Точка последовательности. Предел последовательности.

Точка последовательности. Предел последовательности.

{Xn}n=1 Xn принадлежит R, n->Xn – функция натуральных чисел называется последовательностью. Если для любого E>0 существует N и выполняется

|Xn+a|<E,то число [a] называется пределом последовательности Xn и обозначается a=LimXn при n->0.Замечание - последовательности имеющие конечный предел называются – сходящимися последовательностями.

Определение: 1)Lim Xn =+҆∞ для любого А>0 сущ N такое что для всех n>N сущ Xn>A.

2)Lim Xn =- ∞ это означает что для любого А>0 сущ N такое что для всех n>N сущ Xn<A.

3)Lim Xn=∞ для А>0 сущ такое N что для всех n>N выполняется |Xn|>A.

Свойства сходящихся последовательностей.

Определение: 1) Последовательность {Xn}∞n=1 называется ограниченной если сущ N(n=1,2…) такое что Xn<N для любого N(1,2,3..)

2) Всякая сходящаяся последовательность всегда ограничена. 3) Сохранение знака у сходящейся последовательности.

Теорема. Пусть Lim Xn=a при N->∞ ,a!=0, тогда начиная с некоторого номера N все члены последовательности имеют тотже знак что и число А.

Арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей.

Теорема.1) Пусть Lim Xn =A , Lim Yn=B тогда Lim(Xn+Yn)=a+b т.е равен сумме пределов. 2)Lim(Xn*Yn)=(Lim Xn)* Lim(Yn)=a*b произведение пределов = произведению их решений. 3) Lim Yn=b!=0 то и LimXn/Yn=Lim Xn/Lim Yn = A/B частному пределов.

Замечание: LimC*Xn=C*Lim Xn для любой константы.

Предельный переход в неравенствах.

Теорема 1.

 Пусть последовательность {Xn}∞ при n=1 и {Yn}∞ при n=1 таковы что 1)Lim Xn = a, Lim Yn = b. 2)Начиная с микрономера выполнимо неравенство N1 выполнимо соотношение n>N => Xn<Yn, тогда a=<b , т.е Lin Xn =< Lim Yn.

3. Теорема о трех последовательностях.

Пусть последовательности {Xn} {Yn} {Zn} таковы что существует предел Lim Xn= a; Lim Zn = a

2) Условие существование N0 такое что Xn=<Yn=<Zn тогда существует предел Lim Yn =a

Свойство монотонных последовательностей.

Определение : Последовательность называется 1) Монотонно возрастающей если для любого n>=1, Xn<Xn+1. 2)Монотонно неубывающей если для n>=1 Xn=<Xn+1

3) Монотонно невозрастающей, если для n>=1 Xn>=Xn+1 4) Монотонно убывающей если для n>=1 Xn>Xn+1 (+1 прибавляется к N).

Теорема о существовании предела, о монотонной и ограниченной последовательности.

Если {Xn} монотонно не убывает( не возрастает ) и ограничена сверху (снизу) то она имеет предел.

 

Число e .

Теорема. Существует Lim (1+1/n)^n значение этого предела обозначается буквой е = 2.71

Доказательство. Бином Ньютона                     (a+b)^n=A^n+Cn^1*a^(n-1)*b+Cn^2*a^(n-2)*b^2…+Cn^k*a^(n-k)*b^k+b^n.

 

Монотонно возрастает. Заметим осталось доказать ограниченность. Из самого построения последовательности.

 

Монотонно возрастает и Xn=<3 ограничена сверху значит по теореме о существовании предела у монотонной и ограниченной последовательности существует предел Lim (1+1/n)^n =e.

 

Предел функции.

Дано множество X принадлеж R и y принадлеж R.Существует закон соответств F x->y, для x принадлеж X сущ y принадлеж X.

Закон называется Функцией от X. Y = f ( x ) . Определяемое число А называется пределом функции y=f(x) в точке А если для любого Е>0 существует

Дельта такое что Дельта(E>0) для всех X, 0<|x-a|<Дельта. Отсюда следует |f’(x)-A| и обозначается A=Lim f(x) при X->a

Элементарными называются функции

1)у=x^R R- вещественное число (степенная функция)  2)y=sinx,cosx,tgx,arcsinx – тригонометрические функции 3) y=a^x, a>0, a!=0 показательная функция

4) y = loga(x) a>0 a!=0 логарифмические функции 5) y=C константа.

Из этих функций операциями(арифметическими) f(x)+-g(x); f(x)*g(x); f(x)/g(x);  и операциями суперпозиции f[g(x)] получаются все элементарные функции.

Свойства предела функции.

Критерий Коши. Существование предела функции. Теорема.

Существует предел Lim F(x) это равносильно тогда и только тогда E>0 существет δ=δ(E>0) такой что для всех x’,x’’ 0<|x’-a|<δ 0<|x’’-a|<δ => f(x’) – f(x’’)<E

Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентностей.

Функции альфа(x) и бета(x) называют эквивалентно малыми при х->x0 если Lim альфа(х)/бета(х) = 1

8. Свойства предела функции 1) Арифметические св-ва пределов Lim(f(x)+-g(x))=Lim f(x)+-Limg(x)

2) Если существует Limf(x) при x->a то функция ограничен в некоторогой окрестности Ur(a) точки А это означает что существует число b>0 и существует Uб(a) такие что

|f(x)|<=b Uб(a) =0<|x-a|<б 3) Если существует Lim f(x)= b b!=0 то существует Uб(а)окрестность такая что F(x) имеет тотже знак в этой окрестности что и число b.

Второй замечтельный предел.

Теорема существует Lim(1+1/x)^x=e при X->∞ Доказательство. Считаем известным что Lim(1+1/n)^n=e. Пусть х>1 то N=[x] целая часть числа x, т.е х=n+альфа где альфа 0<=альфа<n+1 . По определению целой части  N<=X<n+1 тогда получим 1/n+1<1/<=1/n прибавим ко всем единицу получаем 1+1/n+1<1+1/x<=1+1/n

(1+1/n+1)^n<(1+1/x)^x<(1+1/n)^n+1 (*) Lim(1+1/n)^n+1=Lim(1+1/n)^n*Lim(1+1/n).=e

Lim(1+1/n+1)^n = Lim(1+1/n+1)^n+1/(Lim(1+1/n+1)=e/1=e тогда в соотношении * переходя к пределу при Х->+∞ => n->x->+∞ по теорем о трех функциях

(1+1/n+1)^n<(1+1/x)^x<(1+1/n)^n+1 =е каждая из функций. Следовательно существует Lim(1+1/x)^x=e при х->∞

2) Пусть теперь х-<-1 => Lim (1+1/x)^x=y=-x x->-∞,a y->+∞ Lim (1-1/y)^-y=Lim(y-1/y)^-y преобразуем = Lim(y/(y-1))^y= добавим и вычтем 1 получаем

Lim(1+y/(y-1)-1)^y= Lim(1+1/y-1)^y при х->+∞ =Lim(1+1/(y-1))^y-1*Lim(1+1/(y-1))=e*1=e

Существует Lim(1+1/x)^x=e сделаем замену 1/x=y y->0 Lim (1+y)^1/y=e

 

О символика

Пусть в некоторой проколотой окрестности Uб(Х0) имеет место равенство f(x)=альфа(х)*g(x)

1)Если Альфа(х) ограничена в окрестности Uб(Х0) то считают f(x)=(O(g(x))) в окрестности Uб(Х0)

2)Если существует Lim Альфа(х)=0 то считают f(x)=o*g(x) при x->X0

1- O большое 2- о – малое. f(x)=альфа(х)*g(x)

В этом случае f(x) называется функцией более высокого порядка чем g(x) при х->х0

3)Если существует Lim альфа(х)=1 то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при х->х0 f(x)~g(x) x->x0

4) Если f(x)=Og(x) a g(x)=Of(x) в некоторой окрестности Uб(х0) то f(x)=O(g(x)) в Uб(х0) функции одного порядка f(x) и g(x) в Uб(х0)

5)Функция f(x) называется бесконечно малой порядка p>0 относительно Х при Х->0 если существует const=C такая что f(x)=Cx^p+o(x^p) x->∞

Проще использовать предложения: 1) Пусть альфа(х) и бета(х) бесконечно малые при х->х0 Lim альфа(х)/бета(х)=0 при х->х0 то альфа(х)=о(бета(х))

2) Lim альфа(х)/бета(х)=А то альфа(х)=О(бета(х)) альфа(х) и бета(х) одно порядка при х->x0

3) Lim альфа(х)/бета(х)=1 то альфа(х) и бета(х) эквивалентны при х->x0

4)Lim альфа(х)/[beta(x)]^p=A то альфа(х)=Обета(х)^p альфа(х)-бесконечно большого порядка бета(х)^p при х->x0

 

Геометрический смысл дифференциала и производной.Таблица производных.

Y=f(x) y=f(x0) delta(x)->0 cereifz M0*M примет предельное положение Tg<MM0A->Tg Alpha

F’(x) равно тангенсу угла наклона косательной к оси Ох Lim (f(x0+delta(x))-f(x0)/delta(x)=f’(x0)

Дифференциал обзначают через dy=df(x0)=a*delta(x). Для того чтобы функция y=f(x) была дифференцирована в точке х0 необходимо и достаточно чтобы f’(x) имела производную f’(x0) и тогда дифференциал записывается в виде: dy=df=f ‘(x0)*delta(x) а поскольку в частности y=x, dy=1*delta(x) тогда dy=1*delta(x) то приращение функции delta f(x)=(x+delta(x))-x=A*delta(x)+O(delta(x)); f(x)=x dx=1*delta(x) тогда dy=f’(x)dx g=f(x) + таблица производных.

 

Асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты. Пример x-2/x-1

Наклонные асимптоты. y=kx+b называется наклонной асимптотой графика y=f(x) при хà +∞ если Lim(f(x)-kx-b)=0

Теорема. Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) тогда и только тогда когда k=Lim f(x)/x   b=lim [f(x)-kx]

 

Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

Свойства. 1) ∫alpha f(x)+ beta g(x)) dx= alpha ∫f(x) + beta ∫ g(x) 2)( ∫f(x) dx)’=f(x) 3) d(∫f(x)dx)=f(x)dx 4. ∫dF(x)=F(x)+C

Таблица…

 

Точка последовательности. Предел последовательности.

{Xn}n=1 Xn принадлежит R, n->Xn – функция натуральных чисел называется последовательностью. Если для любого E>0 существует N и выполняется

|Xn+a|<E,то число [a] называется пределом последовательности Xn и обозначается a=LimXn при n->0.Замечание - последовательности имеющие конечный предел называются – сходящимися последовательностями.

Определение: 1)Lim Xn =+҆∞ для любого А>0 сущ N такое что для всех n>N сущ Xn>A.

2)Lim Xn =- ∞ это означает что для любого А>0 сущ N такое что для всех n>N сущ Xn<A.

3)Lim Xn=∞ для А>0 сущ такое N что для всех n>N выполняется |Xn|>A.

Поделиться: