МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Контрольные задания для студентов всех специальностей

 

Красноярск

2004

УДК [531+533] (076)

ББК 22.2

 

 

Механика и молекулярная физика: Контрольные  задания для студентов всех специальностей / КрасГАСА. Красноярск, 2004.  

 

                                                                  Составили

                                                                   А. Е.  Бурученко

                                                                   А. А. Колесников

                                                                   В. А. Захарова

С.С. Лаптев

О.П. Арнольд

Г.Н. Харук

П.П. Машков

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии

 

Ó Красноярская государственная архитектурно-строительная академия, 2004

 

 

ВВЕДЕНИЕ

       

Физика – фундаментальная база для теоретической подготовки инженеров, без овладения которой их успешная деятельность невозможна.

На всех этапах обучения большое значение имеет практическое применение теоретических знаний в процессе решения задач. Это способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе, учит анализировать изучаемые явления, выделять главные факторы, отвлекаясь от случайных и несущественных деталей.

Задачи, приведенные в методических указаниях, соответствуют программе общего курса физики в техническом вузе и охватывают разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная физика» и «Термодинамика».

В работе отсутствуют сведения, которые при необходимости могут быть найдены в учебных пособиях по курсу общей физики (см. библиографический список). Поэтому вначале помещен краткий перечень формул и законов, необходимых для решения задач.

В приложении приведены основные справочные данные, дополняющие условия задач. Номера вариантов, которые должен выполнить студент, указывает преподаватель.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

   1.1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЗАКОНЫ

Кинематика

Положение материальной точки в пространстве задаётся радиус-вектором :

,

где  – единичные векторы направлений (орты); x, y, z – координаты точки.

Кинематические уравнения движения (в координатной форме) таковы:

; ; ,

где t – время.

Средняя скорость –                  

< >= ,

где  – перемещение материальной точки за интервал времени .

Средняя путевая скорость –

< >= ,

где  - путь, пройденный точкой за интервал времени .

Мгновенная скорость –  

                                      ,

где  –  проекции скорости  на оси координат.  

Абсолютное значение скорости –  

.

Ускорение –  

,

где ; ; – проекции ускорения  на оси координат.

Абсолютное значение ускорения –  

.

 

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной  составляющих, см. рис 1

Рис. 1.

Абсолютное значение этих ускорений – ; ; , где R – радиус кривизны в данной точке траектории.

Кинематическое уравнение равнопеременного движения материальной точки вдоль оси x:

,

где  - начальная координата; t – время.

При равномерном движении

;  = 0.

Кинематическое уравнение равнопеременного движения (a=const) вдоль оси x :

 где – начальная скорость; t – время.

Скорость точки при равномерном движении :

.

Кинематическое уравнение вращательного движения:

                                                .

Средняя угловая скорость –

,

где  - изменение угла поворота за интервал времени .

Мгновенная угловая скорость –

.

Угловое ускорение –                

.

Кинематическое уравнение равномерного вращения –

,

где  - угловое перемещение; t – время. При равномерном вращении

 и ε=0.

Частота вращения –           

, или ,

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t; Т – период вращения (время одного полного оборота).

Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε=const)  :

                                    ,

где  - начальная скорость; t – время.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении :

.

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

 (где  – угол поворота тела) – длина пути, пройденного точкой по дуге окружности радиусом R;

,  – линейная скорость точки;

,  – тангенциальное ускорение точки;

 – нормальное ускорение точки.

 

Механика твёрдого тела

Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси –

,

где  – момент силы, действующей на тело в течение времени dt; J – момент инерции тела;  – угловая скорость; J  – момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

.

В случае постоянного момента инерции

,

где  - угловое ускорение.

Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения –

,

где – проекция силы  на плоскость, перпендикулярную оси вращения;  – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент инерции материальной точки –

,

где m – масса точки; r – расстояние от оси вращения до точки.

Моменты инерций некоторых тел правильной геометрической формы приведены в табл. 1.

                                                                                                        Таблица 1

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой m и длиной	Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно ему Проходит через конец стержня перпендикулярно ему
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m, распределённой по ободу	Проходит через центр кольца, обруча, трубы, маховика перпендикулярно плоскости основаня
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m	Проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости
Однородный шар массой m и радиусом R	Проходит через центр шара

Момент инерции твёрдого тела –

,

где r_i – расстояние от элемента массы Dm_i до оси вращения.

В интегральной форме это выглядит так :

.

Если тело однородно, т. е. его плотность ρ одинаково по всему объёму, то

 и ,

где V – объём тела.

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен

,

где – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; m – масса тела; a – расстояние между осями.

Закон сохранения момента импульса –

,

где  - момент импульса тела под номером i, входящего в состав системы.

Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел –

,

где , ,  и  - моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; , ,  и  - те же величины после него.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется, –

,

где  и – начальный и конечный моменты инерции;  и  – начальная и конечная угловые скорости тела.

Работа постоянного момента силы M, действующего на вращающееся     тело, –

,

где φ – угол поворота тела.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела –

.

Кинетическая энергия вращающегося тела –

.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения, –

,

где – кинетическая энергия поступательного движения тела; – кинетическая энергия вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции.

Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением

.

Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения (см. табл. 2).

 

                                                                                                      Таблица 2

Поступательное  движение		Вращательное движение	Поступательное движение	Вращательное движение
Основной закон динамики			Работа и мощность
Закон сохранения			Кинетическая энергия
импульса	момента         импульса

 

Относительное продольное растяжение (сжатие) :

,

где  – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

Относительное поперечное растяжение (сжатие) :

,

где – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.

Связь между относительным поперечным (растяжением) сжатием  и относительным продольным растяжением (сжатием) ε –

,

где µ – коэффициент Пуассона.

 

Закон Гука для продольного растяжения (сжатия) :

,

где Е – модуль Юнга.

Напряжение упругой деформации –

,

где F – растягивающая (сжимающая) сила; s – площадь поперечного сечения.

Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня –

,

где V – объём тела.

 

Механические  колебания

Уравнение гармонических колебаний –

,

где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; A, ω, φ – соответственно амплитуда, круговая (циклическая) частота, начальная фаза колебаний; t – время;  – фаза колебаний в момент t.

Круговая частота колебаний –

, или ,

где n и T – частота и период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания, –

.

Ускорение при гармоническом колебании –

.

Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух, происходящих вдоль одной прямой, колебаний с одинаковыми частотами, определяется по формуле

,

где  и  – амплитуды составляющих колебаний;  и – их начальные фазы.

Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

.

Частота биений колебаний, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих вдоль одной прямой с различными, но близкими по значению частотами  и , –

.

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами  и  и начальными фазами  и , –

,

т.е. точка движется по эллипсу.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки :

, или ,

где m – масса точки; k – коэффициент квазиупругой силы .

 

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, –

.

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник), –

,

где m – масса тела; k – жёсткость пружины.

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

,

где  – длина маятника; g – ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника –

,

где  – приведённая длина физического маятника; J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; a – расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Эти формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных значениях они дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ~ 3⁰ погрешность в значении периода не превышает 1%.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити, –

,

где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k – жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний :

, или ,

где r – коэффициент сопротивления; δ – коэффициент затухания, ;

 - собственная круговая частота колебаний, .

Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний –

,

где А(t) – амплитуда затухающих колебаний в момент времени t; w - круговая частота затухающих колебаний в момент t.

Круговая частота затухающих колебаний –

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени –

,

где  - амплитуда колебаний в момент  t=0.

Логарифмический декремент затуханий :

,

где A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний :

, или ,

где – внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; – её амплитудное значение, .

Амплитуда вынужденных колебаний :

.

Резонансная частота и резонансная амплитуда :

 и .

 

1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид  x = A + Bt + Ct³, где А =2 м, В = 7м/с; С = -0,5м/с³. Найти координату x, скорость v и ускорение  a  точки в момент времени t, равный 2 с.

Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые значения  коэффициентов А,В,С и времени t:

x=(2+7∙2-0,5∙2³)=12  м.

Мгновенная скорость есть первая производная от координат по времени:

v = = B +3Ct².

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по вре- мени:

a = = 6Ct².

В момент времени t=2с

v =(7-3∙0,5∙2²) = 1м/с;                  

a = 6 · 0,5 ·2 = 6 м/с².

 

Пример 2. Тело брошено со скоростью v₀ = 10 м/с под углом α = 40⁰ к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

1) высоту h подъема тела; 2) дальность S полета тела (по горизонтали);

3)время движения тела.

Решение. Перемещение тела можно разложить на два: горизонтальное вдоль оси x и вертикальное вдоль оси y (см. рисунок). Применяя закон независимости движений, имеем             

                                                            h = ;                                        (1)

                                                            S = v_ox · 2t,                                            (2)

где t – время подъема; 2t – время полета.

Из рисунка видно, что v_0y =v₀sinα; v_0x = v₀cosα . В верхней точке подъема v_y = 0, и из уравнения v_y = v_0y – gt получаем, что v₀sin α = gt. Отсюда время подъема равно

t =  c.

 

 

Подставив значение  t в (1), получим высоту, на которую поднимется тело:

h=  м.

Подставив значение  t в (2), найдем дальность полета:

S = v₀ cosα 2t = 10·0,77·1,3 = 10м.

Время полета 2t = 2 · 0,64 = 1,3 с.

 

Пример 3. Диск радиусом R =5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением

ω = 2At + 5Bt⁴, где А = 2 рад/с², В = 1 рад/с⁵.

Найти для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов диска.

Решение. Полное ускорение может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения a_n, направленного к центру кривизны траектории, см. рисунок.

.

Так как векторы  и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения –  Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами ; , где ε – угловое ускорение тела; ω – угловая скорость тела.

 

По условию задачи 

ω = 2 Аt + 5 Bt⁴.

Следовательно,

 м/с²;

 м/с².

Полное ускорение

м/с².

Угол поворота диска равен φ = 2πN (где N –число оборотов), но угловая скорость составляет

.

Следовательно,

.

Тогда число оборотов диска –  

.

 

Пример 4. Маховик вращается с постоянной частотой n₀=10 c^-1. При торможении он начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой n = 6c^-1. Найти угловое ускорение ε маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N=50 оборотов.

Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной  и конечной ω угловыми скоростями соотношением ; откуда  

Но так как φ = 2 π N, ω = 2 π n,  то

 рад/с².

Знак «минус» указывает на то, что маховик вращается замедленно.

Для определения продолжительности торможения используем формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью вращения и временем: φ = ω_срt. По условию задачи угловая скорость линейно зависит от времени, и поэтому w_ср можно выразить так:

,

тогда . Откуда

с.

 

Пример 5. К нити подвешен груз массой m=1 кг. Найти силу натяжения нити , если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением a=5 м/с²; 2) опускать с тем же ускорением.

Решение. На поднимаемый груз, действуют сила тяжести mg (вниз) и сила натяжения нити F_H (вверх), см. рисунок. Применив второй закон Ньютона, получим, что ma=F_H-mg. Отсюда  H.

              На опускаемый груз также действуют сила тяжести mg (вниз)                 

                   и сила натяжения нити F_H (вверх). Применив второй закон Нью-

                   тона, получим, что . Отсюда  H.

                      

  

Пример 6. По плоскости с углом наклона 30⁰ к горизонту скользит тело. Определить скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения k = 0,15.

Решение

N Рис. 4

Уравнение движения тела в векторной форме (второй закон Ньютона): . В проекциях на оси x и y это уравнение примет вид               ;          (1)                             .                 (2)

Из уравнения (2) , см. рисунок. Сила трения

.

Тогда, подставив  в уравнение (1), получим выражение

mgsinα-kmgcosα=ma,

отсюда a=g(sinα-kcosα).

Скорость тела , но v₀=0; поэтому

 м/с.

 

Пример 7.  После абсолютно упругого соударения тела массой m₁, движущегося поступательно, с покоящимся телом массой m₂ оба тела разлетаются симметрично относительно направления вектора скорости первого тела до удара. Определить, при каких значениях  это возможно. Угол между векторами скоростей тел после удара равен 60⁰ , см. рисунок.

Решение. Удар абсолютно упругий, и импульс системы постоянен:

В проекциях на оси X и Y                ;       (1)                .              (2) Из уравнения (2) следует, что                         .                         (3)

Уравнение (1) примет вид .

Закон сохранения кинетической энергии, поскольку удар – абсолютно упругий, имеет вид

                                        .                                    (4)

Подставляя в (4) уравнение (3) при замене , получаем:                            

;

                                          .

Уравнения образуют систему, совместное решение которой дает следующий результат:

.

 

Пример 8. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v₁, столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары – абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

                                   ,                                  (1)

где K₁ – кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и K₂ – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии. По закону сохранения импульса, с учетом того, что второй шар до удара покоился, имеем

.

По закону сохранения механической энергии –  

.

Решая совместно два последних уравнения, найдём, что

.

Подставив выражение  в равенство (1), получим

.

Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

 

Пример 9. Сплошной шар массой 1 кг и радиусом 0,05 м  вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В точке, наиболее удалённой от оси вращения, на шар действует сила, касательная к поверхности. Угол поворота шара меняется по закону . Определить величину действующей силы, тормозящий момент, время равнозамедленного движения.

Решение. Согласно основному закону динамики вращательного движения вращающийся момент равен , где J – момент инерции шара; ε – угловое ускорение. Момент инерции шара:

.

Угловое ускорение – .

Следовательно, .

  Момент силы относительно неподвижной точки составляет           

, где - радиус – вектор, проведённый из этой точки   в   точку    приложения силы.   Модуль  момента     

                      силы, как видно из  рисунка, . Отсюда

.

В момент остановки шара ω=0,

                                   

 

Пример 10. Найти линейное ускорение шара, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости a=30⁰, начальная скорость v₀=0.

Решение. При скатывании шара с наклонной плоскости высотой h его потенциальная энергия уменьшается, переходя в кинетическую поступательного и

 

вращательного движения:

                                           ,                                           (1)

где J – момент инерции шара. Так как  и , где R – радиус шара, то уравнение (1) можно записать так:          

,

т.е. .

Из рисунка видно, что h=lsinα; тогда ;

                                                   .                                              (2)

Так как движение тела происходит под действием постоянной силы, то оно равноускоренное с v₀=0 (из условия задачи); поэтому

                                                    .                                                (3)

Подставив (3) в уравнение (2), получим:

м/с².

Пример 11. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом R = 20 см был раскручен до частоты вращения . Вследствие трения маховик остановился. Найти момент M сил трения, считая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t=50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N=200 об.

Решение. По основному закону динамики вращательного движения изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента:

,

где J –момент инерции маховика;  и  - начальная и конечная угловые скорости. Так как ω₂=0 и , то Mt=-Jω, откуда

                                                      .                                                (1)

Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен

.

Подставив это выражение в формулу (1), найдём, что

                                                   .                                            (2)

Выразив угловую скорость ω₁ через частоту вращения , получим , произведя вычисления по формуле (2), найдём, что

.

В условии задачи дано число оборотов маховика до остановки, т.е. его угловое перемещение:

рад.

 

Запишем формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:

, или ω₂=0.

Она примет вид

                                                   .                                              (3)

Работа при вращательном движении определяется по формуле . Подставив выражение работы и момента инерции диска в формулу (3), получим

.

 Отсюда

= –1 (Нм) .

Знак «минус» показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

 

Пример 12 . Человек стоит в центре круга Жуковского, вращающегося по инерции вокруг неподвижной оси с частотой . В вытянутых руках он держит по гире массой  m=5кг  каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения  Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения  I₀=2 кг×см². Определить частоту n₂ вращения скамьи с человеком. Какую работу совершит человек, если прижмёт гири к себе так, что расстояние от каждой гири до оси станет равным ₂=20cм?

Решение. По условию задачи момент внешних сил относительно вертикальной оси вращения равен нулю, поэтому момент импульса системы сохраняется:

I₁ω₁= I₂ ω₂,

где  – соответственно момент инерции всей системы до и после сближения; m- масса каждой гири. Угловая скорость ω=2πn. Подставив w в уравнение, получим искомую частоту вращения:

Работа, совершаемая человеком, равна изменению кинетической энергии системы:

.

 

Пример 13. Материальная точка массой  m=10 г  совершает гармонические колебания частотой n = 0,2 Гц. Амплитуда колебаний равна 5 см. Определить: а) максимальную силу, действующую на точку; б) полную энергию колеблющейся точки.

Решение. Уравнение гармонического колебания: х= A cos (ω₀t+ φ).

Тогда скорость и ускорение колеблющейся точки находятся так :

;            

Согласно второму закону Ньютона сила, действующая на точку, –  

при .

Поэтому искомое максимальное значение силы (с учетом того, что          ω₀= 2πn) будет равно

.

Полная энергия колеблющейся точки –

 мкДж.

Пример 14. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемые уравнениями  и , где А₁=1см, А₂=2см, τ₁= с,  с, .

Определить начальные фазы φ₀₁, φ₀₂ составляющих колебаний и амплитуду результирующего колебания.

 Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид

x = Acos(ωt+φ).

x₁=A₁cos(ωt+ωτ₁), x₂ =A₂cos(ωt+ ωτ₂).

Тогда:

Для определения амплитуды результирующего колебания представим векторную диаграмму, см. рисунок.

Вариант  1

1. Тело движется по прямой согласно уравнению S = 0,5t⁴ + 0,2t² +2. Найти скорость и ускорение тела в момент времени 4с. Каковы средние значения скорости и ускорения за первые 4 с движения ?                                   

2. На токарном станке протачивается вал диаметром 60 мм. Скорость продольной подачи резца равна 0,5 мм за один оборот. Какова скорость резания, если за интервал времени 1 мин протачивается участок вала длиною 12 см?

3. Через блок перекинута нить, на концах которой висят два груза с одинаковыми массами М. Одновременно на каждый из грузов кладут по перегрузку: справа – массой 3m; слева массой – m. Определить ускорение системы, силу натяжения нити и силу давления перегрузков на основные грузы.     

4. Тело брошено со скоростью 14 м/с под углом 30⁰ к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорение через 15 с после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.                                           

5. Два небольших тела массой 2 кг и 1 кг связаны невесомой и нерастяжимой нитью и расположены на горизонтальной плоскости. К первому телу приложена сила 10 Н, направленная под углом 30⁰ к горизонту (вверх). Определить ускорение системы, если коэффициент трения тел о плоскость одинаков и равен 0,1.                                                 

6. Падающий вертикально шарик массой 0,2 кг ударился об пол и подпрыгнул на высоту 0,4 м. Найти среднюю силу, действующую со стороны пола на шарик, если длительность удара 0,01 с; к моменту удара об пол скорость шарика равна 5 м/с.                                                  

7. На полый тонкостенный цилиндр намотана нить, свободный конец которой прикреплен к потолку. Цилиндр сматывается с нити под действием собственного веса. Найти ускорение цилиндра и силу натяжения нити, если массой и толщиною нити можно пренебречь. Начальная длина нити намного больше радиуса цилиндра.                                                       

8. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1000 Дж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 30 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения.                                                                           

9. Круглая платформа радиусом 1 м, момент инерции которой 130 кг×м², вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 1 оборот в секунду. На краю платформы стоит человек, масса которого 60 кг. Сколько оборотов в секунду будет совершать платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.      

10. К катящемуся шару массой 1 кг приложили силу в 1 Н, под действием которой шар остановился, пройдя путь 1 м. Определить скорость, с которой двигался шар до начала торможения.                                            

11. Написать уравнение гармонических колебаний, совершающихся по закону косинуса. За время 1 мин совершается 60 колебаний, амплитуда которых 8 см, а начальная фаза равна 3/2p рад. Построить график зависимости смещения от времени.                                                           

12. Тонкий обруч радиусом 50 см подвешен на вбитый в стену гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний обруча.                                                                               

13. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями x=2cosωt и у=3sin0,5wt. Найти уравнение траектории точки и построить ее на чертеже.                    

14. Спираль обладает жесткостью К=25 Н/м. Определить массу тела, подвешенного к пружине, (тело за 1 мин совершает 25 колебаний). 

15. Движение тела массой 2 кг описывается законом x=0,8sin(πt + π/₂). Определить энергию колеблющегося тела и максимальную силу, действующую на него.                                                      

 

Вариант  2

1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x=A+Bt+Ct², где A=2 м; B=1 м/с; C=-0,5 м/с². Найти координату скорости и ускорения точки в момент времени t=2 с.          

2. Колесо при вращении имеет начальную частоту 5 с^-1, после торможения его частота уменьшилась до 3 с^-1. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.                     

3. Две гири массой 1 кг и 2 кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутою через невесомый блок, подвешенный к динамометру. Какое значение покажет динамометр во время движения грузов? Трения в оси блока нет.                                                                   

4. Пуля пробивает последовательно два вертикальных листа бумаги, расположенных на расстоянии 30 м друг от друга. При этом пробоина во втором листе находится на 2 мм ниже, чем в первом. С какой скоростью пуля подлетела к первому листу, если она подлетела к нему горизонтально?     

5. Тело массой 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массой 10 г и застревает в нем. Скорость пули равна 700 м/с и направлена горизонтально. Какой путь пройдет тело до остановки? Коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,05.   

6. Камень массой 0,5 кг бросили под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. Его начальная кинетическая энергия равна 25 Дж. На высоте 2 м скорость камня равна v. Определить начальную скорость камня, скорость камня на высоте 2 м и угол, под которым бросили камень.

7. На сплошной цилиндрический вал радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 10 кг. Найти момент инерции вала и его массу, если груз при разматывании шнура, опускается с ускорением 2 м/с².  

8. Найти момент инерции тонкого стержня длиной 50 см и массой 0,36 кг относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от стержня на 1/6 его длины.    

9. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого равен 150 кг×м², вращается с частотой 240 об/мин. Через минуту он остановился. Определить момент сил торможения, угловое ускорение, число оборотов маховика со времени начала торможения до полной остановки.                 

10. Полый тонкостенный цилиндр массой 500 г, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и отскакивает от нее. Скорость цилиндра до удара о стенку равна 1,4 м/с, после удара 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.                                                                

11. Уравнение движения материальной точки задано в виде x=2sin(π/₂t +π/₄) м. Определить период колебаний точки и максимальные значения ее скорости и ускорения.                                

12. Математический маятник, отведенный на натянутой нити на угол α от вертикали, проходит положение равновесия со скоростью v. Считая колебания гармоническими, найти частоту ω₀ собственных колебаний маятника.                                                                            

13. Сигналы, подаваемые на горизонтальный и вертикальный входы осциллографа, определяются уравнениями x=Acos(wt+j), y=Acosωt. Найти траекторию движения для следующих случаев: а) j =0; б) j = 90⁰; в) j = 180⁰.                     

14. Вынужденные колебания описываются дифференциальным уравнениeм 0,1 +0,12 +0,4x = 0,4sin1,5t. При какой частоте внешней силы будет наблюдаться резонанс?                                              

15. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, происходящих согласно уравнениям x₁=2sinωt и x₂=2sin(ωt+π/₂). Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд. Определить скорость и ускорение результирующего колебания.                                                                              

 

Вариант  3.

1. Движение двух материальных точек выражаются следующими уравнениями:            x₁=A₁+B₁t+C₁t², x₂=A₂+B₂t+C₂t² , где A₁=20 м; A₂ =2 м; B₂=B₁=2 м/с; C₁=-4м/с; C₂=0,5 м/c². В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости и ускорения точек в этот момент.      

2. Диск радиусом 20 см вращается с угловым ускорением 3,14 рад/с². Найти для точек, находящихся на краю диска, к концу второй секунды после начала движения: а) угловую скорость; б) линейную скорость; в) тангенциальное, нормальное и полное ускорения.                            

3. Тело брошено с начальной скоростью 20 м/с под углом 60⁰ к горизонту. Найти радиус кривизны траектории в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.                                                 

4. На наклонной плоскости укреплен блок, через который перекинута нить. К одному концу нити привязан груз массой 1 кг, лежащий на наклонной плоскости. На другом конце нити висит груз массой 3 кг. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол в 30⁰. Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен 0,1. Определить ускорение грузов.                  

5. Молекула летит со скоростью 500 м/с и упруго ударяется о поршень, движущийся навстречу ей. Скорость молекулы составляет угол в 60⁰ с нормалью поршня. Определить величину и направление скорости молекулы после удара. Скорость поршня равна 20 м/с.                      

6. Брусок скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, со скоростью 5 м/с наезжает на шероховатую поверхность с коэффициентом трения, равным 0,8. При какой длине бруска его задняя грань остановится на границе гладкой и шероховатой поверхностей?                  

7. К ободу колеса, имеющему форму диска, радиус которого равен 0,5 м, а масса 50 кг, приложена касательная сила, равная 100 Н. Найти: а) угловое ускорение колеса; б) через какое время после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения 100 об/с.              

8. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2 м и массой 4 кг, стоит человек, масса которого равна 80 кг. Платформа может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек идет вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы?    

9. Определить момент инерции однородного диска радиусом 20 см и массой 1 кг относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через: а) центр диска; б) середину одного из радиусов диска.      

10. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной частотой 6 об/с, равна 60 Дж. Найти момент импульса этого вала.           

11. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц. Амплитуда колебания равна 3 см. Определить скорость точки в момент времени, когда смещение равно 1,5 см.                          

12. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один совершил 10, а другой 30 колебаний?                  

13. Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня 0,5 м. Найти период колебаний стержня.        

14. Дифференциальное уравнение колебаний математического маятника имеет вид . Определить период колебания маятника.                                  

15. Складываются два гармоничеcких колебания одного направления, описываемые уравнениями x=3cos(2πt+π) см и  x=3cos(2πt+π/₂) см. Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд. Построить график колебаний x₁, x₂ и результирующего колебания.                            

 

Вариант  4

1. Материальная точка массой 0,05 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид х=0,1sin5t. Найти силу, действующую на точку: а) в момент, когда фаза колебаний  j=30⁰; б) при наибольшем отклонении точки.                

2. Диск радиусом r = 20 см вращается согласно уравнению j = A +Bt+Ct³ , где A=3 рад; B= – 1 рад/с; C=0,1 рад/с³. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени, равного 10 с.                                                  

3. Снаряд, выпущенный из орудия под углом 30⁰ к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h: спустя 10 с и 50 с после выстрела. Определить начальную скорость и высоту h.                

4. Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы массой 0,5 кг и 0,6 кг. Найти силу давления блока на ось при движении грузов. Массой блока и трением в оси можно пренебречь.                                                         

5. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью 100 м/с, разрывается на две равные части на высоте 40 м. Одна часть падает через 1 с на землю точно под местом взрыва. Определить величину и направление скорости движения второй части снаряда сразу после взрыва.                           

6. Тело, брошенное с высоты 5 м вертикально вниз со скоростью 20 м/с, погрузилось в грунт на глубину 20 см. Найти работу силы сопротивления грунта, если масса тела равна 2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.  

7. Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг×м², вращается, делая 20 оборотов в секунду. Через 1 мин после того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: а) момент сил трения; б) число оборотов, которое сделало колесо до полной остановки (после прекращения действия сил).                                                             

8. Летчик давит на сиденье кресла самолета в нижней точке петли Нестерова с силой в 7200 Н. Масса летчика 80 кг, радиус петли 250 м. Определить скорость самолета.                                                              

9. Платформа в виде диска вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой 15 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до 25 об/мин. Масса человека 70 кг. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.                                 

10. К ободу покоящегося диска массой 5 кг приложена постоянная касательная сила в 20 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через 5 с после начала действия силы? Диск может свободно вращаться относительно оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости.                                                                   

11. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания по синусоидальному закону, равна 30 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, составляет 1,5 мН. Написать закон движения этого тела, если период колебания равен 2 с и начальная фаза равна π/₃.                   

12. Определить период колебаний груза массой 2,5 кг, подвешенного к пружине, если пружина под действием силы в 30 Н растягивается на 9 см.

13. Точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=3cosωt и x=4cosωt. Определить уравнение траектории точки.                                 

14. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза 1 Дж. Амплитуда колебаний равна 5 см. Найти жесткость пружины.                                                                                      

15. Два гармонических колебания одного направления, описываются такими уравнениями: x₁=2sin(2πt+π/₄) и x₂ =2sin(2πt+ π). Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд. Построить графики колебаний x₁, x₂ и результирующего колебания.                                              

 

Вариант  5

1. Точка движется по прямой согласно уравнению S=6t+1/8t ³ (длина в метрах, время в секундах). Определить среднюю скорость и ускорение точки за интервал времени от 2 с до 6 с.                                                         

2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j=A+Bt+Ct², где         A = 10 рад; В = 20 рад/c; С = -2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени, рав-ного 4 с.                                                     

3. В вагоне, движущемся горизонтально с ускорением 2 м/с², на шнуре висит груз массой 200 г. Найти силу натяжения шнура и угол его отклонения от вертикального положения.                                                                                        

4. Найти работу подъема груза по наклонной плоскости, если масса груза   100 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол наклона 30⁰, коэффициент трения 0,1, а груз движется с ускорением 1 м/с².                                

5. Два конькобежца массами 80 и 50 кг, держась за концы натянутого длинного шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая его со скоростью 1 м/с. С какими скоростями будут двигаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь.

6. Тело массой 10 кг брошено с высоты 100 м вертикально вниз со скоростью 14 м/с. Определить среднюю силу сопротивления грунта, если тело углубилось в него на 0,2 м. Сопротивление воздуха не учитывать.    

7. Два маленьких шарика одинаковой массы (10 г) соединены стержнем, длина которого равна 20 см, а масса ничтожно мала. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс системы.                               

8. Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массой 100 г и 110 г. С каким ускорением они будут двигаться, если масса блока равна 400 г? Трением в блоке пренебречь.     

9. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.                

10. Платформа в виде диска радиусом 1 м и массой 200 кг вращается вокруг вертикальной оси, делая 1 оборот в минуту. На краю нее стоит человек массой 50 кг. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если человек перейдет на полметра ближе к центру. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.                                           

11. Точка совершает гармонические колебания с частотой 10 Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить их график.   

12. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением V(t)=–6sin2πt. Записать зависимость смещения этой точки от времени.                                                                            

13. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.                                                 

14. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=3cos2ωt см и y=4cos(2ωt +π) см. Записать уравнение траектории движения точки и построить график колебания.  

15. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих вдоль оси x и описываемых уравнениями x₁ = 3 cos (ωt + π/4) см и     x₂ = cos (ωt - π) см. Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд. Найти максимальную скорость колебания, построить графики колебаний x₁ и x₂ и скорости результирующего колебания.

Вариант  6

1. Уравнения прямолинейного движения точек заданы в виде S₁ = 4t² + t и  S₂ = 5t³ + t² (расстояние – в метрах, время – в секундах). В какой момент времени скорости точек будут равны? Определить ускорение в этот момент времени.                                                    

2. Угол поворота диска радиусом 10 см изменяется со временем по закону      j=4+2t-t³. Определить угловую скорость, угловое ускорение и линейную скорость на ободе диска в момент времени, равный 0,5 с.          

3. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 45⁰ к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела спустя 0,5 с  после начала движения и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.                

4. Определить работу, совершаемую при подъеме груза массой 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона 30⁰ к горизонту на высоту 4 м, если время подъема – 2 с, а коэффициент трения равен 0,06.                  

5. Из пушки, стоящей на гладкой горизонтальной площадке, стреляют под углом 30⁰ к горизонту. Масса снаряда 20 кг, его начальная скорость 200 м/с. Какую скорость приобретет пушка при выстреле, если ее масса 500 кг?

6. Брошенное вертикально вверх тело массой 200 г упало на землю спустя 1,44 с. Найти кинетическую энергию тела в момент падения на землю и потенциальную энергию в верхней точке траектории.    

7. На краю горизонтально вращающейся платформы радиусом 1 м лежит груз. В какой момент времени после начала вращения платформы груз соскользнет с нее, если ее вращение – равноускоренное, а в момент времени, равный 2 мин, она имеет угловую скорость 1,4 рад/с? Коэффициент трения между грузом и платформой равен 0,05                       

8. Диск массой 0,6 кг и диаметром 40 см вращается с угловой скоростью   157 рад/с. При торможении он останавливается в течение 10 с. Найти среднюю величину тормозящего момента.                                           

9. Прыгун в воду может уменьшить свой момент инерции примерно в 3,5 раза, если согнется. Если в согнутом состоянии он совершает 2 оборота за 15 с, какова его угловая скорость, когда он находится в распрямленном состоянии?                          

10. Обруч и диск имеют одинаковую массу и катятся без проскальзывания с одинаковой скоростью. Кинетическая энергия обруча равна 40 Дж. Найти кинетическую энергию диска.                                                

11. Период гармонических колебаний составляет 4 с. Определить время t₁, за которое тело, совершающее эти колебания, пройдет путь, равный половине амплитуды, если в начальный момент времени тело проходило положение равновесия; s₂ – путь, равный амплитуде; s₃ – путь, равный  амплитуды.

12. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 10 мк×Дж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 0,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний составляет 4 с, а начальная фаза π/6.                                                                     

13. Сплошной медный диск массой 1 кг и толщиной 1 см колеблется вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить период колебания такого физического маятника.                                                              

14. Движение точки задано уравнениями x=5cosπt см и y=10cos см. Найти уравнение траектории и скорость точки в момент времени, равный 1 с.

15. Методом векторных диаграмм сложить два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями колебаний x₁ = cos (ωt + π/4) см и x₂=4cos(ωt– π) см. Записать уравнение результирующего колебания и построить графики x₁, x₂ и результирующего колебания.                                                                                       

 

Вариант  7

1. На некотором участке пути движение описывается уравнением S=0,5t+0,15t², где путь выражен в метрах, время – в секундах. Определить начальную скорость и ускорение на этом участке. Найти скорость и ускорение в конце 7-й секунды движения.                               

2. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени 10 с достиг частоты вращения, равной 300 мин^-1. Определить угловое ускорение маховика и число оборотов, которое он сделал за это время.

3. Камень, брошенный с высоты 2,1 м под углом 45⁰ к горизонту, падает на землю на расстоянии 42 м (по горизонтали) от места бросания. Найти начальную скорость камня, время полета и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня.         

4. Наклонная плоскость имеет длину 5 м и высоту 3 м. Тело массой 400 кг прижимается к наклонной плоскости силой, параллельной ее основанию. Какой должна быть эта сила, чтобы тело двигалось равномерно вверх ? Коэффициент трения о плоскость 0,1.    

5. На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком (общая масса равна 5×10³ кг). В песок попадает снаряд массой 5 кг, пролетевший вдоль рельсов. В момент попадания скорость снаряда равна 400 м/c и направлена сверху вниз под углом 37⁰ к горизонту. Найти скорость платформы, если снаряд застревает в песке.                                    

6. Две гири массой 2 кг и 1 кг соединены нитью, перекинутою через навесной блок. Найти ускорение, с которым движутся гири. Трением в блоке пренебречь. Через какое время гиря массой 2 кг опустится на 40 см?    

7. Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом 40 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.                                    

8. Диск радиусом 20 см и массой 5 кг вращается с частотой 8 об/с. При торможении он остановился через 4 с. Определить тормозящий момент.     

9. На сплошной цилиндрический вал радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 10 кг. Найти момент инерции вала и его массу, если груз, при разматывании шнура опускается с ускорением 2 м/с².    

10. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.                

11. Точка совершает гармонические колебания по синусоидальному закону и в некоторый момент времени имеет следующие модули смещения, скорости и ускорения: x = 4·10^-2 м; v = 0,05 м/с; а = 0,8 м/с². Каковы амплитуда и период колебаний точки? Какова фаза колебаний в рассматриваемый момент времени? Каковы максимальная скорость и ускорение точки?      

12. Небольшой груз массой 100 г подвешен на пружине и совершает гармонические колебания. Известны наибольшая скорость груза, равная 0,1 м/с, и его наибольшее отклонение от положения равновесия, равное 1 см. Какова жесткость пружины?                            

13. Один конец нити прикреплен к потолку лифта, а на другом находится груз пренебрежимо малого размера. Лифт начинает опускаться с ускорением 0,81 м/с². Каков период малых колебаний груза, если длина нити равна 1 м?

14. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x=2sin(ωt+π/₂) и y=2sinωt. Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с соблюдением масштаба, указав направление движения.                                                                             

15. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 50 м/с. Период колебаний равен 0,05 с, расстояние между точками составляет 0,5 м. Найти разность фаз колебаний в этих точках.

                                                                                                                                                     

Вариант  8

1. Уравнение движения точки имеет вид х =5 + t + 2t² +t³ (длина – в метрах, время – в секундах). Найти положение точки в моменты времени t₁ =1c и t₂ = 4c; скорости и ускорения в эти моменты времени. 

2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j=A+Bt+Ct², где   А=10 рад; В=20 рад/c; С= -2 рад/с². Найти угловую скорость и угловое ускорение для момента времени, равного 5 с.                            

3. Через блок, подвешенный к динамометру, перекинут шнур, на концах которого укреплены грузы массами 2 кг и 8 кг. На какое значение указывает динамометр при движении грузов?                                               

4. Свободно падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду преодолело 2/3 своего пути. Найти путь, пройденный телом.

5. При помощи веревки  груз массой 80 кг можно равноускоренно поднимать с ускорением 19,6 м/с². Какой наибольшей массы груз можно опустить при помощи этой веревки с ускорением 4,9 м/с²?                          

6. Наклонная плоскость, образующая угол в 25⁰ с плоскостью горизонта, имеет длину 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за 2 с. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

7. Маховик радиусом 0,2 м и массой 10 кг соединен с мотором при помощи ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения , постоянна и равна 14,7 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через 10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском.                                                        

8. Через блок, укрепленный на горизонтальной оси, проходящей через его центр, перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массой 300 г и 200 г. Масса блока равна 300 г. Блок считать однородным диском. Найти ускорение движения грузов.                                                    

9. Диск массой 1 кг и диаметром 0,6 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости, делая 20 оборотов в секунду. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы остановить диск?

10. Маховик, момент инерции которого равен 50 кг·м², вращается по закону:  j = A + Bt + Ct², где А = 2 рад; В = 16 рад/с; С = -2 рад/с². Найти закон изменения вращающего момента и закон изменения мощности. Какова мощность в момент времени t = 3с.                            

11. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону косинуса с начальной фазой –π, амплитудой 6 см и циклической частотой 3π. Каково смещение точки из положения равновесия в начальный момент времени? Какова максимальная скорость в момент времени 2 с?

12. При температуре 20⁰С период колебаний маятника равен 2 с. Как изменится период колебаний, если температура возрастет до 30⁰С? Коэффициент линейного расширения материала маятника равен 1,85·10^-5 К^-1.                                                            

13. Найти отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания по синусоидальному закону, к ее потенциальной энергии для моментов времени, если смещение точки от положения равновесия составляет : а) x =  ; б) x = ; в) x = A.       

14. Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении, по гармоническому закону и с одинаковой частотой, амплитудами 5 см и 10 см и сдвигом фаз Δφ = π/3. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебательного процесса.                                                                             

15. Рыболов заметил, что за время, равное 10 с, поплавок совершил на волне 20 колебаний, а расстояние между соседними гребнями волн равно 1,2 м. Какова скорость распространения волн?                       

 

Вариант  9

1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением   S=At–Bt² +Ct³, где А = 2м/с; В = 3 м/с²  и С = 4 м/с³. Определить расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения.                                         

2. Колесо радиусом 0,2 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени выражается уравнением j=A+Bt+Ct³, где В=4 рад/с; С=2 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти угловую скорость, угловое ускорение, тангенциальное и нормальное ускорения через 3 с после начала движения.                                    

3. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массой 0,5 кг и 0,6 кг. Найти силу давления блока на ось при движении грузов в двух случаях: лифт поднимается равномерно; лифт идет с ускорением 1 м/с². Масса блока пренебрежимо мала.      

4. Камень падает с высоты 1200 м. Какой путь пройдет камень за последнюю секунду своего падения?                                                

5. На наклонной плоскости находится груз массой 5 кг, связанный нитью, перекинутой через блок, с другим грузом массой 2 кг. Коэффициент трения между первым грузом и плоскостью равен 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту составляет 37⁰. Определить ускорения движения грузов. Нить считать нерастяжимой.       

6. Падающий вертикально шарик массой 200 г ударился об пол со скоростью 5 м/с и подпрыгнул на высоту 46 см. Найти изменение импульса шарика при ударе.                                                                           

7. Найти момент инерции плоской однородной прямоугольной пластины массой 900 г относительно оси, совпадающей с одной из сторон, если длина другой стороны пластины равна 20 см.                                           

8. Шар массой 10 кг и радиусом 0,2 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Закон движения шара имеет вид j = A + Bt² + Ct³, где В=4 рад/с²; С= -1рад/с³. Найти зависимость момента сил, действующих на шар, от времени. Каков будет момент сил в момент времени, равный 2 с?        

9. Однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 9,8·10^-2 Н?                                           

10. Карусель диаметром 4,5 м свободно вращается с угловой скоростью      0,7 рад/с; ее полный момент инерции равен 1750 кг·м². Стоящие на земле 4 человека массою по 65 кг одновременно прыгают на край карусели. Какова после этого будет угловая скорость карусели? Какой была бы угловая скорость карусели, если бы люди, стоящие вначале на ней, в некоторый момент спрыгнули бы на землю?                                                     

11. Написать уравнение гармонических колебаний, совершающихся по закону косинуса. За время 1 мин совершается 60 колебаний, амплитуда которых   8 см, а начальная фаза равна π рад. Построить график зависимости смещения от времени.                                           

12. Определить отношение периодов колебаний математического маятника на некоторой планете и на Земле, если масса первой планеты в 6,25 раз больше массы Земли, а ее радиус в 2 раза меньше земного.                 

13. Частица массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы 10^-2 Дж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы, действующей на частицу.         

14. Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x=2cos t м и y= -cosπt м. Определить траекторию точки и начертить ее с соблюдением масштаба.                                                                      

15. Движение частицы представляет собой суперпозицию двух гармонических колебаний вдоль оси  x следующего вида: x₁=2cos2πt см и x₂=2cos(2πt – π/₂) см. С помощью метода векторных диаграмм найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, записать уравнение результирующего колебания и построить его график.                                                                                         

 

 

Вариант  10

1. Две материальные точки движутся согласно уравнениям х₁=A₁t + B₁t² + C₁t³,    х₂ = A₂t + B₂t² + C₂t³, где A₁ = 4 м/с; B₁ = 8 м/с²; C₁ = -16 м/c³; A₂ = 2 м/с; B₂ = -4 м/с²; C₂ = 1 м/c³. В какой момент времени ускорения движения этих точек будут одинаковы? Найти скорость точек в этот момент.                              

2. Велосипедное колесо вращается с частотой 5с^-1. Под действием сил трения оно остановилось через 1 мин. Определить угловое ускорение и число оборотов, которое сделает колесо за это время.                

3. На невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный легкий блок, подвешены грузы массой 400 кг и 450 кг. За некоторое время после начала движения грузы прошли путь 1,2 м, двигаясь с некоторым ускорением. Найти время, ускорение движения грузов и силу натяжения нити.                                                               

4. Лыжник начал спуск по склону, имеющему угол 30⁰. Считая, что коэффициент трения равен 0,1, вычислить ускорение лыжника, скорость, которую он приобретет через 10 с.                                               

5. Материальная точка массой 2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению х=A + Bt + Ct² +Dt³, где А = 10 м; В = -2 м/с; С = 3 м/с³; D = -0,2 м/c³. Найти мощность, затрачиваемую на движение точки, в моменты времени 2 с и 5 с.                                                       

6. Тело массой 4 кг движется со скоростью 3 м/c и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты , выделившейся при ударе.                              

7. К ободу однородного сплошного диска радиусом 50 см приложена постоянная касательная сила в 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М_тр = 2 Нм. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 12 рад/с².                     

8. Человек стоит на скамейке Жуковского и ловит рукой мяч массой 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии 0,8 м от вертикальной оси вращения скамейки. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамейка Жуковского, когда человек поймает мяч? Считать, что суммарный момент инерции человека и скамейки равен 6 кг×м² .                                            

9. Человек стоит в центре легко вращающейся платформы. Момент инерции платформы с человеком на ней относительно оси платформы равен 1,5 кг·м². При раздвижении рук в горизонтальном положении момент инерции человека возрастает вдвое. Если при этом в руках человека - гантели, то угловая скорость уменьшается в 4 раза. Найти массу гантели, если начальное расстояние между гантелями 0,4 м, а конечное – 1,6 м.                      

10. Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного движения диска.                                                   

11. Материальная точка совершает колебания по закону x = 2,4cos( t + ) см. Найти: а) период и частоту колебаний, смещение и скорость в момент времени t = 0; б) скорость и ускорение в момент времени t = 1 c.                                                                                             

12. Маятник состоит из шарика массой 100 г, подвешенного на нити длиной 2 м. Определить период колебаний маятника и энергию, которой он обладает, если наибольший угол его отклонения от положения равновесия составляет 10⁰.    

13. Уравнение колебаний материальной точки массой 16г имеет вид x=2sin( t+ ) см. Определить кинетическую и потенциальную энергии точки через две секунды после начала колебаний.          

                                                                                                   

14. Частица массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы 10^-2 Дж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы, действующей на частицу.  

15. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одного направления, описываемых уравнениями x₁=2cos(ωt+π/₄) см и x₂=2cos(ωt-π/₄) см. Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд. Построить графики колебаний x₁, x₂ и результирующего колебания.            

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Пример 1 . Начертить графики изопроцессов для идеальных газов в координатах (PV), (VT), (РТ).

Решение                                       V              P=const

Р        V=const                                                                       V=const

                                                                                                          

                             P=const                                                        T=const

V

                             T=const                      

0

T

0                      

                                T=const                                                                            

                                  P                                                              

                                                               V=const

                                                                    P=const                                                      

 

                                                                                        T

                                    0

Пример 2. Какова плотность воздуха в сосуде, если он откачан до наивысшего разрежения, создаваемого современными лабораторными способами (Р = 10^-11 мм рт.ст.). Температура воздуха равна 15⁰ С. М_возд=29×10^-3 кг/моль.

По формуле

η= ,

 

зная η цикла, можно определить температуру охладителя Т₂ :

.

Произведем вычисления:

, .

 

Пример 8. Один моль газа совершает цикл, состоящий из 2-х изохор и 2-х изобар (см. рисунок). Температуры, соответствующие состояниям 1 и 3, –Т₁  и Т_3.

 Определить работу, совершенную газом за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

Р

Р₂                2 р₂, V₂, T₂       3 р₃, V₃, T₃

 

Р₁            1 р₁, V₁, T₁      4  р₄, V₄, T₄

   

       V₁                       V₂   V

                     

Решение. Состояние 1 характеризуется параметрами p₁,V₁,T₁,  состояние 2– параметрами p₂,V₂ ,T₂ , состояние 3 – соответственно p₃,V₃,T_3,  состояние 4 – p₄,V₄,T₄  (T₄ = T₂; V₁=V₂; V₃=V₄).

 Из рисунка видно, что

                                         А = (Р₂ – Р₁) (V₃ –V₁),                         (1)

так как работа за цикл численно равна площади прямоугольника 1-2-3-4.

Поскольку T_{4 =} T₂,  то

                                               Р₂ V₁  = Р₁ V₃.                                                  (2)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для 1 моля газа :

Р₁ V₁  = RT₁

Р₂ V₃ = RT_3.

Откуда 

= _.

Как следует из уравнения (2),

.

Тогда . Подставив найденные выражения в формулу (1), выполним преобразования:

 .

 

2.3. ЗАДАНИЯ

 

Вариант  1

1. Подсчитать число молекул, содержащихся в углекислом газе массой 100 г. Найти массу молекулы и концентрацию молекул при нормальных условиях. Плотность газа при нормальных условиях равна 1,94 кг/м³ .    

2. Какое давление на стенки сосуда оказывает кислород, если скорость его молекул равна 400 м/с, а в 1 см³ – 2,7·10¹⁹ молекул?

3. Плотность газа в баллоне газонаполненной электрической лампы равна 0,9 кг/м³. При горении лампы давление в ней возросло с 80 кПа до 110 кПа. Насколько увеличилась при этом среднеквадратичная скорость молекул газа?  

4. До какой температуры при постоянном давлении 10⁵ Па надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна плотности водорода при том же давлении и температуре 200 К?                                        

5. Для нагревания газа массой 1 кг на 1К при постоянном давлении требуется 912 Дж теплоты, а при постоянном объеме – 649 Дж теплоты. Какой это газ?                                                                                        

6. Определить, во сколько раз среднеквадратичная скорость пылинки массой 1,75·10^-12 кг, взвешенной в воздухе, меньше среднеквадратичной скорости движения молекул воздуха.

7. Найти формулу некоторого соединения углерода с водородом, если известно, что это вещество массой 0,66 г в газообразном состоянии при температуре 27⁰С в объеме 1 дм³ создает давление 10⁵ Па.      

8. В сосуде при давлении 10⁵ Па и температуре 27⁰ С находится смесь азота, кислорода и гелия, массы которых равны. Найти плотность смеси газов.  

9. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится кислород массой 2 кг. Для повышения температуры кислорода на 5 К ему было сообщено 9160 Дж теплоты. Найти удельную теплоемкость кислорода с_р, работу, совершаемую им при расширении и увеличении его внутренней энергии. Молярная масса кислорода 0,032 кг/моль.

10. Одноатомный идеальный газ находятся в баллоне объемом 10 л при давлении 10⁵  Па. Какова внутренняя энергия газа?

11. В закрытом сосуде находится 3 моля гелия при температуре 27⁰  С. На сколько процентов увеличится давление  в сосуде, если газу сообщить 3 кДж теплоты?   

 

Вариант  2

1. Какая масса углекислого газа СО₂ растворена в бутылке с лимонадом объемом 0,5 л, если на одну молекулу газа приходится 5,56×10⁵ молекул воды ?

2. Из баллона со сжатым газом вследствие неисправности вентиля вытекал газ. Какая часть газа осталась в баллоне, если первоначально при температуре 27°С манометр показывал 60 атм, а через некоторое время при температуре 12°С – 19 атм ?

3. Средняя энергия молекулы одноатомного идеального газа равна 0,038 эВ (1эВ =1,6×10^-19  Дж). Давление газа равно 0,2 МПа. Найти число молекул в одном кубическом метре газа.

4. При некоторой температуре молекулы кислорода имеют среднеквадратичную скорость 460 м/с. Какова при этой температуре среднеквадратичная скорость молекул азота? 

5. При давлении 2×10⁶ Па идеальный газ занимает объем 5 литров. В результате изотермического расширения его объем увеличился на 1 л, а концентрация молекул стала равной n=3,62×10²⁶ м^-3. При какой температуре протекал этот процесс?

6. Два сосуда, наполненных воздухом при давлениях соответственно            Р₁ =0,8 МПа и Р₂ =0,6 МПа, имеют объемы V₁ =3л и V₂ =5л. Сосуды соединяют трубкой, объемом которой можно пренебречь по сравнению с объемами сосудов. Найти установившееся давление в сосудах. Температуру считать постоянной.

7. Аэростат объемом 300 м³  наполняется молекулярным водородом при температуре 300 К и давлении 10⁵ Па. Какое время будет наполняться оболочка аэростата, если из баллонов каждую секунду переходит в аэростат 25 г водорода? До заполнения газом оболочка аэростата водорода не содержала. Газ считать идеальным.

8. Три баллона емкостями V₁ =3 л, V₂ =7 л, V₃ =5 л наполнены соответственно кислородом (до давления р₁=2 атм), азотом (р₂=3 атм) и углекислым газом (р₃=0,6 атм) при одной и той же температуре . Баллоны соединяют между собой, причем образуется смесь той же температуры. Найти давление смеси.

9. В цилиндре объемом V₁ =190 см³  под поршнем находится газ при температуре Т₁=323 К. Найти работу расширения газа при нагревании его на ∆Т=100 К. Масса поршня m = 120 кг, его площадь S = 50 см ². Атмосферное давление р₀ =0,1 МПа.

10. Некоторая масса газа, занимающего объем V₁  = 0,01 м ³, находится при давлении р₁ =0,1 МПа и температуре Т₁ = 300 К. Газ нагревается вначале при постоянном объеме до температуры Т₂ = 320 К, а затем при постоянном давлении до температуры Т₃ = 350 К. Найти работу, совершаемую газом, при переходе из состояния 1 в состояние 3.

11. Коэффициент полезного действия цикла Карно равен 0,3. При изотермическом расширении газ получил от нагревателя 200 Дж энергии. Определить работу, совершаемую при изотермическом сжатии.

Вариант 3

1. Какое давление на стенки сосуда производят молекулы газа, если масса газа 3 г, объем 50 л, а средняя скорость молекул 500 м/с ?

2. Радоновые ванны содержат N=1,8×10⁶ атомов радона на объем воды V=1дм³. На сколько молекул воды приходится один атом радона?

3. Определить плотность смеси газов, находящихся при давлении 1 МПа и температуре 27⁰С. Смесь состоит из 5 киломолей азота, 1,5 киломолей кислорода и 0,5 киломоля углекислого газа.

4. Закрытый сосуд заполнен смесью газов, состоящей из неона, масса которого 4 г, и аргона, масса которого 1 г. Газы считать идеальными. Определить удельную теплоемкость этой смеси газов.

5. В неплотно закрытом баллоне объемом V =10^-2 м³ при температуре Т= 239К и давлении р=10 МПа находился водород. Сколько водорода было потеряно, если из оставшегося водорода может образоваться вода массой m=0,5кг?

6. В воздухе взвешена пылинка массой m=1,242×10^-20 кг. Температура воздуха Т=300 К. Подсчитать среднеквадратичную скорость пылинки и ее кинетическую энергию.

7. Какую работу совершает кислород массой m = 0,32 кг при изобарном нагревании на ∆Т=20 К?

8. Какова температура Т газа, находящегося под давлением р=0,5 МПа, если в сосуде объемом V =1,5 л содержится N = 1,8×10²⁴   молекул?

9. Некоторая масса газа находится в баллоне объемом V = 1л. После выпуска части газа из баллона давление в нем уменьшилось на ∆р=56 кПа, а масса баллона с газом уменьшилась на ∆m= 2 г. Температура газа при этом не изменилась. Найти плотность r₀ газа при нормальном давлении р₀ =0,1 МПа и температуре опыта.

10. Один киломоль газа при изобарическом расширении совершает работу А=831 кДж. В исходном состоянии объем газа V₁ =3 м³ , а температура Т₁=300 К. Каковы параметры р₂,V₂,T₂  после расширения? 

11. Температура нагревателя 227⁰ С. Определите кпд идеального двигателя и температуру холодильника, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученного от нагревателя, двигатель совершает 350 Дж механической работы.

Вариант 4

1. В сосуде при температуре 100⁰С и давлении 4×10⁵ Па находится 2 м³  смеси кислорода и сернистого газа. Определить парциальное давление компонентов, если масса сернистого газа 8 кг.

2. Плотность неизвестного газа равна 0,09кг/м³ . При этом в объеме 0,1 м³  содержится 2,7×10²⁴  молекул. Какой это газ? Определите его молярную массу.

3. В закрытом сосуде находится смесь азота массой 56 г и кислорода массой 64 г. Определить изменение внутренней энергии этой смеси, если ее охладили на 20⁰ С.

4. Какова удельная теплоемкость при постоянном объеме некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 6,3 кг/м³ ?

5. Найти среднюю длину пробега молекулы азота при 0⁰ С и давлении 10^-3 мм рт.ст.

6. Вычислить плотность водорода, если известно, что число его молекул в сосуде вдвое больше числа Авогадро, а объем сосуда равен 40 л.

7. Баллон с предохранительным клапаном содержит водород при температуре 15⁰С и давлении 10⁵ Па. При нагревании баллона до температуры 37⁰С через клапан выходит водород массой 6 кг, вследствие чего давление не изменяется. Определить объем баллона.

8. Какая работа совершается при изотермическом расширении водорода массой 823 г, взятого при температуре 214 К, если его объем увеличился в   7 раз?

9. Во сколько раз изменится среднеквадратичная скорость молекул идеального газа при увеличении его объема в 2 раза? Давление газа при этом увеличится в 3 раза, масса неизменна.

10. Водород массой 40 г, имевший температуру 300 К, адиабатически расширяется; при этом объем газа возрастает втрое. Затем при изотермическом сжатии объем газа уменьшается в 2 раза. Определить полную работу, совершенную газом, и конечную температуру газа. Построить график процесса.

11. Газ совершает цикл Карно; 2/3 теплоты, полученной от нагревателя, отдается охладителю. Температура охладителя 280 К. Определить температуру нагревателя.

 

Вариант  5

1. Молекула кислорода, ударившись о стенку сосуда, передала ей импульс ∆р=5,06×10^-23 кг×м/с. Найти температуру газа в сосуде, если скорость данной молекулы была направлена под углом a = 30⁰  к стенке и равнялась удвоенной среднеквадратичной скорости.

2. Некоторая масса водорода находится при температуре Т₁ =200 К и давлении р₁ =0,4кПа. Газ нагревают до температуры Т₂ =10000 К, при которой молекулы водорода практически полностью распадаются на атомы. Найти давление р₂  газа, если его объем и масса остались без изменения.

3. В закрытом воздухе объемом 61 л находятся равные массы аргона и азота при нормальных условиях. Какое количество теплоты нужно сообщить этой газовой смеси, чтобы нагреть ее на 60⁰ С?

 4. В теплоизолированном цилиндре с поршнем находится азот массой m=0,2 кг при температуре t₁=20⁰ C. Азот, расширяясь, совершает работу А= 4,47 кДж. Найти изменение внутренней энергии азота ΔU и его температуру t₂  после расширения. Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме –         С_v =745 Дж/кг×К

5. Сосуд разделен пополам полупроницаемой перегородкой. Объем каждой части – 1 л. В левую половину введены водород массой 2 г и азот массой 28 г. Справа от перегородки – вакуум. Какое давление установится в обеих частях сосуда, если перегородка пропускает только водород, а температура остается постоянной и равной 373 К?

6. Объем газа при адиабатическом сжатии уменьшился в 10 раз, а давление увеличилось в 21,4 раза. Определить соотношение удельной теплоемкости при постоянном давлении и удельной теплоемкости при постоянном   объеме.

7. Один киломоль одноатомного идеального газа находится при температуре Т₁ =400К и под давлением р₁=10⁶ Па. В результате изохорического процесса внутренняя энергия газа изменилась на ΔU= –12,5×10⁵ Дж. Определить параметры конечного состояния газа (V₂; p₂; T₂). 

8. Некоторая масса газа, занимающего объем V₁ =0,01 м³ , находится под давлением р₁ =1×10⁵ Па (при температуре T₁ =300К). Газ нагревают при постоянном объеме до температуры T₂ =320К, а затем при постоянном давлении – до температуры T₃ =350К. Найти работу, совершаемую газом, при переходе из состояния 1 в состояние 3.

9. Кислород, занимающий при давлении 1 МПа объем 5 л, расширился в     3 раза. Определить конечное давление и работу, совершенную газом, если процесс – адиабатический.

10. Кислород массой 10 г находится под давлением 0,3 МПа и при температуре 10⁰ С. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем 10 л. Найти количество теплоты, полученное газом, и энергию теплового движения молекул газа до и после нагревания.

11. Газ совершает цикл Карно. Температура охладителя 17⁰ С. Как изменится кпд цикла, если температура нагревателя повысилась от 127 до 447⁰ С?

 

Вариант  6

1. В баллоне емкостью 10 л содержится окисел азота (NO) под давлением    8 атм. Определить массу газа и массу его молекулы. Температура 15°С.

2. Из баллона со сжатым газом вследствие неисправности вентиля вытекал газ. Какая часть газа осталась в баллоне, если первоначально при температуре 27°С манометр показывал давление 60 атм, а через некоторое время при температуре 12°С – 19 атм?

3. В сосуде, объем которого 1 л, содержится 5 г идеального газа под давлением 500 гПа. Определить среднеквадратичную скорость молекул газа.

4. Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении равна 912 Дж/кг×К,                                                                                                                                                                                                              а при постоянном объеме 649 Дж/кг×К. Определить молекулярный вес газа и число степеней свободы его молекул.

5. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа, находящегося под давлением 0,3 Па. Концентрация молекул равна 10¹³ см^-3.

6. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при 0°С и давлении 10^-3 мм рт. ст. Диаметр молекулы принять равным 0,3 мм.

7. 2,18 кг двухатомного газа находится под давлением 7,8·10⁵ Па и имеет плотность 6,28 кг/м³. Найти энергию теплового движения молекул газа при этих условиях.

8. При изотермическом расширении водорода массой 1 г объем увеличился в 2 раза. Определить работу расширения и количество тепла, переданного телу. Температура водорода 300 К.

9. В баллоне, объем которого равен 10 л, находится гелий под давлением 10⁵ Па и при температуре 27°С. После того как из баллона была взята проба массой 10 г, давление в баллоне понизилось до 0,9·10⁵ Па. Определить температуру гелия, оставшегося в баллоне.

10.  Кислород массой 2 кг занимает объем 1 м³ и находится под давлением  0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершаемую им работу и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.

11. Двигатель работает как машина Карно и за цикл получает от нагревателя 3 кДж тепла. Температура нагревателя 600 К, температура холодильника 300 К. Найти совершившуюся за цикл работу и количество теплоты, отдаваемое при этом холодильнику.

Вариант 7

1. Оценить концентрацию свободных электронов в натрии, полагая, что на один атом приходится один свободный электрон. Плотность натрия ρ=970 кг/м³.

2. Баллон объемом 0,015 м³ содержит 7·10^-3 кг азота и 4,5·10^-3 кг водорода при температуре 27°С. Определить давление смеси.

3. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна 480 м/с при температуре 296 К. Сколько молекул содержится в 10-ти г этого газа?

4. Для повышения температуры газа, имеющего массу 20 кг и молярную массу 0, 028 кг/моль, на 50 К при постоянном давлении необходимо затратить количество теплоты 0,5 МДж. Какое количество теплоты следует отнять от этого газа при постоянном объеме, чтобы его температура понизилась на 50 К?

5. В баллоне, объем которого 719 м³, находится газ, состоящий из смеси углекислого газа и паров воды. Температура газа 513°С. Число молекул углекислого газа 8,35·10²², число молекул паров воды 5,87·10²². Вычислить давление газовой смеси.

6. Найти концентрацию молекул кислорода, если его давление равно 0,2 МПа, а средняя квадратичная скорость молекул 700 м/с.

7. Одному молю двухатомного газа сообщили 20 Дж тепла, в результате чего газ нагрелся на несколько градусов при постоянном объеме. Какое количество тепла нужно сообщить метану массой 30 г, чтобы нагреть его на такое же число градусов при постоянном давлении?

8. Одноатомный идеальный газ изотермически расширился из состояния с давлением 10⁶ Па и объемом 1 л вдвое. Найти внутреннюю энергию газа в конечном состоянии.

9. Температура воздуха в комнате объемом 70 м³ была 280 К. После того как протопили печь, температура поднялась до 296 К. Найти работу воздуха при расширении, если давление постоянно и равно 100 кПа.

10. При изобарическом нагревании от температуры 20°С до температуры 50°С газ совершает работу в 2,5 кДж. Определить число молекул, участвующих в этом процессе.

11. Одноатомный идеальный газ, первоначально занимающий объем 2 м³, изохорически перевели в состояние, при котором его давление увеличилось на 0,2 МПа. Какое количество теплоты сообщили газу?

 

Вариант  8

1. В сосуде объемом 10 л находится 2·10²³ молекул газа. Какова температура газа, если давление в сосуде равно 0,12 МПа?    

2. В баллоне находится газ массой 10 кг при давлении 10 МПа. Какую массу взяли из баллона, если давление стало равным 2,5 МПа? Температуру газа считать постоянной.                             

3. На сколько процентов увеличится среднеквадратичная скорость молекул водяного пара при повышении его температуры от 37⁰С до 40⁰С ?   

4. Вычислить величину отношений удельных теплоемкостей для газовой смеси, состоящей из 5-ти киломолей кислорода и 6-ти киломолей углекислого газа. Газы считать идеальными.

5. Кинетическая энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объемом 6,68 м³, равна 7,9·10⁴ Дж, а среднеквадратичная скорость его молекул составляет 7·10³ м/с. Найти массу азота в баллоне.                                                                    

6. Кислород, взятый при температуре 27⁰ С, изобарически сжали до объема, в 5 раз меньшего первоначального. Определить работу внешней силы при сжатии, если масса газа равна 160 г.                                      

7. Температура воды массой 1 кг повышается на 1 К. Найти увеличение внутренней энергии, приходящееся на одну молекулу. Удельная теплоемкость воды равна 4,2 , ее молярная масса 0,018 кг/моль. Коэффициент объемного расширения воды равен 2·10^-4 К^-1. Атмосферное давление составляет 0,1 МПа.                                

8. Водород, находившийся под давлением 0,1 МПа, был сжат адиабатически до давления 0,3 МПа. Каково будет давление, если сжатый газ (без изменения объема) охладить до первоначальной температуры? Начертить в координатах «объем - давление» графики процессов.

9. Водород массой 2 кг при температуре 300 К охлаждают изохорически так, что его давление падает в 3 раза. Затем водород изобарически расширяют. Найти работу газа, если его конечная температура равна начальной.

10. Кислород массой 2 кг занимает объем 1 м³ и находится под давлением 0,2 МПа. При нагревании газ расширяют в условиях постоянного давления до объема 3 м³, а затем его давление увеличивают до 0,5 МПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.

11. При совершении цикла Карно газ получил от нагревателя 16,8 кДж энергии и совершил 5,8 кДж работы. Во сколько раз температура нагревателя выше температуры холодильника?

 

Вариант 9

1. Из открытого стакана за 5 суток полностью испарилось 50 г воды. Сколько в среднем молекул вылетало с поверхности воды за 1 с ?

2. Гелий находится при температуре 27⁰ С. Кинетическая энергия теплового движения всех молекул газа Е_к=10 Дж. Определить число молекул.

3. При температуре 300 К плотность газа равна 1,2 кг/м³, а среднеквадратичная скорость молекул составляет 500 м/с. Найти концентрацию молекул газа.   

4. Тонкий резиновый шар радиуса 2 см заполнен воздухом при температуре 20⁰С и давлении 0,1 МПа. Каков будет радиус шара, если его опустить в воду с температурой 4⁰ С на глубину 20 м?                  

5. Определить плотность смеси, состоящей из 4 г водорода, 32 г кислорода, при температуре 7⁰ С и давлении 93 кПа.                           

6. Азот массой 10 г расширяется изотермически при температуре -20⁰ С, при этом давление меняется от 202 до 101 кПа. Определить работу расширения, изменение внутренней энергии азота и количество сообщенной ему теплоты.

7. Газ массой 12 г занимает объем 4 л при температуре 7⁰ С. После нагревания при постоянном давлении его плотность стала равной 0,6 кг/м³. До какой температуры нагрели газ?                                     

8. 10,5 г азота изотермически расширяется при температуре 37⁰ С от давления 10 Па до 10^-2 Па. Найти работу, совершаемую газом при расширении.

9. Азот, находившийся при температуре 400 К, подвергли адиабатическому расширению, в результате которого его объем увеличился в 5 раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определить массу азота.

 10. Двухатомный газ занимает объем 0,5 л при давлении 50 кПа. Газ сжимается адиабатически до некоторого объема и давления. Затем он охлаждается при постоянном объеме до первоначальной температуры, причем его давление становится равным 100 кПа. Построить график этого процесса. Найти объем и давление.                            

11. Температура нагревателя идеальной тепловой машины t₁=117⁰ C, а холодильника –t₂ =27⁰C. Количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за 1 с, равно Q = 60 кДж. Вычислить кпд машины, количество теплоты, отдаваемое холодильнику за 1 с, и мощность машины.

 

Вариант 10

1. При какой температуре кислород, находясь под давлением 0,2 МПа, имеет плотность 1,2 кг/м³ ? Какова при этом концентрация молекул кислорода?

2. Каково давление смеси газов в колбе, если в каждом кубическом сантиметре находится 10²⁰ молекул кислорода и 3∙10²⁰ молекул азота. Температура смеси 150⁰ С.                                    

3. В сосуде, объем которого 3 л, находится кислород массой 3 г при температуре 13⁰ С. Определить внутреннюю энергию газа и давление газа на стенки сосуда.       

4. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,37 кг/м³.     

5. Найти удельную теплоемкость при постоянном объеме для газовой смеси, масса киломоля которой равна 22 кг, а отношение удельных теплоемкостей равно 1,395.

6. Среднеквадратичная скорость молекул некоторого газа равна 851 м/с. Давление газа составляет 7,4∙10⁵ Па. Найти плотность газа при этих условиях.          

7. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением 1 МПа и при температуре 300 К. После того как из баллона было взято 10 г гелия, температура понизилась на 290 К. Определить давление гелия, оставшегося в баллоне.                                                                     

8. Кислород, занимавший объем 3 л при давлении 148 кПа, адиабатически расширяется до объема 89 л. Определить работу расширения.     

9. Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составляет  2 кДж. Определить количество подведенной к газу теплоты, если процесс протекает изобарно.

10. Газ, совершающий цикл Карно, получает от нагревателя 42 кДж теплоты. Какую работу совершает газ, если абсолютная температура нагревателя в 3 раза выше, чем температура холодильника ?      

11. Один моль идеального двухатомного газа, находящийся под давлением в 1 атм при температуре 27⁰ С, нагревается при постоянном объеме до давления в 2 атм. После этого газ изотермически расширяется до начального давления и затем изобарически сжимается до начального объема. Начертить график цикла. Определить температуры газа для характерных точек цикла.

             

                                                       

Умение решать задачи приобретается длительными систематическими упражнениями. Для овладения необходимыми навыками, следует после изучения очередного раздела учебника внимательно рассмотреть типовые задачи, а также задачи, предлагаемые для самостоятельного решения.

 

 

Приложение

1. Некоторые математические формулы:

;

;

;

;

;

.

 

2. Десятичные приставки к названиям единиц:

Т – тера (10¹²);              д – деци (10^-1);             н – нано (10^-9);

Г – гига (10⁹);                с – санти (10^-2);           п – пико (10^-12);

М – мега (10⁶);              м – милли (10^-3);         ф – фемто (10^-15);

к – кило (10³);               мк – микро (10^-6);         а – атто (10^-18).

 

3. Некоторые внесистемные величины:

1 сут = 86400 с; 10 = 1,75×10-2 рад = p/180 рад; 1¢ = 2,91×10-4 рад = p/180×10-2 рад; 1¢¢ = 4,85×10-6 рад = p/(648×10-3) рад; 1 рад = 57018¢;

1 об/с = 1 с-1;   1 об/мин = 1/60 с-1; 1 мм.рт.ст. = 133,3 Па; 1 л = 10-3 м3;    1 кал = 4,19 Дж;     1 атм = 1,01×105 Па.

 

 

4. Основные физические постоянные:

Скорость света в вакууме	с=3×108 м/c
Постоянная Авогадро	NА=6,02×1023 моль
Молярная газовая постоянная	R=8,31 Дж/К моль
Постоянная Больцмана	k=1,38×10-23 Дж/К
Молярный объем идеального газа при нормальных условиях (Р=1,013×105 Па, Т=273 К)	VМ=22,41 ×10-3 м3/моль

 

5. Плотность газов r (кг/м³) при нормальных условиях:

Азот	1,25	Воздух	1,29
Аргон	1,78	Гелий	0,18
Водород	0,09	Кислород	1,43

 

 

6. Эффективный диаметр молекул (нм):

Азот	0,38	Воздух	0,27
Аргон	0,35	Гелий	0,22
Водород	0,28	Кислород	0,36

7. Молярные массы (М 10^-3 кг/моль) газов:

Гелий	Не	4	Аргон	Ar	40
Азот	N2	28	Окись азота	NO	30
Кислород	О2	32	Неон	Ne	20
Воздух		29	Сернистый газ	SO2	64
Метан	СН4	16	Углекислый газ	CO2	44
Водород	Н2	2	Аммиак	NH3	14

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Трофимова Т.И. Курс общей физики. М.: Высш.шк., 1990. 478 с.

2. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3 т. Т. 1. М.: Наука, 1977. 416 с.

3. Детлаф А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, В.М. Яворский. М.: Высш.шк., 1989. 608 с.

4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 1992. 464 с.

5. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. М.: Высш.шк., 1991. 589 с.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………….	3
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ………………………………..	3
1.1. Основные формулы и законы …………………………………………….	3
1.2. Примеры решения задач ………………………………………………….	19
1.3. Задания ……………………………………………………………………..	36
2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА ………………..	57
2.1. Основные формулы и законы …………………………………………….	57
2.2. Примеры решения задач ………………………………………………….	63
2.3. Задания …………………………………………………………………….	69
ПРИЛОЖЕНИЕ ………………………………………………………………..	84
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ……………………………………….	86

 

 

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Контрольные задания для студентов всех специальностей

 

Красноярск

2004

УДК [531+533] (076)

ББК 22.2

 

 

Механика и молекулярная физика: Контрольные  задания для студентов всех специальностей / КрасГАСА. Красноярск, 2004.  

 

                                                                  Составили

                                                                   А. Е.  Бурученко

                                                                   А. А. Колесников

                                                                   В. А. Захарова

С.С. Лаптев

О.П. Арнольд

Г.Н. Харук

П.П. Машков

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии

 

Ó Красноярская государственная архитектурно-строительная академия, 2004

 

 

ВВЕДЕНИЕ

       

Физика – фундаментальная база для теоретической подготовки инженеров, без овладения которой их успешная деятельность невозможна.

На всех этапах обучения большое значение имеет практическое применение теоретических знаний в процессе решения задач. Это способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе, учит анализировать изучаемые явления, выделять главные факторы, отвлекаясь от случайных и несущественных деталей.

Задачи, приведенные в методических указаниях, соответствуют программе общего курса физики в техническом вузе и охватывают разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная физика» и «Термодинамика».

В работе отсутствуют сведения, которые при необходимости могут быть найдены в учебных пособиях по курсу общей физики (см. библиографический список). Поэтому вначале помещен краткий перечень формул и законов, необходимых для решения задач.

В приложении приведены основные справочные данные, дополняющие условия задач. Номера вариантов, которые должен выполнить студент, указывает преподаватель.

12345Следующая ⇒

Поделиться: