Классификация ДУ с частными  производными второго порядка.

Введение.

Уравнения математической физики – дифференциальные уравнения, в них входят частные производные.

 

Примеры уравнений первого порядка:

                                                       (1)

Примеры уравнений второго порядка:

                               (2)

Рассмотрим простейшее уравнение:

.                                                       (3)

Очевидно, что его решение:

                                                                  (4)

Где φ (y) – произвольная функция.

Следующий пример уравнения

 где f(y) – заданная функция.                         (5)

Общее решение

                                            (6)

Где φ (y) – произвольная функция.

Упражнение. Проверить, что общее решение уравнения

                                                                   (7)

Есть

                                                                    (8)

Где φ – произвольная дифференцируемая функция.

 

Простейшее уравнение второго порядка:

                                                                          (9)

Заменим . Тогда наше уравнение принимает вид:

                                                                              (10)

Его общее решение v=f(y). Тогда, возвращаясь к замене, получаем:

                                                                        (11)

Общее решение

                                    (12)

Или

                                          (13)

Упражнение. Проверить, что функция  является общим решением уравнения

                                                      (14)

Уравнения гиперболического типа.

Основные задачи.

3.1.1. Поперечные колебания струны.

 

Рассмотрим струну, колеблющуюся в одной плоскости. Для описания процесса колебаний вводится функция u(x, y) – вертикальное смещение струны, так что u=u(x, y) – уравнение струны в данный момент. В нашей модели струна – гибкая упругая нить, что означает, что напряжение в струне всегда направлены по касательной к струне. Мы будем рассматривать малые колебания струны. В этом приближении можно показать, что сила натяжения струны не зависит от x и t, т.е.

                                                    (44)

 

Для получения уравнения малых колебаний струны составим ее уравнение движения. Рассмотрим элемент струны от х до  и запишем для него уравнение движения в проекциях на вертикальную ось:

                  (45)

Так как мы рассматриваем малые колебания, то можно пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению с

 - линейная плотность струны.

m – масса единицы длины струны.

 - сила, которая действует на весь элемент струны.

Каждая точка струны двигается по вертикали

u(x, y) – смещение.

a – ускорение элемента струны.

 

В этом приближении

В результате уравнение движения может быть переписано в виде:

      (46)

При получаем

                                    (47)

Полученное уравнение – уравнение малых поперечных колебаний струны. В случае однородной струны  его можно переписать в виде

                                                      (48)

где

,  - сила

 - плотность силы, отнесенная к единице массы. При отсутствии внешней силы получаем однородное уравнение

                                                           (49)

 

Продольные колебания стержня.

 

Уравнение продольных колебаний однородного стержня имеет вид:

 

                                                      (50)

Где

,

k – модуль Юнга стержня,

.

u – смещение точки стержня.

Колебания круглой мембраны.

Применим метод решения задачи о колебаниях прямоугольной мембраны к колебаниям круглой мембраны. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса R с центром в начале координат. Введем полярные координаты r и φ:

x=rcos φ, y=rsin φ.

 

Выполняя замену переменных u(x, y, t) à u(r, φ, t) уравнение колебаний мембраны приводятся к виду

                                 (131)

 

 

Граничные условие будет иметь вид

Начальные условия

Будем рассматривать только осесимметричные колебания мембраны, т.е. начальные условия не должны зависеть от угла φ. Очевидно, что в любой момент времени скорости и отклонения точек будут зависеть от угла, поэтому наша задача упрощается:

                                              (132)

Граничные условия

Начальные условия

 

 

Будем искать решение в виде

                                                    (133)

Из краевого условия сразу находим

U(R)=0

Подставляя (133) в уравнение, получаем

 разделим на UT

                                        (134)

В результате приходим к уравнениям

                                                          (135)

                                                          (136)

В последнем сделаем замену :

Подставляя в наше уравнение, получаем

                                                    (137)

Получившееся уравнение является частным случаем уравнения Бесселя:

                                        (138)

Решениями последнего уравнения при заданном k называется бесселевыми функциями порядка k (цилиндрическими функциями).

Найдем решение уравнения (138). Очевидно, что оно имеет особую точку при x=0, поэтому его решение будем искать в виде степенного ряда. Для этого преобразуем его к виду:

                                        (139)

 

 

Записываем ряд:

                      (140)

Подставляя (140) в (139) и приравнивая коэффициенты при каждой степени x нулю, получим систему уравнений

                                  (141)

Где l=2, 3…

Предполагая, что , находим

Из второго уравнения (141) находим, что =0. преобразуем l-е уравнение в системе (141).

 

                      (142)

Отсюда получаем рекуррентную формулу:

                                        (143)

С учетом найденного =0 делаем вывод, что все нечетные коэффициенты равны нулю. Очевидно, что при  решение обращается в бесконечность при x=0. будем рассматривать случай . В результате, для четных коэффициентов получаем

                                  (144)

Применяя эту формулу m-1 раз, получим

     (145)

Полагая,

Получаем

                            (146)

В результате, полученное решение  называется функцией Бесселя первого рода k-ого порядка и имеет вид:

                     (147)

 

Введение.

Уравнения математической физики – дифференциальные уравнения, в них входят частные производные.

 

Примеры уравнений первого порядка:

                                                       (1)

Примеры уравнений второго порядка:

                               (2)

Рассмотрим простейшее уравнение:

.                                                       (3)

Очевидно, что его решение:

                                                                  (4)

Где φ (y) – произвольная функция.

Следующий пример уравнения

 где f(y) – заданная функция.                         (5)

Общее решение

                                            (6)

Где φ (y) – произвольная функция.

Упражнение. Проверить, что общее решение уравнения

                                                                   (7)

Есть

                                                                    (8)

Где φ – произвольная дифференцируемая функция.

 

Простейшее уравнение второго порядка:

                                                                          (9)

Заменим . Тогда наше уравнение принимает вид:

                                                                              (10)

Его общее решение v=f(y). Тогда, возвращаясь к замене, получаем:

                                                                        (11)

Общее решение

                                    (12)

Или

                                          (13)

Упражнение. Проверить, что функция  является общим решением уравнения

                                                      (14)

Классификация ДУ с частными  производными второго порядка.

Уравнением с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными x, y называется соотношение между неизвестной функцией u(x, y) и ее частными производными до второго порядка включительно:

                        (15)

Линейное относительно старших производных уравнение

        (16)

Здесь коэффициенты  являются функциями x и y.

Линейное уравнение

  (17)

Причем a, b, c, f – зависят только от x и y. Если a, b, c, f не зависят от x и y, то (17) – однородное уравнение.

Рассмотрим вопрос о приведении уравнения (16) к наиболее простому виду. Для этого рассмотрим замену переменных:

                                                            (18)

                                                            (19)

По правилу нахождения производной сложной функции:

                                                      (20)

                                                      (21)

Далее

      (22)

Аналогично,

Подставляем вычисленные значения производных в уравнение (16)

        (23)

Коэффициенты при старших производных имеют вид:

                        (24)

 (25)

                  (26)

Очевидно, что наиболее простой вид рассматриваемое уравнение будет иметь, если  и .

Для того, чтобы , необходимо, чтобы функция φ (x, y) была решением уравнения.

                              (27)

Для того, чтобы , , необходимо, чтобы функция φ (x, y) была решением уравнения (27).

Теорема. Для того, чтобы функция z = φ (x, y) удовлетворяла уравнению (27), необходимо, чтобы соотношение φ (x, y)=С                                                    (28)

было общим интегралом уравнения

                  (29)

Докажем необходимость. Пусть функция z = φ (x, y) удовлетворяет уравнению (27).

Тогда из (27) получаем:

                              (30)

Из (28) находим:

 (31) получаем, как φ (x, y)=С – берем полный дифференциал.

                                                                        (31)

Подставляем в уравнение (30)

Домножаем на

. Таким образом мы доказали необходимость.

Докажем теперь достаточность.

Пусть φ (x, y)=С – общий интеграл уравнения (29), которое мы перепишем еще раз:

Отсюда получаем:

Подставляем сюда (31), находим

Отсюда,

,            ч.т.д.

Таким образом, если  и =const есть общий интеграл уравнения

           (33)

то коэффициент при =0.

если  и =const есть другой независимый интеграл этого уравнения, то коэффициент при .

Уравнение (33) называется характеристическим, а его интегралы – характеристиками.

Уравнение (33) распадается на два:

                                         (34)

                                         (35)

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

                  (36)

Если > 0, то уравнение (36) – уравнение гиперболического типа. В этом случае правые части (34) и (35) действительны и различны. Получаем соответствующие общие интегралы =С и =С. Далее выполняем замену переменных

,                                                (37)

И разделив на коэффициент при получаем уравнение вида:

                                   (38)

Полученное уравнение – каноническая форма уравнений гиперболического типа.

Далее выполняем замену:

 или

Т.е.

Вычисляем производные:

Подставляя в уравнение (38), получаем:

                                                            (39)

Если =0, то уравнение (36) – уравнение параболического типа. В этом случае уравнения (34) и (35) совпадают. Соответственно, возникает только один общий интеграл =const

Выбираем переменные следующим образом:

,                                         (40)

где функция  - любая независимая от φ.

Рассмотрим коэффициент . С учетом,  находим

                 (41)

Тогда для      (42)

Таким образом, мы доказали, что

В результате мы получаем каноническую форму уравнения параболического типа:

Если < 0, то уравнение (36) – уравнение эллиптического типа.

 

z=x+iy;

z=|z|

z*=x-iy

z*=|z|

В этом случае правые части уравнений (34) и (35) комплексны. Если φ (x, y)=С – есть комплексный интеграл (34), то φ *(x, y)=С* - есть комплексный интеграл (35).

Если ввести новые переменные

,

то уравнение эллиптического типа приводится к формально тому же виду, что и гиперболическое, но с комплексными переменными. Для того, чтобы перейти к действительным переменным, сделаем замену:

 

или

Отсюда,

 

 

В результате наше уравнение приводится к виду

,

Если из коэффициентов при старших производных составить матрицу

                                                            (43)

и вычислить знак определителя, то знак детерминанта матрицы А будет определять тип уравнения:

detA> 0 – эллиптический.

detA< 0 - гиперболический

detA=0 – параболический

12Следующая ⇒

Поделиться: