Переход к ФНЧ-прототипу и нормирование по частоте.

Электрическим фильтром верхних частот (ФВЧ) называют четырёхполюсник, пропускающий без заметного ослабления (не больше ) колебания частот в диапазоне  и подавляющий колебания частот (с ослаблением больше или равно ) в диапазоне . Приведём качественную частотную характеристику ослабления ФВЧ.

 

 

    рис.4.1 Частотная                                    рис.4.2 Частотная характеристика

   характеристика ФВЧ                                         ФНЧ-прототипа

 

Справа представлена частотная характеристика ослабления фильтра нижних частот (прототипа). При синтезе ФВЧ используют преобразование шкалы частот ФНЧП. Это очень удобно, поскольку нет необходимости создавать отдельную методику расчета как ФВЧ, так и ФНЧ. После реализации ФНЧП обратным преобразованием переходят к схеме ФВЧ.

, , ,  – граничные частоты ФНЧП [Гц]. Для ФНЧП справедливы соотношения:

, , , .

, , ,  – нормированные граничные частоты ФНЧП.

, , =1., 944, .

 

 

Аппроксимация частотной характеристики

Рабочего ослабления фильтра по Баттерворту.

 

На данном этапе по заданным техническим требованиям к ФНЧ- прототипу необходимо получить математические выражения рабочей передаточной функции Т(р) и рабочего ослабления фильтра А(р). Известно, что частотные свойства фильтра определяются функцией фильтрации φ:

                А = 10lg(1 + |φ |²) = 20lg(1/|T|),                 (1)

где |T|²= 1/(1+ |φ |²).                            (2)

Следовательно, задача сводится к выбору аналитического выражения этой функции и расчету ее коэффициентов. В качестве аппроксимирующих удобно использовать полиномиальные функции, среди которых наиболее широкое применение имеют полиномы Баттерворта и Чебышева.                                                                  

При выборе полинома Баттерворта в качестве аппроксимирующего функция фильтрации определяется выражением:

 

                                    |φ (jΩ )|²=ε ²В²_n(Ω )                        (3)                                                                                                                где:

 ε – коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе пропускания:

                                                                                          (4)   

при Δ А = 0.177 дБ  

В_n(Ω ) =Ω ⁿ – полином Баттерворта,

n – порядок полинома Баттерворта, определяемый техническими требованиями к фильтру и являющийся порядком фильтра:

                                                                                           (5)

                                                

 

Перейдем к формированию нормированной рабочей передаточной функции Т(р) по Баттерворту:

                                                                 (6)

|T(jΩ )|² = 1/(1+(0.204)²Ω ¹⁴)                        (7)

 или

                                                                                             (8)

где V(p)=(p–p₁)(p–p₂)…(p–p_n) – полином Гурвица, определяемый корнями уравненя 1+ ε ² (p/j)²ⁿ = 0, лежащими в левой полуплоскости.

Эти корни определяются соотношением:

 

 

                       (9)

 

 

 

 

Рабочая передаточная функция T(p):

 

 

Осуществив замену p→ јΩ, имеем окончательный вид функции рабочего ослабления:

 

 

                                                                                         (10)

 

Полученной функции соответствует график, показанный на рисунке 4.1.

Проверим выражение на частотах Ω ₁ =0, Ω ₂ =1 и Ω ₃ =1.8. Рабочее ослабление А на первой частоте должно быть равно 0, а на второй не превышать ∆ А=0.177 дБ и на последней должно быть  А_min = 22.5 дБ.

Расчет подтверждает это:

 

Рис.5.1. Характеристика фильтра Баттерворта седьмого порядка

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: