Связные метрические (топологические) пространства.

Пусть  X – метрическое пространство.

Опр1. Если в X ∃ под-во в Y не равно ∅ Y с X, которое одновременно открыто и замкнуто, то пр-во

X называется несвязным.

Опр2. Метр. Простр. R=(x p) ⇒ связным, если его нельзя разложить в объединения

X (не равно) A∪ B

A-открыто, B-открыто. В ТФКП

Теорема 2. При неприрывном отображении, образ связного пространства - есть связное пространство.

f: X→ Y непр отобр X-связн простр-ва, тогда f(x)=Y связн прост

Теорема 3.при непрерывном отображении компактн.мн-во → компактн.мн-во

f: X→ Y Комп отобр, тогда f(X)=Y- комп. Пр-во

X- Комп пр-во ⇒ X c U_α , U_α ⇒ можно извлечь X c Uⁿ U_α (под выражением дописать α =1)

Теорема 4. Если f: X→ Y непр. X-компактное простр то f: -равно комп пр-во

 

Топологическое пространство

Метрическое пространство Х

p (x, y) – числовая ф-я p ( x, y ) ≥ 0

A1. p(x, y) = 0 < => x=y

A2.  x, y p(x, y) = p(y, x)

A3.  x, y, z p(x, y) ≤ p(x, z)+p(z, y)

Теорема.

R=(x, p) - метрическое пр-ство

{X_k} – откр. мн-во в R,

{Y_k} – замкн. мн-во в R

X – произвольное мн-во

 Говорят, что т. Х огран. точками τ, если на X опр. открыт. мн – во; τ = {Пустое множество, G_α }

Аксиомы тополог. пространства

А1.  τ (  – откр.)

А2. (Х - откр.)

А3. ( - откр.)

А4. ( - откр.)

Пример.

(х, τ ) – топологич. пространство; Х – произв. мн-во;  – открыт. мн-во

А1.  τ ₁

А2.

А3.

А4.. .

 

Примеры топологических пространств

С тетради

 

A1 Ø Î τ                                               (Ø - откр. )              

A2 Х Î τ                                                (Х- откр. )

A3 U(снизу буквы  U нужно написать “α ”)* Î τ

(U(снизу буквы  U нужно написать “α ”)* - откр. )

A4 Î τ            ( – откр. )

 

 

Пример(x, τ )-топ.пространство

Х-произв. мн-ва

Z₁ ={ Ø , Х }- открыт. мн-во

 

A1 Ø Î τ ₁

A2 Х Î τ ₁

A3 Ø v X= X Î τ ₁                                                                                                    

A4 Ø = Ø Î τ ₁    

X  =X Î τ ₁                                                                                                    

 

Правильная топология (x, τ )  диск.тополог.

τ ={"  подмн.множ.откр.}

Числовая прфмая R

z={ Ø , (α, β ), и U (снизу (к) не индекс )( , )}  топология числовой прямой

 

A1 Ø Î τ                                                                  

A2 Х Î τ ?

X= , Î Q                                             

A3 U(снизу буквы  U нужно написать “a”) Î τ (по опр-ю)                 

 

A4  Î τ -мн-во

      

Топология зариского

R-числовая прямая

τ ={ Ø , }

- объявляется откр.,

если R- =   (состоит из конечного числа точек)

 

 

A1 Ø Î τ ₁ (по опр.)                                                 

A2 Х Î τ ₁ т.к. Х-х Ø                                                                                         

A3 U (снизу α )  Î τ, т.к.  R- U (снизу α )  =      --- Конечное мно-во

А4 Î τ ₁ т.к. R (сверху n, снизу α =1)/ = =

Примеры топологических пространств из инета

 

1. Пусть Х - множество, состоящее из двух точек А и В. В семейство τ включим пустое множество Ø , само Х и одноточечное множество { A }. τ = { X, Ø , { A }}. Легко убедиться, что все аксиомы топологии 1 - 3 будут выполняться. Возникающее при этом топологическое пространство (Х, τ ) хотя и имеет очень простую структуру, но представляет интерес и носит название - связное двоеточие .

2. Рассмотрим произвольное бесконечное множество Х и семейство τ , состоящее из Х, Ø и всевозможных множеств U Х, дополнения которых С U = Х \ U являются конечными подмножествами. Такое семейство τ задает на Х топологию, которая называется топологией Зарисского .

3. Любое метрическое пространство ( X, ρ ) является топологическим. Как следует из теоремы 2.1, все аксиомы топологического пространства в нем выполняются. В этом случае говорят, что топология индуцируется метрикой.

4. В n -мерном числовом пространстве R ⁿ определим открытое множество следующим образом. Возьмем n числовых интервалов ( а _i , b _i ) ( i = 1, 2, :, n ).

n -мерным координатным параллелепипедом назовем множество

Ω _n = { M ( x ₁, x ₂ ,..., x _n ) | a _i < x _i < b _i }.

А открытым множеством в R ⁿ назовем такое U R ⁿ , что " х Î U $Ω _n | х Î Ω _n U .

Топология, заданная с помощью открытых координатных параллелепипедов, называется естественной.

( R ⁿ , τ ) - n - мерное числовое пространство с естественной топологией. В частности, при n =1 получается ( R, τ ) - числовая прямая с естественной топологией. При этом координатный параллелепипед превращается в интервал, поэтому можно сказать, что естественная топология на прямой задается с помощью числовых интервалов.

5. Пусть Х - произвольное непустое множество. τ = { X, Ø }. Такая топология называется антидискретной , а топологическое пространство (Х, τ ) - антидискретным пространством . В нем всего два открытых множества: Х и Ø .

6. Х - произвольное непустое множество. В качестве открытых множеств возьмем всевозможные подмножества Х. Эта топология называется дискретной, а (Х, τ ) - дискретным пространством . В дискретном топологическом пространстве любое множество является открытым.

 

 

Аксиомы отделимости

Пусть X — множество и τ — система его подмножеств, удовлетворяющая двум условиям:

а) пересечение всякой конечной подсистемы элементов τ ∈ τ;

б) ∪ всякой подсистемы элементов τ ∈ τ.

Из а) вытекает, что X принадлежит τ, поскольку X — пересечение пустой подсистемы системы τ. Аналогично из б) вытекает, что (пустое множество) ∈ τ.

Пара (X, τ ) называется топологическим пространством, а семейство τ — топологией.

Аксиомы отделимости:

1) Топологическое пространство X является Т₀ пространством, if для ∀ х, у∈ X по крайней мере одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

2) Пространство X называется Т₁-пространством, if для ∀ х, у∈ X ∃ окрестность Ох, не содержащая точки у, и окрестность Оу, не содержащая точки х. Очевидно, X есть Т₁ пространство т.и.т.т.к. все одноточечные подмножества X замкнуты.

3) Пространство X называется хаусдорфовым или Т₂-пространством, if для ∀ из X существуют непересекающиеся их окрестности.

4) Пространство X называется Т₃-пространством, if для ∀ х ∈ X и всякого не содержащего ее замкнутого множества F ∃ Ох ∩ (зачёркнутое) OF.

5) Аксиомы Т₀, Т₁, Т₂ идут в порядке усиления и дают все более узкие классы пространств. Так, пространство на

двухточечном множестве {а, Ъ}, открытыми в котором являются множества 0, {а}, {а, Ъ} (так называемое «связное двоеточие»), есть Т₀-пространство, но не Т₁-пространство.

6) Пространство, одновременно удовлетворяющее аксиомам Т₀ и Т₃, называется регулярным. Всякое регулярное пространство X хаусдорфово.

7) Пространство X называется Т₄-пространством, if любую дизъюнктную пару замкнутых в X множеств можно заключить в непересекающиеся окрестности.

 

10 ) Компактное пространство

Опр.1: T=(X, Ƭ ) – топологическое простр-во. Система открытого мн-ва  называется покрытием мн-ва X, если X⊂

Опр.2: Топологическое простр-во Т называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие X⊂

X⊂

                               S – компактное простр-во                                             T – компактное простр-во

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: