неправильность некоторых вычислений. Вот, например, сложим числа 138 и 244. Сумма их равна 382. Допустим, мы ошиблись и получили в сумме 381. Произведём проверку. Однозначная сумма цифр числа 138 равна 3, а числа 244 — 1. Сумма этих сумм: 1+3=4. Но так как однозначная сумма цифр числа 381 равна 3, значит, сразу видно, что допущена ошибка. А вот однозначная сумма цифр числа 382 как раз и есть 4. Точно так же можно проверить правильность ответа при умножении и при возведении в степень.

Нулик потребовал немедленных доказательств, но из-за позднего времени мы их отложили и перешли ко второму вопросу.

К счастью, на него ушло гораздо меньше времени, несмотря на то что активисты галдели по-прежнему.

Улучив удобный момент, Сева изловчился и довёл до сведения малопочтенного собрания, как летели утки после выстрела барона Мюнхгаузена.

 

— Вначале, как вы помните, они летели вереницей, по порядку номеров: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Но, услышав выстрел, мигом перестроились и образовали в воздухе острый угол. При этом ясно, что одну сторону угла составляли утки с чётными номерами — 2, 4, 6, 8… а другую сторону — с нечётными: 1, 3, 5, 7, 9… И конечно же, на бечёвке оказались утки нечётные. Потому что, когда барон складывал номера этих уток подряд, у него вслед за единицей оказалось число 4 (1+3=4), далее 1+3+5=9, затем 1+3+5+7=16… Таким образом, в сумме у него всё время получались квадраты количества отсчитываемых уток: 1=1², 4=2², 9=3², 16=4² и так далее.

— До-ка-за-тель-ства! До-ка-за-тель-ства! — скандировали активисты.

— Обратите внимание, — успокоил их Олег, — любое нечётное число можно получить, умножив его порядковый номер на два и вычтя затем единицу. Например, 7 — четвёртое по порядку нечётное число. Умножим 4 на 2 и вычтем 1 — получим: 4·2−1=7. Обобщая это правило, можно сказать, что всякое «иксовое» нечётное число равно (2x− 1). А теперь сложим икс последовательных нечётных чисел, начиная с единицы. По правилу арифметической прогрессии надо сложить первый и последний члены, умножить сумму на число всех членов и разделить на два. Итак, обозначив сумму икс членов латинской буквой S, найдём, что

 

— Что и требовалось доказать, — закончил Олег под дружный вздох удовлетворения.

Переждав очередной взрыв активистских эмоций, Таня быстро и толково разобралась в другой закономерности утиных номеров. Она обратила внимание присутствующих на то, что если брать по порядку сперва число 1, затем сумму двух последующих нечётных чисел: 3+5, далее сумму трех последующих нечётных чисел: 7+9+11, затем — сумму четырех и так далее, то при этом как раз получается та любопытная зависимость, которую подметила Единичка. Эти суммы представляют из себя кубы последовательных целых чисел:

1 = 1³

3+5 = 2³ = 8

7+9+11 = 3³ = 27

13+15+17+19 = 4³ = 64 и так далее.

— Точно подмечено, — сказал Олег. — Но из этого вытекает ещё одна любопытная штука. Попробуем сложить правые и левые части Таниных равенств:

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 1³+2³+3³+4³.

— Но ведь только что, — продолжал Олег, — Сева доказал, что левая часть этой суммы должна быть полным квадратом. А так как слева написано 10 последовательных нечётных чисел, то очевидно, что 10²=1³+2³+3³+4³. Но это ещё не все. Ведь 10=1+2+3+4, не так ли? Следовательно, получается вот что:

(1+2+3+4)² = 1³+2³+3³+4³.

— Это что же, справедливо только для четырех чисел? — спросил взлохмаченный активист.

— А мы сейчас проверим, — вступил в свои права президент.

Оказалось, что правило пригодно и для двух, и для трех, и для пяти, и шести, и семи чисел…

— А теперь — перерыв! — решительно объявил Нулик.

— Перерыв! Перерыв! — загалдели активисты. И все, с удовольствием покинув тесную комнату, повалили во двор — поразмяться. Энергичнее всех «разминался» Пончик, — его, бедного, так стиснули на заседании, что он и дышать-то не мог, не то что двинуться!

После разминки выяснилось, что половина актива, уподобившись только что выпавшему снежку, растаяла. Зато другая половина честно вернулась на заседание и не прогадала: обсуждался волшебный полет Магистра в лифте имени Альберта Эйнштейна.

Слово по этому вопросу единогласно предоставили мне.

— Вы, конечно, не забыли, — начал я, — что лифт унёс наших путешественников очень далеко от Земли, так далеко, что рядом не оказалось никакого небесного тела, а значит, и поля тяготения. А раз так, естественно, что все находящееся в кабине лифта, в том числе Магистр с Единичкой, потеряло вес и повисло в воздухе. Свободно плавал в воздухе карандаш. Перестал раскачиваться маятник… Но вот наступил момент, когда все пришло в движение: маятник снова закачался, а люди и вещи попадали на пол, то есть стали вести себя так, как вели бы себя на земле. (Нет-нет, Нулик, оставь вазу в покое. На сей раз мы обойдёмся без твоих экспериментов.) Итак, что же произошло в кабине?

— Кабина вновь очутилась в поле земного притяжения, — предположил Сева.

— Возможно, — уклончиво ответил я. — Именно так и полагал Магистр. Но Магистр — человек трезвый, а мы с вами фантазёры. Почему бы нам не предположить, что кто-то, какое-то фантастическое существо потянуло лифт вверх? И не как-нибудь, а именно с тем самым ускорением, с которым все предметы свободно падают на землю. Попробуй тут угадай, что же произошло на самом деле? Ведь в этом случае поле земного тяготения и равномерно ускоренное движение проявляются одинаково. Они равновозможны, или, как говорят, эквивалентны. Именно в этом и состоит знаменитый принцип эквивалентности, высказанный Эйнштейном в его общей теории относительности. Из этого принципа вытекают многие неожиданные выводы, но… говорить о них нам (я великодушно сделал ударение на слове «нам»), пожалуй, рановато. Всякому овощу своё время!

— Ну вот, — недовольно пробурчал президент, — всегда так…

— Ничего не поделаешь, старина, — утешал его Сева. — Хватит с нас и того, что мы наконец поняли, почему лифт назван именем Эйнштейна. Так что перейдём к следующему приключению Магистра.

Но из Севиного благого намерения ничего не вышло: президент срочно вспомнил, что в Арабелле, в доме на Восьмой улице, тоже имеется лифт и неплохо бы в нём прокатиться. Сунув под мышку Пончика, он удалился, а заседание… Заседание, сами понимаете, закрылось.

 

У подножия Парнаса

 

Ну-с, хотя голова моя ещё побаливает после ушиба, я всё же продолжу свои заметки. Конец их вы уже знаете, начало — тоже. Так что остаётся середина.

Итак, мы с Единичкой очутились у подножия горы Парнас, стало быть в Греции, к тому же — в Древней Греции, в VII веке до нашей эры.

Люблю путешествовать во времени, особенно назад, — всегда увидишь что-нибудь новенькое! К сожалению, на этот раз ни спортивных, ни поэтических соревнований мы не застали: они тут проводятся раз в четыре года. Зато мы побывали в Дельфах и видели великолепный храм Аполлона, где находится знаменитый дельфийский оракул.

Говорят, время от времени оракул начинает вещать человеческим голосом и предсказывать будущее. Единичка над этими слухами только смеётся: это, мол, все мифы — значит, выдумки. Какая-нибудь там пифия спряталась за ширму и болтает, что ей вздумается… Признаться, и я полагаю так же, но зачем говорить об этом вслух и обижать местных жителей?! Никогда не надо показывать, что ты умнее других. Я, например, никогда так не делаю.

И всё же оракул меня разочаровал. Представьте себе самый обыкновенный куб, вернее, кубище без окон и дверей. Здесь жители Дельф… как их там… да, дельфины, чтобы умаслить своих богов, приносят им жертвы: режут быков, овец и прочую живность. Жертвы эти называются… дай бог памяти… кажется, катакомбами. Ну и кровожадны греческие боги! А дельфины тоже хороши: я бы на их месте ни за что никаких богов слушаться не стал.

Только я так подумал, как откуда-то послышался низкий голос:

— Больно вы прытки. Попробуйте-ка не послушаться богов! Они вам такое покажут… Мне они, например, велели построить вместо этого куба новый, да такой, чтобы он тютелька в тютельку был вдвое больше старого. А как это сделать, ума не приложу.

«Уж не пифия ли это говорит? — подумал я. — А может, и сам оракул?»

Но, слава бывшим богам, из-за куба выглянул самый обыкновенный каменщик. В руках он держал линейку и циркуль. Я спросил:

— Зачем нужно перестраивать куб?

— Я же сказал, боги велели, — ответил он. — А приказ их изрёк оракул, будь он неладен! Он всегда от имени богов говорит, вроде как бы консультант у них или референт, что ли.

Оказывается, в Дельфах началась эпидемия очень опасной болезни. И вот, чтобы избавиться от неё, оракул приказал построить новый куб, ровно вдвое больше нынешнего. Тогда, мол, все хвори как рукой снимет. Услышав это, Единичка захихикала, но я погрозил ей пальцем, а затем спросил у каменщика:

— Разве так уж трудно построить новый жертвенник?

— Ещё как трудно-то! — вздохнул тот. — Ведь по условию новый жертвенник тоже должен быть кубом. Вот сижу и гадаю, какой длины выбрать сторону нового куба. Да к тому же, на беду мою, никакими инструментами, кроме линейки и циркуля, пользоваться нельзя.

Сказать откровенно, я думал, каменщик немного того — свихнулся. Я бы такую задачу решил безо всякого циркуля. С одной линейкой. Стоит измерить длину ребра старого куба и увеличить её вдвое — и делу конец!

Я уж собирался сказать об этом каменщику, но Единичка потянула меня за рукав.

— Вы же сами говорили, что невоспитанно выставлять себя умником!

 

Она права, — зачем обижать скромного труженика?

Тут не знаю с чего, от собственного ли благородства или от усталости, у меня закружилась голова, и я довольно бесцеремонно прислонился к ребру куба. Сколько времени прошло, не знаю, но, очнувшись, я обнаружил, что мы снова в Тарасконии и, слава богу, в нашем веке.

Тут я и встретил моего закадычного друга, барона Мюнхгаузена. Ну, да об этом я уже рассказывал в прошлый раз. А что было дальше? Это я не вас спрашиваю, это я себя спрашиваю. Так что же было дальше? Ага! Вспомнил!

Мы увидели старинное и необыкновенно красивое здание. Стены его уже кое-где дали трещины — ещё бы, постройка простояла не одно столетие! Но, по-моему, именно эти трещины и придавали зданию особое очарование. На фронтоне была высечена дата постройки. Конечно, я её не запомнил, но как математик не смог не обратить внимания на любопытное сочетание цифр: каждые две соседние цифры составляли число, которое было полным квадратом. Подумать только, какое замечательное совпадение! И повезло же архитектору! Построить здание в таком удивительном году! Ведь всего одно-единственное число обладает таким интересным свойством…

Единичка несколько охладила мой восторг неким подозрительным хмыканьем. Что она хотела им сказать? Не знаю. Да, по правде говоря, и знать не хочу.

А в здании, между прочим, помещался магазин геометрических игрушек. Повсюду лежали, висели, стояли самые разнообразные фигуры — пирамиды, конусы, какие-то гиперболические параболоиды и параболические гиперболоиды… одним словом, что угодно для души.

Мне особенно понравился красивый прозрачный куб, внутри которого находился красный шар. Шар был вписан в куб, а все пространство между ними заполнено голубой жидкостью. И все это подсвечивалось лампами. Эффект — необыкновенный! Я уже хотел приобрести это чудо, но Единичке понравился другой куб, точно того же размера, что и мой, но в нём был не один, а столько шаров, что сразу и не сосчитать, — думаю, не менее пятисот! Все шарики совершенно одинаковые и уложены правильными рядами, точно один над другим, так что каждый касается соседних, а крайние соприкасаются ещё и со стенками куба. Одним словом, укладка что надо! Но вот беда: жидкости в кубе не было, от чего он очень проигрывал. Я попросил наполнить куб голубой водичкой, но мне сказали, что, к сожалению, её больше не осталось. Тогда я предложил отлить немножко из первого куба, в котором один шар. Но продавец отказался. Жалко ему, что ли? Ведь в первом кубе воды не меньше двух литров, а для второго понадобится не больше полустакана: пятьсот шариков как-никак занимают больше места, чем один!

Продавец, однако, был неумолим.

Может, я бы и уговорил его, но Единичка чуть не силой вывела меня на улицу.

Дорогой я всё время ворчал на несговорчивого продавца, и Единичка, решив меня успокоить, стала рассказывать какую-то сказку. Что-то вроде того, что жил на свете богач, очень богатый богач, самый богатый на земле, но все ему казалось, что он ещё недостаточно богат.

И вот однажды пришёл к этому самому богатому богачу самый бедный бедняк на свете и сказал:

«О господин! Сияние твоих сокровищ слепит глаза. И всё-таки у меня есть способ умножить твоё богатство. А заодно и своё».

Богач прямо затрясся от жадности:

«Что же ты стоишь? Умножай скорей!»

«А ты не будешь на меня в обиде?» — опасливо спросил бедняк.

«Что я, дурак какой-нибудь? Ведь ты хочешь умножить моё богатство!»

«Конечно, умножить», — подтвердил бедняк.

«Так умножай — и дело с концом!» — закричал богач, теряя терпение.

«Быть по-твоему, — отвечал тот. — Раз, два, три! Готово!»

Богач бросился к своим сундукам да как завопит:

«Что ты наделал, негодный?! Ты меня разорил! Где моё золото? Где алмазы? Где жемчуга?»

«Были у тебя, теперь они у меня, — сказал бедняк. — Ведь ты же сам просил меня умножить! Я и умножил».

Вот какую сказку придумала Единичка. Признаться, смысл её остался для меня неясным, потому что как раз в это время появился письмоносец, который передал мне телеграмму-молнию: «Выезжайте срочно в Рио-де-Магистро на всемирный симпозиум Рассеянных Математиков. Открытие во вторник. Ждём нетерпением. Паспарту?».

Легко сказать — ждём! Ведь вторник-то был вчера! Неужели этот таинственный Паспарту не мог известить меня вовремя… Но пропустить такой симпозиум?! Нет, это невозможно!

Мы с Единичкой тотчас поспешили на аэродром, но там, как на грех, ни одного самолёта на запад! Все летят только в восточном направлении. Ничего не поделаешь, придётся лететь на восток… Авось на второе заседание симпозиума всё-таки поспеем. Так что до свидания, друзья! До встречи в Рио-де-Магистро!

 

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: