Значение и задачи математического развития детей дошкольного возраста

От автора

Необходимость издания настоящего учебного пособия объясняется, прежде всего, реформированием школьного образования и переходом его на 12-летнее обучение, а также изменившейся концепцией дошкольного воспитания, и в частности содержанием и стратегией обучения детей элементам математики.

Основополагающими идеями курса «Теория и методика математического развития дошкольников» являются:

1. научное понимание процесса обучения как активной деятельности, направленной на интеллектуальное, в частности математическое, развитие личности ребенка;

2. путь перехода от репродуктивного типа обучения к продуктивному, развивающему, творческому, который предусматривает перестройку всей системы учебно-воспитательной работы в детском саду с учетом интересов и познавательных возможностей каждого ребенка;

3. вариативность программ и методических технологий, предполагающая дифференциацию и индивидуализацию обучения, гарантирующая обеспечение государственных стандартов образования и достаточно высокий уровень развития детей.

На этом основании цель обучения заключается в обеспечении всестороннего развития каждого ребенка и рассматривается главным образом как возможность приобретения знаний и использования их в жизни.

В этой связи весьма важно раскрыть перед ребенком средства и способы познания мира, сформировать у него основу личностной культуры, в том числе основу культуры познания.

В современных условиях значительно повышаются требования к профессиональной подготовке воспитателя (преподавателя), к осознанию им сути математического развития дошкольников, пониманию качественных изменений в личности ребенка, происходящих под влиянием обучения и воспитания. Обучение только тогда будет эффективно, когда учитываются не только возрастные, но и индивидуальные особенности детей.

В пособии использованы прогрессивные идеи классической и современной педагогики и психологии по проблемам обучения детей дошкольного возраста элементам математики (Л. А. Венгер, Р. Грин, В. В. Данилова, Е. Дум, Т. И. Ерофеева, Я. А. Коменский, В. К. Котирло, В. Лаксон, А. М. Леушина, М. Монтессори, Н. И. Непомнящая, Н. Н. Поддьяков, А. А. Столяр, Е. И. Тихеева, М. Фидлер, Ф. Фребель и др.).

Пособие разработано в соответствии с действующей учебной программой для педагогических институтов и университетов по предмету «Методика формирования элементарных математических представлений у детей», с учетом современных психолого-педагогических исследований. При этом учтена основная задача курса — ознакомить студентов в процессе обучения с некоторыми вопросами теории элементарной математики, с особенностями детских представлений о количестве, пространстве и времени, с методами и формами обучения детей математике в разных возрастных группах детского сада, соотнося эти вопросы с требованиями дидактики. Это поможет студентам, а также учащимся педагогических училищ (колледжей) свободно ориентироваться в методической литературе, современных исследованиях педагогов и психологов по отдельным проблемам математического развития детей, приобретать практические навыки и умения по обучению основам математики.

Е. Щербакова

Глава 1. Теоретические основы методики математического развития детей дошкольного возраста

Глава 2. Организация обучения и математического развития детей дошкольного возраста

Содержание математического развития дошкольников

Математическое развитие детей дошкольного возраста осуществляется как в результате приобретения ребенком знаний в повседневной жизни (прежде всего, в результате общения со взрослым), так и путем целенаправленного обучения на занятиях по формированию элементарных математических знаний. Именно элементарные математические знания и умения детей следует рассматривать как главное средство математического развития.

В процессе обучения у детей развивается способность точнее и полнее воспринимать окружающий мир, выделять признаки предметов и явлений, раскрывать их связи, замечать свойства, интерпретировать наблюдаемое; формируются мыслительные действия, приемы умственной деятельности, создаются внутренние условия для перехода к новым формам памяти, мышления и воображения (Г. С. Костюк).

Психологические экспериментальные исследования и педагогический опыт свидетельствуют о том, что благодаря

систематическому обучению дошкольников математике у них формируются сенсорные, перцептивные, мыслительные, вербальные, мнемические и другие компоненты общих и специальных способностей. Задатки индивида превращаются в конкретные способности посредством учения (В. В. Давыдов, Л. В. Занков и др.).

Разница в уровнях развития детей, как показывает опыт, выражается главным образом в том, какими темпами и с какими успехами они овладевают знаниями.

Однако при всем важном значении обучения в психическом развитии личности последнее нельзя сводить к учению. Развитие не исчерпывается теми изменениями личности, которые являются прямым следствием обучения (Г. С. Костюк). Оно характеризуется теми «умственными поворотами», которые происходят в голове ребенка, когда он научается говорить, читать, считать, усваивает социальный опыт, передаваемый ему взрослым (И. И. Сеченов).

Как показывают исследования (А. В. Запорожец, Д. Б. Эль-конин, В. В. Давыдов и др.), развитие идет дальше того, что усваивается в тот или иной момент обучения. В процессе и под влиянием обучения происходит целостное, прогрессирующее изменение личности, ее взглядов, чувств, способностей. Благодаря обучению расширяются возможности дальнейшего усвоения нового, более сложного материала, создаются новые резервы обучения.

Между обучением и развитием существует взаимная связь. Обучение активно содействует развитию ребенка, но и само опирается на его уровень развития. В этом процессе многое зависит от того, насколько обучение нацелено на развитие.

Обучение может по-разному развивать ребенка в зависимости от его содержания и методов. Именно содержание и его структура являются гарантами математического развития ребенка.

В методике вопрос «чему учить?» всегда был и остается одним из основных вопросов. Давать ли детям основы научных знаний, вооружать ли их только набором конкретных умений, при помощи которых они имели бы некоторую практическую ориентировку, — это важная проблема дидактики детского сада.

Содержание математического развития отражено в программе обучения детей математике, и условно его можно разделить на три таких направления:

§ представления и понятия;

§ зависимости и отношения;

§ математические действия.

Отобрать познавательный материал для изучения с учетом его значимости и в соответствии с возможностями детей — дело весьма непростое. В принципе содержание обучения, т. е. программа по формированию элементов математики, отрабатывалась на протяжении многих лет. В последние 50 лет этот процесс осуществлялся на базе экспериментальных исследований (А. М. Леушина, В. В. Данилова, Т. В. Таруїітаева, Р. Л. Березина, Г. А. Корнеева, Н. И. Непомнящая и ДР-)-

Под содержанием обучения понимается объем и характер знаний, умений и навыков, которыми должны овладеть дети в процессе организации разных видов деятельности.

Анализ различных (вариативных) программ по математике в детском саду позволяет заключить, что основном в их содержании является достаточно разнообразный круг представлений и понятий: «количество», «число», «множество», «подмножество», «величина», «мера», «форма предмета» и «геометрические фигуры»; представления и понятия о пространстве (направления, расстояния, взаимное расположение предметов в пространстве) и времени (единицы измерения времени, некоторые его особенности).

При этом важно подчеркнуть, что каждое математическое понятие формируется постепенно, поэтапно, по линейно-концентрическому принципу. Разные математические понятия тесно связаны между собой. Так, в работе с детьми четвертого года жизни основное внимание уделяется формированию знаний о множестве. Дети учатся сравнивать «контрастные» и «смежные» множества (много и один; больше (меньше) на один). В дальнейшем, в группах пятого, шестого, седьмого годов жизни, знания о множестве углубляются, поскольку дети сравнивают множество элементов по количеству составляющих, делят множество на подмножества, устанавливая зависимости между целым и его частями и т. п.

На основе представлений о множестве у детей формируются представления и понятия о числах и величинах и т. д. Усваивая понятия о числах, ребенок учится абстрагировать количественные отношения от всех других особенностей элементов множества (величина, цвет, форма). Это требует от ребенка умения выделять отдельные свойства предметов, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Формирование понятия о величине тесно связано с развитием у детей числовых представлений. Сформированное^ оценок величины, знаний о числе позитивно влияет на формирование знаний о форме предметов (у квадрата 4 стороны, все стороны равны, а у прямоугольника — только противоположные и т. д.).

В дошкольном возрасте основные математические понятия вводятся описательно. Так, при ознакомлении с числом дети упражняются в счете конкретных предметов, реальных и нарисованных (считают девочек и мальчиков, зайчиков и лисичек, круги и квадраты), попутно знакомятся с простейшими геометрическими фигурами, без всяких определений и даже описаний этих понятий. Точно так же дети усваивают понятия: «больше», «меньше»; «один», «два», «три»; «первый», «второй», «последний» и т. д.

Каждое понятие вводится наглядно, путем созерцания конкретных предметов или практического оперирования ими.

В период дошкольного детства, как отмечают Н. Н. Под-дьяков, А. А. Столяр и др., имеется достаточно обширная область «предпонятийных», «житейских» понятий. Содержание «житейских» понятий очень расплывчато, диффузно, оно охватывает самые различные формы, предшествующие настоящим понятиям. Тем не менее «житейские» понятия важны для математического развития ребенка в целом.

Специфическая особенность «житейских» понятий такова, что они построены на основе обобщения признаков предметов, существенных с точки зрения каких-либо нужд человека, выполнения им различных видов практической деятельности.

Интересные данные в этом плане были получены 3. М. Богуславской (1955), изучавшей особенности формирования обобщений у детей различных дошкольных возрастов в процессе дидактической игры. У младших дошкольников познавательная деятельность была подчинена решению той или иной конкретной игровой задаче и обслуживала ее. Дети усваивали лишь те сообщаемые им сведения, которые были необходимы для достижения определенного практического эффекта в игре. Усвоение знаний носило утилитарный характер. Приобретаемые знания тут же применялись для выполнения заданной группировки картинок.

У старших дошкольников познавательная деятельность в процессе дидактических игр выходила за рамки лишь непосредственного обслуживания практических задач, теряя сугубо эмпирический характер, и выступала уже в форме развернутой содержательной деятельности с характерными специфическими способами осуществления. В результате формируемые у детей представления и понятия достаточно полно и адекватно отражали определенный круг явлений.

Вторым направлением в обучении дошкольников математике является ознакомление детей с рядом математических зависимостей и отношений. Так, дети осознают некоторые отношения между предметными множествами (равно-численность — неравночисленность), отношение порядка в натуральном ряду, временные отношения; зависимости между свойствами геометрических фигур, между величиной, мерой и результатом измерения и др.

Особо следует выделить требования к формированию у детей определенных математических действий: накладывания, прикладывания, пересчитывания, отсчитывания, измерения и т. д. Именно овладение действиями оказывает наибольшее влияние на развитие.

В методике выделяются две группы математических действий:

· основные (счет, измерение, вычисления);

· дополнительные, пропедевтические, сконструированные в дидактических целях (практическое сравнение, наложение, приложение (А. М. Леушина); уравнивание и комплектование (В. В. Давыдов); сопоставление (Н. И. Непомнящая)).

Как видим, содержание «предматематической» подготовки (А. А. Столяр) в детском саду имеет свои особенности. Они объясняются:

· спецификой математических понятий;

· традициями в обучении дошкольников;

· требованиями современной школы к математическому развитию детей.

Учебный материал запрограммирован так, чтобы на основе уже усвоенных более простых знаний и способов деятельности у детей формировались новые, которые, в свою очередь, будут выступать предпосылкой становления сложных знаний и умений и т. д.

В процессе обучения, наряду с формированием у детей практических действий, формируются познавательные (умственные), которыми без помощи взрослых ребенок овладеть не может. Именно им, умственным действиям, принадлежит ведущая роль, т. к. объектом познания в математике являются скрытые количественные отношения, алгоритмы, взаимосвязи.

Весь процесс формирования элементов математики непосредственно связан с усвоением специальной терминологии. Слово делает понятие осмысленным, подводит к обобщениям, к абстрагированию.

Особое место в реализации содержания обучения (программных задач) занимает планирование учебно-воспитательной работы на занятиях и вне их в форме перспективного и календарного плана. Значительную помощь в работе воспитателя могут оказать ориентировочные перспективные планы; планы-конспекты занятий по математике. Эти планы и конспекты воспитатель должен использовать именно как ориентировочные, при этом следует постоянно сопоставлять их содержание с уровнем математического развития детей данной группы.

План-конспект занятий по математике включает такие структурные компоненты, как тема занятия, программные задачи, активизация словаря детей, дидактический материал, ход занятия (методические приемы, использование их в разных частях занятия).

Воспитатель проводит занятия в соответствии с планом. Каждое занятие, независимо от его длительности и формы проведения, — это организационно, логически и психологически завершенное целое. Организационная целостность и завершенность занятия заключается в том, что оно начинается и заканчивается в четко отведенное для этого время.

Логическая целостность заключается в содержании занятия, в логических переходах от одной части занятия к другой.

Психологическая целостность характеризуется достижением цели, чувством удовлетворения, желанием продолжать работу дальше.

Множества и операции с ними

В математике основным понятием является понятие множества. Множество — это совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку и воспринимаемых как единое целое.

В 70-х гг. XIX в. Георг Кантор ввел понятие «множество». С этого времени данное понятие в математике является фундаментальным, исходным при определении других понятий: чисел, величин, формы и т. д.

Мир, в котором живет человек, представлен разнообразными множествами: звездами на небе, животными вокруг него, разными звуками, частями собственного тела. Познание человеком реальной действительности начиналось с осознания отдельных (единичных) предметов, а потом и их совокупностей. В словаре русского языка для их обозначения есть специальные слова: «коллектив», «толпа», «свора», «рой», «лес», «оркестр», «сервиз» и т. д.

Множество характеризуется различными свойствами, поэтому говорят, что множество задано некоторыми характеристиками. Под этими характеристиками подразумеваются такие свойства, которыми владеют все объекты, принадлежащие данному множеству, и не владеет ни один предмет, который не принадлежит ему, т. е. этот предмет не является его элементом. Множество, в отличие от неопределенной множественности, имеет границы и может быть охарактеризовано натуральным числом. В таком случае считают, что число обозначает мощность множества. Множество — это прерывная, дискретная величина, в ней каждый элемент может быть выделен, посчитан.

В начале развития счетной деятельности сравнение множеств осуществляется поэлементно, один к одному. Элементами множества называют объекты, составляющие его. Это могут быть реальные предметы (вещи, игрушки, рисунки), а также звуки, движения, числа и др. Сравнивая множества, человек выявляет не только их равномощ-ность, но и отсутствие у множества того или другого элемента, той или другой его части. Есть два способа определения мощности множества: первый — пересчитыванием всех его элементов и называнием результата числом; другой — выделением характерологических свойств множества. (Так, характерологическим свойством всех четных чисел является делимость каждого из них на два.)

Обозначим некоторые множества большими латинским буквами А, В, С, D, а элементы множеств — малыми а, Ь, с, d.

Записи А{ = (а, Ь, с, d) и А2 = (- 2, -1,0,1,2) заданы пересчетом или набором своих элементов. Если в заданном множестве А3 помимо названных элементов а, Ь, с, d есть еще элементы, которые невозможно указать, то вместо них ставят точки: А3 = (а, Ь, с, d ...).

Принадлежность элемента а к множеству А! записывается так: аЄА{. Читается так: «а является элементом множества А,» или «а принадлежит А!». Если нужно записать, что число 2 не принадлежит А!, записывают так: 2 ^ А! .Читается: «2 не принадлежит Aj».

Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и их совокупности. Например, при счете парами, тройками, десятками. В этих случаях элементами множества выступает не один предмет, а два, три, десять — совокупность.

Основными операциями с множествами являются: объединение, пересечение и вычитание.

Объединением (суммой) двух множеств называют третье множество, которое включает все элементы этих множеств. При этом объединение множеств не всегда равняется сумме чисел элементов множеств. Она равняется сумме чисел элементов только тогда, когда в обоих множествах нет общих элементов. Если таковые есть, то в сумму они включаются только один раз. Например, в загадке «Два отца и два сына. Сколько их всего?» видим пример объединения множеств, когда оно не равно сумме чисел. Поскольку один и тот же человек включается дважды (и в первое и во второе множество), он считается один раз. Или другой пример. Чтобы определить количество дисциплин, которые изучаются студентами данного факультета в семестре, необходимо из расписания каждого дня сделать выборку: к множеству предметов, которые изучают студенты в понедельник, добавить не все лекции, семинары последующих дней недели, а лишь те, которые не назывались в предыдущих днях недели.

Таким образом, количество предметов будет меньше, чем общее количество занятий в неделю, т. к. есть предметы, которые повторяются несколько раз.

Пересечением двух множеств называется множество, которое состоит из общих элементов. На рис. 6 графически изображено пересечение множеств. Так, например, если одно множество характеризуется по признаку формы (различные треугольники), а второе множество — по цвету (красные геометрические фигуры), то пересечением этих множеств будут красные треугольники.

Рис. 6

При вычитании двух множеств получаем третье множество, которое называется разностью. Разность включает элементы первого множества, которые не принадлежат второму. Так, если первое множество состояло из геометрических фигур разного цвета, а второе — из красных геометрических фигур, то разностью являются все геометрические фигуры, включенные в первое множество, но не красного цвета. Или такой пример. Обозначим множество студентов в группе буквой А, множество девушек в этой группе — В. Чтобы узнать множество юношей в их группе, надо вычесть элементы второго множества из первого (А—В).

На рис. 7 заштрихованная часть является разностью двух множеств.

Характеризуя множества, в математике используются такие понятия: конечное и бесконечное множества, равномощное При этом заметим, что дети раннего и дошкольного возрастов в основном знакомятся только с конечными, непересекающимися множествами.

Этапы счетной деятельности

Счет — это деятельность с присущими всякой деятельности признаками, т. е. наличием цели, средств, способов ее осуществления и результатом в виде итогового числа как показателя мощности множества.

Сущность деятельности счета состоит в том, что между элементами конкретной совокупности и числами натурального ряда как стандартного множества чисел, каждое из которых является показателем определенного класса множеств, устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Многочисленные исследования педагогов и психологов (А. М. Леушина, Г. С. Костюк, В. В. Данилова и др.) показали, что овладение детьми счетом осуществляется постепенно и проходит ряд этапов.

Обучение счету начинается с практических действий с множествами, дробления их на элементы, сравнения смежных множеств. Счетная деятельность условно может быть поделена на отдельные этапы, а именно процесс счета и итог, в связи с чем выделяется соотнесенный и итоговый счет. Процессом счета, т. е. соотнесенным счетом (называнием чисел) дети овладевают быстрее. Итог счета усваивается значительно труднее.

А. М. Леушина определила шесть этапов развития счетной деятельности у детей. При этом первые два этапа являются подготовительными. В этот период дети оперируют с множествами, не используя чисел. Оценка количества осуществляется с помощью слов «много», «один», «ни одного», «больше — меньше — поровну». Эти этапы характеризуются как дочисловые.

Первый этап можно соотнести со вторым и третьим годом жизни. Основная цель этого этапа — ознакомление со структурой множества. Основные способы — выделение отдельных элементов в множестве и составление множества из отдельных элементов. Дети сравнивают контрастные множества: много и один.

Второй этап также дочисловой, однако в этот период дети овладевают счетом на специальных занятиях по математике.

Цель — научить сравнивать смежные множества поэлементно, т. е. сравнивать множества, отличающиеся по количеству элементов на один.

Основные способы — накладывание, прикладывание, сравнение. В результате этой деятельности дети должны научиться устанавливать равенство из неравенства, добавляя один элемент, т. е. увеличивая, или убирая, т. е. уменьшая, множество.

Третий этап условно соотносится с обучением детей пятого года жизни. Основная цель — ознакомить детей с образованием числа. Характерные способы деятельности — сравнение смежных множеств, установление равенства из неравенства (добавили еще один предмет, и их стало поровну — по два, по четыре и т. д.).

Результат — итог счета, обозначенный числом. Таким образом, ребенок вначале овладевает счетом, а затем осознает результат — число.

Четвертый этап овладения счетной деятельностью осуществляется на шестом году жизни. На этом этапе происходит ознакомление детей с отношениями между смежными числами натурального ряда.

Результат — понимание основного принципа натурального ряда: у каждого числа свое место, каждое последующее число на единицу больше предыдущего, и наоборот, каждое предыдущее — на единицу меньше последующего.

Пятый этап обучения счету соотносится с седьмым годом жизни. На этом этапе происходит понимание детьми счета группами по 2, по 3, по 5.

Результат — подведение детей к пониманию десятичной системы счисления. На этом обучение детей дошкольного возраста обычно заканчивается.

Шестой этап развития счетной деятельности связан с овладением детьми десятичной системой счисления. На седьмом году жизни дети знакомятся с образованием чисел второго десятка, начинают осознавать аналогию образованная любого числа на основе добавления единицы (увеличения: і числа на единицу). Понимают, что десять единиц составляют один десяток. Если к нему прибавить еще десять единиц, то> получится два десятка и т. д. Осознанное понимание детьми десятичной системы происходит в период школьною обучения.

Глава 5. Подготовка дошкольников к вычислительной деятельности и обучение решению задач

Подготовка детей к вычислительной деятельности

Овладевая числом и счетом, дети постепенно подготавливаются к основной деятельности — вычислительной. Главными образовательными задачами при этом являются:

§ усвоение взаимно-обратных отношений между смежными числами;

§ ознакомление с цифрами;

§ усвоение состава числа из единиц и двух меньших чисел;

§ деление целого множества на части (подмножества), а затем деление числа, составление его из двух меньших чисел.

Усвоение взаимно-обратных отношений между смежными числами осуществляется в группах пятого и шестого годов жизни, а в последующем эти знания будут использоваться как прием вычислительной деятельности. Воспитатель говорит детям: «Решая задачу, арифметический пример, когда надо будет прибавить (вычесть) единицу (число 1), не надо пересчитывать множества, т. к. мы знаем, что, добавив единицу, получим число, следующее за ним, а вычитая из числа единицу, получим число, которое предшествует ему».

Дети упражняются в этом на протяжении пятого-шестого годов жизни, а в старшей группе при решении арифметических задач и примеров они свои знания обобщают и применяют в другой — вычислительной — деятельности.

Вычислительная деятельность, в отличие от счетной, имеет дело не с конкретными множествами, а с числами и их изображениями на письме — цифрами. Поэтому значительным фактором подготовки к вычислительной деятельности является ознакомление с цифрами. Желательно начинать эту работу в группе пятого года жизни со второго квартала. К этому времени у детей уже сформированы знания о первых числах и счете в пределах трех. Педагог постепенно подводит их к пониманию необходимости изображать числа на письме особыми знаками — цифрами. Каждое число записывается по-своему. Дети называют разные числа, а воспитатель показывает им цифры, которыми они записываются. Так, на одном из занятий формируются общие представления о цифрах и подробнее останавливаются на цифре 1 (один).

Методику ознакомления с цифрой рассмотрим на примере конкретного занятия.

Цель занятия: учить детей считать предметы в пределах трех. Ознакомить с цифрой 1. Продолжать формировать понятия «больше», «меньше».

Ход занятия: воспитатель кладет на стол три игрушки, предлагает детям посчитать их и положить на верхнюю полоску карточки такое же количество изображений предметов.

«Сколько игрушек вы положили на верхнюю полоску? Почему? Положите на нижнюю полоску карточки две игрушки». Дети выполняют задания. «Сколько игрушек вы положили на нижнюю полоску? Покажите на пальцах, на сколько игрушек тут меньше, чем на верхней полоске. Что нужно сделать, чтобы игрушек на верхней и нижней полосках стало поровну?» Аналогичные задания повторяют три-четыре раза с другими предметами.

Воспитатель кладет на стол одну игрушку. «Сколько игрушек на столе? Правильно, одна. Чтобы написать, сколько тут игрушек, пишут вот такой значок — цифру 1. Вот она». (Показывает.) (рис. 25). Дети разглядывают карточку с изображением цифры 1, анализируют ее начертание. «Цифра 1 состоит из двух прямых палочек. Одна палочка длиннее, другая — короче. Эти палочки соединяются под углом вверху. Обратите внимание, с какой стороны пишут короткую палочку. Правильно, слева».

Рис. 25

Воспитатель предлагает достать из конверта карточку с цифрой. Дети указательным пальцем правой руки обводят цифру, изображенную на карточке. При этом педагог следит за направлением движения руки ребенка.

«Давайте цифру 1 выложим из полосок бумаги. У вас в конвертах есть полоски разной длины. Выложите цифру 1. Обведите ее пальцем, как будто вы пишите эту цифру. Напишите ее в воздухе».

Во время показа начертания цифры в воздухе воспитатель использует зеркальный показ или становится в пол-оборота к детям и показывает правой рукой. Потом он предлагает рядом с цифрой выложить столько игрушек, сколько обозначено этой цифрой. «Почему вы положили только одну игрушку?»

При ознакомлении с цифрами 2, 3, 4 и 5 используется такая же последовательность. Обучение счету несколько опережает ознакомление с цифрами.

На пятом году жизни методика ознакомления с цифрами простая и конкретная: демонстрация цифры и анализ ее начертания, последующее ее узнавание, обведение указательным пальцем по контуру, выкладывание из палочек (полосок бумаги), лепка из пластилина, разучивание стихов о каждой цифре и др.

В старшей группе дети продолжают знакомиться с цифрами 6—9 и 0. Причем ознакомление с цифрой осуществляется одновременно с формированием знаний об образовании числа и счетом в пределах заданного числа. Методика работы становится более разнообразной и детальной, поскольку сравниваются множества, числа и цифры между собой. Значительное внимание уделяется именно изображению (начертанию) цифры. Например, детям предлагается заштриховать контурное изображение цифры на листе бумаги (ширина цифры приблизительно равна 0,5 см). Дети выполняют задания, а воспитатель помогает им.

Дошкольников знакомят с каждой отдельной цифрой, соотнося ее с числом через действия с предметными множествами. Для этого воспитатель демонстрирует цифру, предлагая детям рассмотреть ее начертания; дети создают соответствующее множество, откладывая определенное количество предметов; обводят указательным пальцем правой руки по контуру цифры, усваивая ее начертания. Для закрепления приобретенных знаний используются разные дидактические игры типа «Поручение», «Магазин», а также упражнения: обозначить число, которое больше (меньше) на один, чем названное (следует показать цифру), и др.

При ознакомлении с цифрами широко используются специально сделанные карточки (рис. 26). Карточка поделена на две неравные части: левая — меньшая, правая — большая. Внизу карточки по всей ее длине приклеена полоска бумаги так, чтобы получился кармашек. В левую часть вкладывается карточка с цифрой, а в правую — чистый лист бумаги, на котором ребенок должен нарисовать столько предметов, сколько показывает цифра.

В детском саду не обучают писать цифры, но очень важно, чтобы дети усвоили правильное направление движения руки при написании разных цифр. Эффективным для этого является обведение контура цифры: дети указательным пальцем обводят цифру, сохраняя направление движения, тренируются в написании цифр в воздухе, выкладывают ее из счетных палочек, лепят из пластилина. Во время прогулки можно предложить детям написать цифру палочкой на песке, земле, снегу, выложить ее из природного материала и т. п.

Дошкольники легко и с интересом усваивают цифры. Однако нередко у них даже в старшем дошкольном возрасте возникают трудности в различении цифр, похожих по начертанию: 1 , 4 и 7; 2 и 5; 6 и 9. Например, при ознакомлении с цифрой 7 нужно, рассмотрев ее начертание, предложить детям вспомнить, на какие знакомые им цифры она похожа, сравнить их по начертанию, выделить общее и то, чем они отличаются. Так же сравниваются цифры 3 и 8; 6 и 9.

Например, при сравнении цифр 2 и 5 детям предлагают посчитать сначала одну группу предметов на столе у воспитателя и поднять соответствующую цифру, потом посчитать вторую группу и также соотнести количество игрушек с определенной цифрой. Начертания этих цифр анализируют и сравнивают между собой. Обращают внимание детей на то, что в цифре 2 неполный круг вверху, а в цифре 5 — он внизу; короткая линия слева — направо в цифре 2 внизу, а в цифре 5 — вверху и т. д.

В качестве приемов на закрепление начертания цифр можно использовать лепку из пластилина, вырезание, заштриховку и др.

Приведем конспект такого занятия.

Цель занятия: закрепить представления о числах и цифрах в пределах десяти, учить различать количественный и порядковый счет, отвечать на вопросы: «сколько?», «который?», «какой по счету?». Развивать логическое мышление во время решения задач-шуток, головоломок, воспитывать организованность, сосредоточенность, интерес к познавательной деятельности.

Активизация словаря детей: названия чисел и действий с ними.

Дидактический материал: карточки с цифрами, атрибуты к игре «Автобус», пакет с письмом, геометрические фигуры.

Ход занятия: «Дети, как вы думаете, звери учатся? (Ответы детей.) А я слышала о Лесной школе и все никак не могу попасть в нее. А вам хотелось бы побывать там? (Да.) На чем же мы поедем? (Ответы.) Автобус уже стоит, он ждет нас, но с нами поедут только те, кто правильно ответит на вопросы. У вас уже есть карточки с цифрами, в автобусе вы должны занять те места, которые пронумерованы той же цифрой, что и у вас на карточке» (спрашивает нескольких детей, какая у них цифра).

Воспитатель предлагает такие задания: посчитать количество предметов; посчитать устно от заданного числа дальше; посчитать порядковым счетом от пяти, семи; назвать соседей с числами 3, 5, 9; узнать, какое число Пропущено: 1, 2, 3, 5,6 и т. п.

Дети, ответившие на вопросы, проходят в автобус, занимают свои места, разговаривают. Воспитатель предлагает проверить, правильно ли пассажиры заняли места.

«Без водителя может ехать автобус? Нет. (Считалкой выбирают водителя.) Водитель! Проверьте, хватит ли нам бензина? (бак пустой). Нам необходимо шесть литров бензина. А вот рядом бензоколонка. Водитель, проверьте по счетчику (отмеряет на счетчике, переводя стрелки от одного деления к другому). А вы, заправщик, заправьте в бак шесть литров бензина. Дети, смотрите, правильно ли наливают бензин, можно загибать на руках пальчики. Ну вот мы и можем ехать.

А в дороге, чтобы вам не было скучно, я буду тоже задавать вопросы».

Дети отвечают на вопросы.

Остановка. Выходят на полянку. «Полюбуйтесь лесом, прослушайте пение птиц. Пройдите по лесу, рассмотрите елочки, посчитайте шишки на них». Предлагается поиграть в игру «Найди свою елочку» (дети разбегаются по полянке, а по сигналу воспитателя бегут к своим елочкам, соотнося свой номер с количеством шишек на елке). Игра повторяется дважды. Елочки меняют местами.

«Прислушайтесь, кто это перескакивает с ветки на ветку. Кто бы это мог быть? (Белки.) А кто их видит? Вот они шалуньи! А все ли они одинаковые? Давайте проверим (дети находят двух одинаковых белочек). Дети, я нашла пакет. Что ж там написано? Может быть, это сорока потеряла? Это приглашение нам в Лесную школу. Но как же мы найдем дорогу к Лесной школе? Перед нами большой камень, а на нем надпись (рассматривают ее). Давайте прочтем. Налево пойдешь — в болото попадешь. Дети, где болото? (показывают). Направо пойдешь — к медведю попадешь. Назад пойдешь — дороги не найдешь, а вперед пойдешь — до Лесной школы дойдешь».

Задание для детей: «Повернитесь к самой высокой елочке лицом, сделайте три шага вперед, пять прыжков влево — вот и все дела».

«Дети! Вот и Лесная школа. Проходите, посмотрите, как тут зверята учатся».

Дети садятся за столы. На столе воспитателя цветок с разноцветными лепестками. На каждом лепестке написано задание.

Задания могут быть такими:

1. На столе у каждого цветок (нераскрашенный), стрелка показывает, где какой лепесток. Закрасьте красным карандашом второй лепесток справа, синим карандашом третий лепесток слева, зеленым — седьмой лепесток слева.

2. Математический кроссворд «Поймай рыбку».

3. Выложи из геометрических фигур лесного жителя (заготовки разных геометрических фигур, можно использовать игру «Танграм»).

Воспитатель: «Дети, может быть, пора домой? Понравилось вам в Лесной школе? (Слышится шум.) Дети, прислушайтесь, слышите? (Дети находят под елочкой белку с корзинкой орехов.)

За то, что дети старались, правильно отвечали, выполняли задания, бережно относились к лесу, к природе, лесные жители дарят им орехи. Дети идут к автобусу. Едут через лес с песней. В автобусе воспитатель спрашивает у детей, что им больше всего понравилось и запомнилось в путешествии.

Важным этапом в подготовке детей к вычислительной деятельности является ознакомление с количественным составом числа из единиц в пределах пяти. Дошкольники должны не только понимать то, что множество состоит из отдельных элементов, но и объяснять отношение числа к единице, т. е. выделять количество единиц в числе. Эта работа осуществляется в группах пятого и шестого годов жизни. При этом ребята осознают, что все числа составляются из единиц, количество единиц в разных числах различно, оно соответствует различному количеству элементов множества (совокупности).

Для ознакомления с количественным составом чисел используется раздаточный и демонстрационный материалы, в которых каждый элемент множества отличается от других элементов того же множества по форме, цвету, размеру, назначению. Однако материал подбирают так, чтобы можно было делать обобщение: всего четыре птички, пять овощей, три стульчика.

В этой работе нельзя спешить. При изучении количественного состава числа воспитатель подводит детей к пониманию единицы как отдельного элемента. В будущем эти знания будут основой формирования понятия о числе как показателе целой группы.

Сначала можно использовать однородный материал, каждый элемент которого отличается от других по размеру. Это будет удачным соединением двух математических задач в единый комплекс: уточнение знаний о величине, создание ряда величин и усвоение количественного состава числа из единиц (рис. 27). Потом берут разный по цвету материал, а позже — предметы одного типа или класса. Сначала дети просто считают элементы множества. При этом воспитатель обращает их внимание на количественный состав, предлагает называть все элементы множества. Например: «Сколько разных по размеру палочек нужно взять, чтобы составить группу из трех?» или «Сколько кружочков разного цвета нужно, чтобы составить это множество?» Возможны и другие варианты вопросов, заданий, к примеру, как по названному числу создать множество? Можно просто рисовать разные предметы по заданным числам. Каждый раз после выполнения задания дети рассказывают, как они создали данную совокупность (множество).

Рис. 27

Одно из занятий воспитатель может провести так.

Цель занятия: ознакомить детей с количественным составом чисел 2 и 3 из единиц; научить детей составлять группы, которые вмещают определенное количество предметов одного вида, но отличаются одна от другой качественными признаками (например, цветом).

Ход занятия: воспитатель раскладывает на верхнюю полочку наборного полотна 3 квадрата синего цвета и спрашивает: «Что это? Сколько квадратов?» Потом справа от синих квадратов размещает 3 квадрата разных цветов. И снова спрашивает детей: «Сколько квадратов в этой группе? Давайте все вместе посчитаем. Какого цвета квадраты? Сколько зеленых, красных, синих квадратов? Сколько всего квадратов? Правильно, в этой группе один квадрат зеленый, один синий и один красный, а всего три квадрата. Поровну ли квадратов в обеих группах?» Потом воспитатель вызывает одного ребенка и предлагает ему разместить квадраты разного цвета под синими, один под одним. Педагог спрашивает: «Сколько надо взять квадратов разного цвета, если я назову число четыре? Пять?»

Работа с раздаточным материалом: у детей карточка с двумя незаполненными полосками, три кружочка зеленого цвета и три — разных цветов, коробка с цветными карандашами.

Воспитатель предлагает на верхнюю полоску положить три зеленых кружочка, а на нижнюю — столько же кружочков разного цвета. «Сколько кружочков на верхней полоске? Сколько их на нижней? Сколько на ней кружочков каждого цвета?» На эти вопросы ребенок отвечает так: «У меня на нижней полоске один красный, один желтый, один синий кружочек, всего три кружочка разного цвета». Воспитатель спрашивает: «Одинаково ли количество кружочков на верхней и нижней полосках? Почему? Сколько нужно взять предметов разных цветов, если я назову число три?»

Далее детям предлагают взять два (четыре) карандаша разного цвета. Уточняют, сколько карандашей каждого цвета взяли и сколько всего карандашей.

В конце занятия делают вывод: «Сегодня мы создавали группы, в которых каждый элемент (предмет) отличался от других по цвету, и узнавали, сколько их нужно взять, чтобы получить всего два, три или четыре предмета».

Понимание состава числа — очень важный момент в подготовке детей к вычислительной деятельности. При обучении сложению и вычитанию чисел дети будут опираться на сочетало тельный закон сложения, т. е. приемы присчитывания и отсчи-тывания по единице: 4 + 2 = 4+1 + 1 = 6; 4 — 2 = 4-1-1=2.

Дошкольники могут быть также ознакомлены с количественным составом чисел из двух меньших, сначала в пределах первой пятерки, а потом в пределах десяти. Эта задача рассматривается как одна из наиболее важных в подготовке детей к вычислительной деятельности.

На протяжении всех лет обучения в детском саду в процессе выполнения упражнений с множествами постепенно детей подготавливают к усвоению состава числа из двух меньших чисел. Дети создают множества, объединяют небольшие группы вместе, делят множество на части, сравнивают их между собой. Все эти упражнения способствуют созданию существенной основы вычислительной деятельности. В дальнейшем это будет использоваться как один из приемов сложения (вычитания).

Следует подчеркнуть, что основной целью этих упражнений является не механическое запоминание таблиц, показывающих, из каких чисел составляется то или другое число, а понимание того, что число, так же как и множество, может быть образовано из частей, групп, других чисел, общее количество которых соответствует заданному множеству или числу. Оперируя конкретными множествами и числами, дети осознают отношения частей и целого. Части могут быть равными и неравными, большими или меньшими, однако всегда часть меньше целого. Приведем пример такого занятия.

Воспитатель ставит цель: ознакомить детей с количественным составом числа 4 (четыре).

«Дети, положите перед собой игрушки, — говорит воспитатель, — посчитайте их. Найдите карточку с соответствующей цифрой и положите ее под игрушками». Дети находят карточку, воспитатель проверяет, все ли дети правильно посчитали игрушки и взяли карточку с соответствующей цифрой. «Сколько у вас игрушек? Разложите игрушки на две цветные полоски бумаги». Дети выполняют задание. «Расскажи, Петя, как ты разложил четыре игрушки. Как Алена разложила их? А как разложил игрушки Саша? Как можно составить число "четыре"? Из каких меньших чисел складывается число "четыре"?»

Детям предлагается собрать игрушки и снова разложить их на две полоски, однако уже иначе, не так, как они были разложены раньше. Задание повторяют трижды. В процессе такого обучения дети усваивают, что число «четыре» составляется из: 3 и 1; 1 и 3; 2 и 2.

Дети могут объединить четыре геометрические фигуры из треугольников и четырехугольников, закрасить двумя цветами (всего было четыре фигуры, несколько из них красные, а остальные — зеленые). В качестве наглядности широко используются цифры. Например, дети раскладывают число «шесть» так: 5и1;4и2;ЗиЗ;2и4;1и5. При этом важно, чтобы воспитатель следил за ответами детей, в которых следует называть как само число, так и его части. «У меня было всего пять флажков, из них три флажка я отдал Ирине и два Володе. У Ирины и Володи вместе пять флажков. Итак, число пять можно разложить на три и два».

Воспитатель может ставить не конкретные, а проблемные вопросы. Например, на квадратную карточку в один ряд нельзя поставить семь матрешек. Он не дает конкретных указаний, как их разместить, а просто предлагает поставить на карточку семь матрешек. Дети самостоятельно решают разместить их в два ряда. При этом могут быть разные варианты: 5 и 2; 4 и 3; 6 и 1 и т. д.

Важным направлением в подготовке дошкольников к вычислительной деятельности является деление целого на части. С необходимостью деления множества, а также отдельного предмета на части дети неоднократно сталкиваются в быту, во время игр. Так, им не раз приходилось делить между собой игрушки, сладости (конфеты, печенье), покупать в магазине часть (половина, четверть) хлеба, делить грядки на отдельные участки и т. д.

Деление целого предмета или множества на несколько равных частей дает возможность познать ряд закономерностей в вещах и явлениях, способствует формированию логического мышления, развитию умения находить причинно-следственные связи, позволяет по результатам работы делать вывод об исходных данных и т. п.

Хотя дети очень рано практически делили множество на части (отдельные элементы), а также выполняли обратные действия — из отдельных элементов (частей) создавали целое множество, перед ними только ставилась задача определить количество элементов (фактически частей) в данном множестве и не рассматривались, а потому и не осознавались отношения части к целому.

Позднее, при ознакомлении детей с количественным составом чисел первого десятка, основное внимание уделялось именно пониманию детьми отношения единицы (как части) к числу (как целому).

Однако педагогический опыт показывает, что без целенаправленного обучения делению на части у детей не формируются четкие представления о целом и его частях, об отношениях части к целому, о связях между частями (равные и неравные) и т. п.

Процесс ознакомления детей с делением целого на части состоит из таких компонентов: деления множества на подмножества, практического деления предмета на части путем складывания, разрезания, на основе измерения и получения целого из частей, т. е. установления отношений части и целого. Сначала воспитатель показывает детям, что множества могут быть однородными и неоднородными, состоящими из двух-трех частей. Эти части можно объединять. Например, зайчиков и медведей дети воспринимают и считают как два самостоятельных множества (две совокупности, группы). «Сколько зайчиков? Сколько медведей? Чего больше? Чего меньше? Как одним словом можно назвать и зайчиков, и медведей? Правильно, это игрушки». Итак, воспитатель подводит детей к тому, что количество отдельных небольших множеств можно объединять в одно большое множество. Это последнее множество называется целым, а первичные (небольшие) множества — частями этого целого. Целое всегда больше, чем любая его часть (даже самая большая).

Дети рассматривают букет из разных цветов и устанавливают, что букет — это целое, ромашки и васильки — его части. Ромашек в букете больше, чем васильков, однако их меньше, чем всего цветов в букете. Такие упражнения воспитатель организует на двух-трех занятиях. Постепенно дети делают вывод, что целое множество можно разделить на части, что часть (даже самая большая) меньше, чем целое, а целое больше, чем часть.

Для закрепления и уточнения этих понятий используются дидактические игры и упражнения типа «лото». Дети группируют, классифицируют предметы по определенным признакам, свойствам.

Особое значение имеют упражнения в практическом делении целого предмета на равные (а потом и неравные) части и на основе этого — осознание понятий «половина», «одна вторая», «четверть», «три четвертых» и т. д. Работа эта сложная, поэтому не следует форсировать отдельные ее моменты (рис. 28). Занятия планируются в определенной последовательности и представляют собой систему, где каждое звено (конкретное занятие) тесно связано с предыдущим и последующим. Последовательность в обучении делению целого на части обоснована в работах Т. В. Тарунтаевой.

Первое занятие, посвященное ознакомлению с делением целого на части, следует рассматривать как вступительное. Основной целью этого занятия является создание условий для возникновения определенной заинтересованности детей самим процессом деления, понимания ими практической необходимости этих действий. Для повышения заинтересованности и познавательной активности детей упражнениям часто придают игровой характер. Например, к кукле Наташе в гости пришла ее подруга, у них одно яблоко на двоих. Часть детей может предложить отдать яблоко подруге, однако будут и такие, кто предложит разделить яблоко пополам, поровну. Воспитатель делит яблоко пополам. Закрепляются слова-понятия: «половина», «две части», «поровну». На этом же занятии можно предложить детям разлить поровну сок в две чашки. Следует подчеркнуть, что часть сока (половину) надо вылить в чашку Наташе, остальную (тоже половину) — ее подруге. Воспитатель обращает внимание детей на одинаковое количество сока в обеих чашках.

Детям предлагается самостоятельно поделить лист бумаги пополам, согнув и разрезав его. При этом воспитатель не спешит разрывать лист на части. Он сгибает его и уточняет, что образовались две половины, потом разгибает лист, чтобы дети увидели, что из двух половинок можно составить снова целое.

Обучение делению целого на части можно соединять с другими программными задачами (ознакомление с величиной, формой и др.). На втором и третьем занятиях знания и умения детей закрепляются. Дети делят предмет (круг, полоску, ленту) на две равные части и из частей создают целое. Так, воспитатель берет лист бумаги и обращается к детям с вопросом: «Сколько у меня листов?» — «Один», — отвечают дети. Потом воспитатель сгибает лист бумаги пополам. «Сколько теперь листов?» — «Два», — отвечают дети. «А если сложить так, как было, что мы будем иметь?» — «Будем иметь один лист». В этих упражнениях дети учатся объединять отдельные части в целое и, наоборот, делить целое на части. Потом воспитатель показывает детям принцип деления целого предмета на четыре равные части.

В качестве примера приведем одно из занятий.

Цель занятия: учить детей делить целое на две, четыре равные части, сгибая предмет пополам (на две части) и еще раз пополам (на четыре части); научить рассказывать о своих действиях и результате деления (сложив пополам, получим две равные части, половину целого, одну из двух частей); сформировать представления о том, что половина — это одна из двух равных частей целого, поскольку половинами называют обе равные части; показать отношения между целым и частью (целое больше, чем часть; часть меньше, чем целое).

Ход занятия: обращаясь к детям, воспитатель говорит: «У меня бумажная полоска, я складываю ее пополам, точно подравниваю концы, заглаживаю линию сгиба. На сколько частей я поделила полоску? Правильно, я сложила полоску один раз пополам и поделила ее на две равные части. Сегодня мы с вами будем делить предметы на равные части. Равные ли эти части?» Педагог складывает полоску, убеждая детей в том, что части равные. «Получили две равные части. Вот одна половина полоски, а вот другая половина», — показывает и объясняет воспитатель. «Что я сейчас показала? Сколько всего половинок? Что называется половинкой?» Педагог уточняет ответы детей: «Половина — это одна из двух равных частей целого. Половинами называются обе равные части. Сколько всего таких частей в целой полоске? Как я получила две равные части? Что больше: целая полоска или одна из двух равных частей? Что меньше? А если я сложу полоску вот так (не пополам), на сколько частей я поделю ее? Можно ли эти части назвать половинами? Почему?»

Складывают круг один раз пополам. Воспитатель спрашивает, что получилось? Детям предлагают рукой обвести каждую из половинок круга и задают вопрос: «Что больше (меньше): целый круг или одна из двух равных частей (половина его)?»

Другому ребенку можно предложить сложить круг пополам, а потом еще раз пополам. Он складывает круг два раза пополам, а педагог спрашивает детей: «Сколько раз был сложен круг пополам? Сколько получилось частей? Равные ли это части?» Ребенок обводит рукой каждую из четырех частей.

Воспитатель спрашивает: «Что больше (меньше): одна из четырех частей целого или целый круг? Сколько образовалось частей? А сколько теперь получилось, когда мы сложили круг дважды пополам?»

Во второй части занятия дети работают с раздаточным материалом. У каждого ребенка по два прямоугольника из бумаги. Детям предлагают сложить прямоугольник один раз пополам. Педагог напоминает, что складывать нужно так, чтобы стороны и углы совпадали. Детям задают вопросы: «Что мы сделали? Что мы получили? Равные ли это части? Как называются обе равные части целого? Что больше (меньше) — половина целого или целый прямоугольник?»

Педагог предлагает второй прямоугольник дважды сложить пополам и спрашивает: «Что мы сделали? Что получили?» Дети обводят пальцем каждую из четырех частей.

В конце занятия воспитатель спрашивает: «Что вы научились делать? Если предмет сложить один раз пополам, то сколько частей будем иметь? Какие это части? Как они называются? Сколько раз надо сложить предмет пополам, чтобы получить четыре равные части?»

Дети должны понимать, как части относятся к целому. Для этого воспитатель раздает детям два листа бумаги одинаковые по размеру и форме. Один лист дети делят, второй — остается целым. После того как дети разделят лист на четыре части, они показывают по просьбе воспитателя одну четвертую, две, три четвертых листа, а потом — целый лист. «Как можно сравнить целый лист бумаги с его частями, которые получили в результате деления?» — спрашивает воспитатель. Дети на целый лист накладывают часть и убеждаются, что целое больше, чем часть, а часть меньше целого.

На последующих занятиях знания детей уточняются и обобщаются. Так, дети осознают, что единицы времени можно условно поделить на части: части суток, времена года, дни недели и др. Дошкольники учатся делить на части не только разъединением, сгибанием, разрезанием, но и на основе измерения.

Величины протяженности можно разделить на части, измерив их, т. е. сравнив с определенной величиной, которую принимают за единицу измерения. Ж. Пиаже утверждает, что измерение включает две логические операции: первая (процесс деления) — дает возможность ребенку понять, что целое состоит из определенного количества сложенных вместе частей; другая — это операции смещения или замещения, которые дают возможность ему присоединить одну часть к другой и так создавать систему единиц.

К измерению при делении целого на части, как правило, обращаемся тогда, когда нельзя сгибать предмет. Например, воспитатель рисует на доске продолговатый невысокий прямоугольник и предлагает детям подумать, как можно разделить его на четыре равные части. (На столе воспитателя лежит шнур, по длине равный одной стороне прямоугольника.)

С помощью наводящих вопросов (Чем можно измерить прямоугольник? Как можно разделить шнур? Какую следует выбрать меру?) дети должны прийти к рещению: необходимо шнуром измерить длину прямоугольника, убедившись, что он равен длине шнура, сложить шнур пополам и еще раз пополам. Сложенный шнур отложить четыре раза на прямоугольнике, сделать мелом отметки. Потом делают обобщение: «Мы разделили прямоугольник, изображенный на доске, на четыре равные части, каждая из этих частей называется одной четвертой».

Воспитатель постоянно побуждает детей словесно описывать способ и результат деления. Дети устанавливают связь между действием и его результатом: разделили предмет пополам (дважды пополам) — получили две (четыре) равные части, объединили их вместе — получили целый предмет.

На просьбу воспитателя дети находят одну из двух частей (половинок), одну, две, три из четырех частей. Воспитателю следует помнить, что знания и умения детей делить предмет на части целесообразно использовать для расширения представлений о размерах геометрических фигур, пространстве, времени. Так, дети делят квадрат, прямоугольник, ромб на равные части, получают при этом разные геометрические фигуры. Иногда детям дают конкретные задания: «Как следует сложить квадрат, чтобы получить два равных треугольника (прямоугольника)?»

Знания о делении целого на части и сложении целого из частей, полученные детьми на занятиях по математике, закрепляются в изобразительной деятельности, конструировании и т. д. Понимание детьми отношения части и целого в дальнейшем будет использоваться при обучении их решению арифметических задач с использованием схем, моделей.

§ 2. Обучение детей решению арифметических задач и примеров

В обучении решению арифметических задач условно можно выделить два взаимосвязанных этапа: ознакомление со структурой задачи, способами решения ее и обучение приемам вычислений (А. М. Леушина). При этом дети в значительной степени осознают содержание арифметической задачи, учатся формулировать арифметические действия, аргументировать выбор действия, овладевают приемами сложения и вычитания.

Как отмечается в современных исследованиях, арифметическая задача — это простейшая сугубо математическая форма отображения реальных ситуаций, которые одновременно близки и понятны детям и с которыми они ежедневно сталкиваются. Есть все основания считать, что это до некоторой степени объясняет достаточно высокий интерес детей к решению арифметических задач (Л. П. Клюева, Н. И. Непомнящая, Р. Л. Непомнящая, А. А. Столяр и др.).

Однако, несмотря на то, что вычислительная деятельность вызывает интерес у детей, а самой проблеме отводится значительное место в программе обучения в детском саду, многие старшие дошкольники и даже младшие школьники (учащиеся 1—3-х классов) испытывают значительные трудности именно в решении арифметических задач. Около 20 % детей седьмого года жизни испытывают трудности в выборе арифметического действия, аргументации его. Эти дети, решая арифметические задачи, в выборе арифметического действия ориентируются в основном на внешние несущественные «псевдоматематические» связи и отношения между числовыми данными в условии задачи, а также между условием и вопросом задачи. Это проявляется прежде всего в непонимании ими обобщенного содержания понятий: «условие», «вопрос», «действие», а также знаков (+,-,=), в неумении правильно выбрать необходимый знак, арифметическое действие в том случае, когда заданное в условии конкретное отображение не соответствует арифметическому действию (прилетели, добавили, дороже — сложение; улетели, взяли, дешевле — вычитание). Более того, иногда отдельные воспитатели ориентируют детей именно на эти псевдоматематические связи. В таких ситуациях вычислительная деятельность формируется недостаточно осознанно (М. А. Бантова, Н. И. Моро, А. М. Пышкало, Е. А. Тарханова и др.).

Очевидно, основная причина невысокого уровня знаний детей заключается в самой сути того, что отличает вычислительную деятельность от счетной. Во время счета ребенок имеет дело с конкретными множествами (предметы, звуки, движения). Он видит, слышит, чувствует эти множества, имеет возможность практически действовать с ним (накладывать, прикладывать, непосредственно сравнивать). Что же касается вычислительной деятельности, то она связана с числами. А числа — это абстрактные понятия. Вычислительная деятельность опирается на разные арифметические действия, которые также являются обобщенными, абстрагированными операциями с множествами.

Понимание самой простой арифметической задачи требует анализа ее содержания, выделения ее числовых данных, понимания отношений между ними и, конечно, самих действий, которые ребенок должен выполнить.

Дошкольникам особенно трудно понимать вопрос задачи, который отражает математическую сущность действий, хотя именно вопрос задачи направляет внимание ребенка на отношения между числовыми данными.

Обучение дошкольников решению арифметических задач подводит их к пониманию содержания арифметических действий (добавили — сложили, уменьшили — вычли). Это также возможно на определенном уровне развития анали-тико-синтетической деятельности ребенка. Для того чтобы дети усвоили элементарные приемы вычислительной деятельности, необходима предварительная работа, направленная на овладение знаниями об отношениях между смежными числами натурального ряда, о составе числа, счете группами и т. д.

Особое значение в формировании вычислительной деятельности приобретают четкая системность и поэтапность в работе.

шить сложением (к трем прибавить один)». Дети делают вывод: «К кормушке прилетело четыре птички».

«В магазине было пять телевизоров, один из них продали. Сколько телевизоров осталось в магазине?» Решая эту задачу, воспитатель учит аргументировать свои действия так: было пять телевизоров, один продали, следовательно, их осталось на один меньше. Чтобы узнать, сколько телевизоров осталось, нужно от пяти отнять один и получится четыре.

Воспитатель формирует у детей представления о действиях сложения и вычитания, одновременно знакомит их со знаками «+» (прибавить, сложить), «-» (отнять, вычесть) и «=» (равно, получится).

Таким образом, ребенок постепенно от действий с конкретными множествами переходит к действиям с числами, т. е. решает арифметическую задачу.

Уже на втором-третьем занятии наряду с задачами-драматизациями и задачами-иллюстрациями можно предлагать детям решать устные (текстовые) задачи. Этот этап работы тесно связан с использованием карточек с цифрами и знаками. Особенно полезны упражнения детей в самостоятельном составлении ими аналогичных задач. При этом воспитатель должен помнить, что основное заключается в нахождении не столько ответа (названия числа), сколько пути к нему. Так, дети решают задачу: «На участке детского сада в первый день посадили четыре дерева, а на следующий — еще одно дерево. Сколько деревьев посадили за два дня?» Воспитатель учит ребенка мыслить во время решения задачи. Он спрашивает детей: «О чем идет речь в задаче?» — «О том, что на площадке детского сада посадили деревья». — «Сколько деревьев посадили в первый день?» — «Четыре». — «Сколько деревьев посадили во второй день?» — «Одно дерево». — «А что спрашивается в задаче?» — «Сколько всего деревьев посадили на участке за два дня?» — «Как можно узнать, сколько деревьев посадили на участке?» — «К четырем прибавить один».

Воспитатель подводит детей к такому обобщению: чтобы к числу прибавить один (единицу), не надо пересчитывать все предметы, надо просто назвать следующее число. Когда к четырем прибавляем один, мы просто называем следующее за числом «четыре» число «пять». А когда надо вычесть, отнять один, следует назвать предыдущее число, стоящее перед ним. Таким образом, опираясь на имеющиеся у детей знания, воспитатель вооружает их приемами присчитывания (прибавления) к числу единицы и вычитания единицы.

Ниже предлагаются несколько задач первого типа.

1. На ветке сидело пять воробьев. К ним прилетел еще один воробей. Сколько птичек стало на ветке?

2. Таня и Вова помогали маме. Таня почистила три картофелины, а Вова — одну морковку. Сколько овощей почистили дети ?

3. На одной клумбе расцвело пять тюльпанов, на другой — один пион. Сколько цветов расцвело на обеих клумбах вместе?

Если с первых шагов обучения дети осознают необходимость, значение анализа простых задач, то позднее это поможет им в решении сложных математических задач. Активность умственной деятельности ребенка во многом зависит от умения воспитателя ставить вопросы, побуждать его мыслить. Так, воспитатель спрашивает у детей: «О чем следует узнать в задаче? Как можно ответить на вопрос? Почему ты считаешь, что надо сложить? Как ты прибавишь к четырем единицу?»

Следующий этап в работе связан с ознакомлением детей с новыми задачами (задачами второго типа) на отношения «больше — меньше на несколько единиц». В этих задачах арифметические действия подсказаны в самом условии задачи. Отношение «больше на единицу» требует от ребенка увеличения, присчитывания, сложения. Выражение «больше (меньше) на единицу» дети уже усвоили в группах пятого-шестого годов жизни, сравнивая смежные числа. При этом акцентировать внимание детей на отдельных словах «больше», «меньше» и тем более ориентировать их на выбор арифметического действия только в зависимости от этих слов не рекомендуется. Позднее, при решении «непрямых, косвенных» задач возникает потребность переучивать детей, а это намного сложнее, чем научить правильно делать выбор арифметического действия.

Ниже даются примерные задачи второго типа.

1. В Машину чашку с чаем мама положила две ложки сахара, а в большую чашку папы — на одну ложку больше. Сколько сахара положила мама в чашку папы?

2. На станции стояли четыре пассажирских поезда, а товарных — на один меньше. Сколько товарных поездов было на станции?

3. Дети собрали на огороде три ящика помидоров, а огурцов — на один меньше. Сколько ящиков огурцов собрали дети ?

В начале обучения дошкольникам предлагаются только . прямые задачи, в них и условие, и вопрос словно подсказывают, какое действие следует выполнить: сложение или вычитание.

Шестилетним детям необходимо предлагать сравнивать задачи разных типов, хотя это для них является сложным делом, поскольку дети не видят текста, а обе задачи необходимо удерживать в памяти. Основным критерием сравнения является вопрос. В вопросе подчеркивается, что нужно определить только количество второго множества, которое больше (меньше) на один, или общее количество (остаток, разницу). Арифметические действия одинаковые, а цель разная. Именно это и способствует развитию мышления детей. Воспитатель постепенно подводит их к этому пониманию.

Еще более важным и ответственным этапом в обучении детей решению арифметических задач является ознакомление их с третьим типом задач — на разностное сравнение чисел. Задачи этого типа решаются только вычитанием. При ознакомлении детей с этим типом задач их внимание обращается на основное — вопрос в задаче. Вопрос начинается со слов «на сколько?», т. е. всегда необходимо определить разницу, разностные отношения между числовыми данными. Воспитатель учит детей понимать отношения зависимости между числовыми данными. Анализ задачи должен быть более детальным. Во время анализа дети должны идти от вопроса к условию задачи. Следует объяснить, что в выборе арифметического действия основным всегда является вопрос задачи, от его содержания и формулировки зависит решение. Поэтому следует начинать с анализа вопроса. Сначала детям предлагают задачу без вопроса. Например: «На прогулку дети взяли четыре больших мяча и один маленький. Что это такое? Можно ли это назвать арифметической задачей?» — обращается воспитатель к детям. «Нет, это только условие задачи», — отвечают дети. «А теперь поставьте сами вопрос к этой задаче».

Следует подвести детей к тому, что к этому условию задачи можно поставить два вопроса:

1. Сколько всего мячей взяли на прогулку ?

2. На сколько больше взяли больших мячей, чем маленьких?

В соответствии с первым вопросом следует выполнить сложение, а в соответствии со вторым — вычитание. Это убеждает детей в том, что анализ задачи следует начинать с вопроса. Ход рассуждений может быть таким: чтобы узнать, сколько всего мячей взяли дети на прогулку, надо знать, сколько взяли больших и маленьких отдельно и найти их общее количество. Во втором случае надо найти, на сколько больше одних мячей, чем других, т. е. определить разницу. Разницу всегда находят вычитанием: от большего числа вычитают меньшее.

Итак, задачи третьего типа помогают воспитателю закрепить знания о структуре задачи и способствуют развитию у детей умения различать и находить соответствующее арифметическое действие.

На этих занятиях не механически, а более или менее осознанно дети выполняют действия, аргументируют выбор арифметического действия. Задачи этого типа также следует сравнивать с задачами первого и второго типов.

Вычислительная деятельность в дошкольном возрасте предполагает овладение детьми арифметическими действиями сложения и вычитания, относящимися к операционной системе математики и подчиняющимися особым закономерностям операционных действий.

Чтобы дети лучше запоминали числовые данные, используются карточки с цифрами, а несколько позже и знаками.

Вначале числовые данные в задачах лучше ограничить первыми пятью числами натурального ряда. Дети в таких случаях, как правило, легко находят ответ. Основная цель этих занятий — научить анализировать задачу, ее структуру, понимать математическую сущность. Дети учатся выделять структурные компоненты задачи, числовые данные, аргументировать арифметические действия и т. д.

Особое внимание в этот период следует уделить обучению детей составлению и решению задач по иллюстрациям и числовым примерам.

Так, воспитатель обращается к детям: «Сейчас мы с вами будем составлять и решать задачи по картине». При этом привлекается внимание детей к картине, на которой изображена речка, на берегу играют пять детей, а двое детей в лодках плывут к берегу. Предлагается рассмотреть картину и ответить на вопрос: «Что нарисовано на картине? О чем хотел рассказать художник? Где играют дети? Сколько детей на берегу? Что делают эти дети? (Показывает на детей в лодке.) Сколько их? Когда они выйдут на берег, их станет больше или меньше на берегу? Составьте задачу по этой картинке».

Воспитатель вызывает двух-трех детей и выслушивает составленные ими задачи. Потом выбирает наиболее удачную задачу, и все вместе решают ее. «О чем идет речь в задаче? Сколько детей играло на берегу? Сколько детей приплыло в лодке? Что надо сделать, чтобы решить задачу? Как к числу "пять" можно прибавить число "два"?» — 5+1 + 1=7.

Воспитатель следит за тем, чтобы дети правильно формулировали арифметическое действие и объясняли прием присчитывания по единице.

Аналогично составляют и решают другие задачи. В конце занятия воспитатель спрашивает, чем занимались дети, уточняет их ответы: «Правильно, мы учились составлять и решать задачи, выбирать соответствующее действие, прибавлять и вычитать число 2 путем присчитывания и отсчитывания по единице».

Примерно так же дети составляют и решают задачи по числовому примеру. Составление и решение арифметических задач по числовому примеру требует еще более сложной умственной деятельности, поскольку содержание задачи не может быть произвольным, а опирается на числовой пример как на схему. В начале обращается внимание детей на само действие. В соответствии с действием (сложение или вычитание) составляется условие и вопрос в задаче. Можно усложнить цель — не по каждому числовому примеру составляется новая задача, а иногда по одному и тому же примеру составляется несколько задач разных типов. Это, естественно, значительно сложнее, зато наиболее эффективно для умственного развития ребенка.

Так, по числовому примеру 4 + 2 дети составляют и решают две задачи: первую — на нахождение суммы (сколько всего), вторую — на отношение «больше на несколько единиц» (на 2). При этом ребенок должен осознавать отношения и зависимости между числовыми данными.

На основе примера 4 — 2 дети должны составить три задачи: первого, второго и третьего типа. Сначала воспитатель помогает детям вопросами, предложениями: «Сейчас мы составим задачу, где будут слова "на 2 меньше", а потом по этому самому примеру составим задачу, где не будет таких слов, и нужно будет определить разницу в количестве (сколько осталось)». А потом воспитатель спрашивает: «А можно ли на основе этого примера составить новую, совсем другую задачу?» Если дети сами не могут сориентироваться, то воспитатель подсказывает им: «Составьте задачу, где вопрос начинался бы со слов "на сколько больше (меньше)"».

Такие занятия с детьми помогают им понять основное: арифметические задачи по своему содержанию могут быть разными, а математическое выражение (решение) — одинаковым. В этот период обучения большое значение имеет «развернутый» способ вычисления, активизирующий умственную деятельность ребенка. Накануне воспитатель повторяет с детьми количественный состав числа из единиц и предлагает прибавлять число 2 не сразу, а присчитывать сначала 1, потом еще 1. Включение развернутого способа в вычислительную деятельность обеспечивает развитие логического мышления, способствуя при этом усвоению сущности этой деятельности.

После того как у детей сформируются представления и некоторые понятия об арифметической задаче, отношениях между числовыми данными, между условием и вопросом задачи, можно переходить к следующему этапу в обучении — ознакомлению их с преобразованием прямых задач в обратные. Это даст возможность еще глубже усвоить математическую формулу задачи, специфику каждого типа задач. Воспитатель объясняет детям, что каждую простую арифметическую задачу можно преобразовать в новую, если искомое задачи взять за одно из данных новой задачи, а одно из данных преобразованной задачи считать искомым в новой задаче.

Такие задачи, где одно из данных первой является искомым во второй, а искомое второй задачи входит в данные первой, называются взаимно-обратными задачами.

Итак, из каждой прямой арифметической задачи путем преобразования можно сделать 2 обратные задачи.

Если дети при решении задач с первых шагов будут ориентироваться на существенные связи и отношения, то слова «стало», осталось» и другие не дезориентируют их. Независимо от этих слов дети правильно выбирают арифметическое действие. Более того, именно на этом этапе педагог должен обратить внимание детей на независимость выбора решения задачи от отдельных слов и выражений.

Ознакомление с прямыми и обратными задачами повышает познавательную активность детей, развивает у них способность логически мыслить. При решении любых задач дети должны исходить из вопроса задачи. Взрослый учит ребенка аргументировать свои действия, в данном случае аргументировать выбор арифметического действия. Ход мыслей при этом может идти по схеме: «Чтобы узнать... нам необходимо ... потому что ...» и т. д.

В группе седьмого года жизни детей можно будет ознакомить с новыми приемами вычислений — на основе счета группами. Дети, научившись считать парами, тройками, могут сразу прибавлять число 2, а потом и 3. Однако спешить с этим не следует. Важно, чтобы у детей сформировались прочные, достаточно осознанные умения и навыки присчитывания и отсчитывания по единице.

В современных исследованиях по методике математического развития есть некоторые рекомендации к формированию у детей обобщенных способов решения арифметических задач. Одним из таких способов является решение задач по схеме-формуле. Это положение обосновано и экспериментально проверено в исследованиях Н. И. Непомнящей, Л. П. Клюевой, Е. А. Тархановой, Р. Л. Непомнящей. Предложенная авторами формула является схематическим изображением отношения части и целого. Работой, предшествующей этому этапу, является практическое деление предмета (круга, квадрата, полоски бумаги) на части. То, что дети делают практически, воспитатель потом изображает в схеме-формуле (рис. 29). При этом он рассуждает так: «Если круг поделить пополам, то получится две половины. Если эти половины сложить, то образуется снова целый круг. Если от целого круга отнять одну часть, то получим другую часть этого круга. А теперь попробуем, прежде чем решать некоторые задачи (подчеркивается слово «некоторые»), определить, на что ориентирует нас вопрос в задаче: на нахождение части или целого. Неизвестное целое всегда находится сложением частей, а часть целого — вычитанием».

Рис. 29

Например: «Для составления узора девочка взяла 4 синих и 3 красных кружочка. Из скольких кружочков девочка составила узор?» Дети рассуждают так: «По условию задачи рисунок составлен из синих и красных кружочков. Это части. Надо узнать, из скольких кружочков составлен узор. Это целое. Целое всегда находится сложением частей (4 + 3 =)».

Для детей высокого уровня интеллектуального развития можно предлагать проблемные (косвенные) задачи. Ознакомление детей седьмого года жизни с задачами такого типа возможно и имеет большое значение для их умственного развития. На этой основе в дальнейшем будут формироваться умения осуществлять анализ арифметической задачи, объяснять ход решения, выбор арифметического действия. Косвенные задачи отличаются тем, что в них оба числа характеризуют один и тот же объект, а вопрос направлен на определение количества другого объекта. Трудности в решении таких задач определяются самой структурой и содержанием задачи. Как правило, в этих задачах есть слова, которые дезориентируют ребенка при выборе арифметического действия. Несмотря на то, что в условии задачи есть слова «больше», «прилетели», «старше» и др., следует выполнять обратное этому действие — вычитание. Для того чтобы ребенок правильно сориентировался, воспитатель учит его более тщательно анализировать задачу. Чтобы выбрать арифметическое действие, ребенок должен уметь рассуждать, логически мыслить. Пример косвенной задачи: «В корзине лежало 5 грибков, что на 2 грибочка больше, чем их лежит на столе. Сколько грибочков лежит на столе?» Часто дети, ориентируясь на несущественные признаки, а именно на отдельные слова (в данном случае слово «больше»), спешат выполнить действие сложения, допуская грубую математическую ошибку.

Воспитатель подчеркивает особенности таких задач, предлагая вместе порассуждать так: «В условии задачи оба числа характеризуют один объект — количество грибочков в корзине. В ней 5 грибочков и в ней же на 2 больше, чем на столе. Необходимо узнать, сколько грибочков на столе. Если в корзине на 2 больше, то на столе лежит на 2 грибочка меньше. Чтобы узнать, сколько их на столе, следует из 5 вычесть 2 (5-2 = ?)».

При составлении задач воспитатель должен помнить о том, что важно разнообразить формулировки в условии и вопросе задачи: насколько выше, тяжелее, дороже и т. д.

Наряду с решением арифметических задач детям предлагаются арифметические примеры, которые способствуют закреплению навыков вычислительной деятельности. При этом детей знакомят с некоторыми законами сложения.

Известно, что всегда легче выполнить сложение, если второе слагаемое меньше первого. Однако не всегда именно так предлагается в примере, может быть и наоборот — первое слагаемое меньше, а второе больше (например, 2 + 1 = 1). В таком случае есть необходимость познакомить детей с пе-реместительным законом сложения: 2 + 7 = 7 + 2. Сначала воспитатель показывает это на конкретных примерах, например на брусках. При этом он актуализирует знания детей о составе числа из двух меньших. Дети хорошо усвоили, что число 9 можно образовать (составить) из двух меньших чисел: 2 и 7 или, что тоже самое, 7 и 2. На основе многочисленных примеров с наглядным материалом дети делают вывод-обобщение: действие сложения выполнять легче, если к большему числу прибавить меньшее, а результат не изменится, если переставить эти числа, поменять их местами.

На протяжении учебного года достаточно провести 10—12 занятий по обучению детей решению арифметических задач и примеров (табл. 2).

Ниже представляем программное содержание этих занятий.

1. Ознакомить с понятием «задача». Условие и вопрос в задаче. Задачи-драматизации, задачи-иллюстрации первого типа. Числа в пределах 5, одно из чисел — 1.

2. Закрепить понятие о структуре задачи. Решение задач с помощью картинок. Задачи второго типа. Знаки «+», «—», «=». Устные задачи. Числа в пределах 5, одно из чисел — 1. Обучение приемам вычисления на основе понимания отношений между смежными числами.

3. Сравнение задач первого и второго типа. Самостоятельное составление задач по картинке, по числовым данным и по условию.

4. Задачи на сложение и вычитание чисел более 1 (2 = 1 + 1; 3=1 + 1 + 1). Задачи третьего типа — на отношения между числами. Сравнение задач всех трех типов.

5. Взаимно-обратные задачи. Преобразование арифметических задач. Составление задач по числовому примеру 4 + 2; 4 - 2 всех трех типов.

6. Ознакомление с арифметическими примерами. Формирование навыков вычислительной деятельности. Составление задач по числовому примеру.

7. Решение задач в пределах 10 на основании состава числа из двух меньших чисел. Умение аргументировать свои действия. Алгоритм рассуждения при решении задачи — от вопроса к условию.

8. Решение задач по формуле. Логика рассуждения от вопроса к условию задачи.

9. Косвенные задачи. Проблемные задачи. Решение арифметических примеров.

10. Нестандартные задачи (в стихотворной форме, шутки и др.). Связь с измерением и временными отношениями.

11. Решение задач на сложение с опорой на переместитель-ный закон сложения. Решение задач по формуле.

12. Решение задач первого, второго и третьего типа. Логика рассуждения при решении задач. Графическое изображение содержания задачи.

Итак, программа воспитания в детском саду и методика математического развития большое внимание уделяют проблеме обучения вычислительной деятельности. Однако только в результате целенаправленной систематической работы у детей формируются достаточно прочные и осознанные знания и навыки в вычислительной деятельности, а это является важной предпосылкой в овладении математикой в школе.

Вопросы и задания

1. Раскройте специфику счетной и вычислительной деятельностей, обоснуйте связь счета и вычисления.

2. Проанализируйте несколько альтернативных программ (или программ разных лет издания) с точки зрения их ориентировки на уровень интеллектуального развития каждого ребенка.

3. Составьте перспективный план на один квартал по ознакомлению старших дошкольников с вычислительной деятельностью. На его примере докажите развивающий характер обучения.

4. Каково ваше отношение к методике поэтапного развития вычислительной деятельности у детей дошкольного возраста?

Планирование работы по методике формирования элементарных математических представлений

Планирование работы по методике формирования элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста осуществляется преподавателями педагогического училища (колледжа) как календарно-тематическое и поурочное.

Календарно-тематический рабочий план составляется в соответствии с учебным планом училища (колледжа) и на основании программы курса. В нем предусматривается реализация программных задач прежде всего на занятиях под руководством преподавателя, и только отдельные темы курса выносятся на самостоятельное изучение учащимися. Календарные планы обсуждаются и утверждаются на заседании предметно-методической (цикловой) комиссии.

В календарном плане указывается тема, формы и методы обучения, тип урока, дидактические и наглядные пособия,

технические средства обучения и межпредметные связи. Особое внимание уделяется методике домашних заданий. В календарных планах ориентировочно указывается время для самостоятельного изучения учащимися нового материала и для повторения. Это обязывает преподавателя конкретизировать домашнее задание, не перегружать учащихся дополнительными, подчас противоречивыми, сведениями.

Календарно-тематический план является основным руководством в работе преподавателя с учащимися, в нем четко выражена комплексность в решении основных задач, перспектива и целенаправленность в работе.

На основе календарного плана преподаватель разрабатывает поурочные планы, в которых выделяется тема, цель, тип, структура и содержание урока. Урок является структурно и логически завершенной частью учебного процесса. На каждый урок материал дозируется.

При подготовке к каждому уроку преподаватель должен четко представлять имеющийся уровень подготовки учащихся, их знания по педагогике, психологии, данные педагогической практики. От этого зависит форма, методы и конкретные приемы изложения нового материала и его закрепление. Изучение почти каждой темы начинается с выявления психофизиологических особенностей детей каждого возрастного периода. С этой целью преподаватель накануне дает задание учащимся повторить соответствующие темы из курса психологии и педагогики, во время педагогической практики пронаблюдать за поведением детей в различных видах деятельности: игре, труде, учении.

В последние годы много внимания уделяется вопросам планирования, непосредственно связанным с НОТ преподавателей педагогического училища (колледжа). Так, широкое внедрение нашли технологические карты (планы) учебных дисциплин и учебных занятий, структурно-логические схемы лекций, уроков.

Технологическая карта (ТК) составляется на каждое занятие вместо поурочного плана. Она представлена в виде схемы урока и может иметь следующий вид:

1. Предмет: «Методика формирования элементарных математических представлений у детей».

2. Тема: «Методические требования к построению и проведению занятий в разных возрастных группах детского сада».

3. Дата: 17.10.99 г.

4. Цели: учебная — сформировать у учащихся знания о методике организации занятий по математике в разных возрастных группах; воспитательная — продолжать воспитывать интерес к педагогической профессии.

5. Межпредметные связи: обеспечиваемые — углубление знаний учащихся по педагогике по теме «Обучение в детском саду»; обеспечивающие — привлечение знаний учащихся из курсов «Анатомия» и «Психология» с целью аргументации длительности, периодичности, необходимости дробной подачи знаний в обучении дошкольников.

6. Обеспечение занятия: наглядные пособия — таблицы, схемы, демонстрационный и раздаточный материал, используемый на занятиях в детском саду; технические средства обучения — магнитофон, записи фрагментов занятий.

7. Литература: основная (перечисляется с указанием страниц), дополнительная (перечисляется).

8. Структура занятия:

При подготовке к занятию преподавателю важно продумать каждый элемент, осознать его место и значение в общей структуре урока. С этой целью преподаватель нередко использует структурно-логические схемы (СЛС) конкретной темы (лекции). В схемах отражаются основные понятия, категории, ведущие идеи, логика изложения (план) знания, умения, которые должны усвоить учащиеся на данном занятии, проблемные вопросы или проблемные ситуации, межпредметные связи, наглядные пособия, ТСО, задания учащимся для самостоятельной работы. Структурно-логическая схема помогает преподавателю, особенно начинающему, глубже осознать место данной темы в курсе, а также в системе всех изучаемых дисциплин в целом.

Приложения

Разноуровневые программы

Список рекомендуемой литературы

1. Ананьев, Б. Г. Особенности восприятия пространства у детей / Б. Г. Ананьев, Е. Ф. Рыбалко. — М.: Просвещение, 1964.

2. Бабанский, Ю. К. Оптимизация процесса обучения: общедидактический аспект / Ю. К. Бабанский. — М, 1977.

3. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в начальных классах / М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, А. М. Полевщикова. — М.,1984.

4. Бардин, К. В. Как научить детей учиться / К. В. Бардин. — М., 1987.

5. Венгер, Л. А. Готов ли Ваш ребенок к школе? / Л. А. Венгер, А. Л. Вен-гер. — М., 1994.

6. Виноградова, Я. Ф. Перспективы развития общего начального образования в России / Н. Ф. Виноградова, Л. Е. Журова, А. М. Пышкало. — М., 1994.

7. Выбор методов обучения в средней школе / Под ред. Ю. К. Бабанско-го. -М., 1981.

8. Гегель, Г. Наука логики / Г. Гегель. — М.: Мысль, 1996.

9. Государственные стандарты в системе общего образования: (теория и практика) / Под ред. В. С. Леднева, Н. Д. Никандрова, М. В. Рыжакова. — М., 2002.

10. Грин, Р. Введение в мир числа / Р. Грин, В. Лаксон. — М., 1982. Давыдов, В. В. Виды обобщения обучения / В. В. Давыдов. — М., 1972. Давыдов, В. В. Проблемы развивающего обучения / В. В. Давыдов. — М., 1986.

11. Дидактические игры и упражнения по сенсорному воспитанию дошкольников / Под ред. Л. А. Венгера. — М., 1978.

12. Дощицина, 3. В. Оценка степени готовности детей к обучению в школе в условиях разноуровневой дифференциации / 3. В. Дощицина. — М., 1994.

13. Ерофеева, Т. И. Дети у истоков математики: Спецкурс: Методика обучения математике / Т. И. Ерофеева, В. П. Новикова, Л. Н. Павлова. — М.: АПО, 1994.

14. Ерофеева, Т. И. Математика для дошкольников / Т. И. Ерофеева и др. -М.,1994.

15. Житомирский, В. Г. Геометрия для малышей / В. Г. Житомирский, Л. Н. Шеврин. - М., 1978.

16. Занимательные игры для детей от 3 до 6 лет / Под ред. О. М. Дьяченко, Е. П. Агаевой. — М.: Просвещение, 1991.

17. Запорожец, А. В. Избранные психологические труды: В 2 т. / А. В. Запорожец. - М., 1986. - Т. 2.

18. Ибука Масару. После трех уже поздно / Масару Ибука; Пер. с анг. М. и Н. Перовых.-М., 1991.

19. Инновационные методы в профессионально-педагогическом образовании. — М., 1996.

20. «Истоки»: Базисная программа развития ребенка-дошкольника. — М., 1995.

21. Колесникова, Е. В. Развитие математического мышления у детей 5—7 лет / Е. В. Колесникова. — М., 1996.

22. Корнеева, Г. Современные подходы к обучению дошкольников математике / Г. Корнева, Е. Година// Дошкольное воспитание. — 2000. — № 3.

23. Корнеева, Г. А. Роль предметных действий в формировании понятия числа у дошкольников / Г. А. Корнеева // Вопросы психологии. — 1978. — №2.

24. Красницкая, Г. А. Самостоятельные работы учащихся педучилищ по курсу «Методика формирования элементарных математических представлений» / Г. А. Красницкая. — М.: Просвещение, — 1986.

25. Кудрявцев, В. Г. Проектирование психологических условий преемственности дошкольного и начального образования / В. Г. Кудрявцева // Вопросы психологии. — 1998. — № 5

26. Леушина, А. М. Формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста/А. М. Леушина. — М., 1974.

27. Личностно-ориентированная дидактика // Психология воспитания / Под ред. В. А. Петровского. — М.: Аспект Пресс, — 1995.

28. Математика до школы: Пособие для воспитателей детских садов и родителей/А. А. Смоленцева, О. В. Пустовой, 3. А. Михайлова, Р. Л. Непомнящая. — СПб.: Акцидент, 1998. — (Библиотека программы «Детство»).

29. Математическая подготовка детей в дошкольном учреждении / Под ред. В. В. Даниловой. — М., 1988.

30. Метлина, Л. С. Математика в детском саду/Л. С. Метлина. — М., 1984.

31. Минскин, Е. М. От игры к знаниям / Е. М. Минский. — М., 1982.

32. Михайлова, 3. А. Игровые занимательные задачи для дошкольников / 3. А. Михайлова. — М., 1985.

33. Моро, М. И. Методика обучения математике в I—III классах / М. И. Моро, А. М. Пышкало. - М., 1978.

34. Непомнящая, Н. И. Психологический анализ обучения детей 3—7 лет (на материале математики) / Н. И. Непомнящая. — М., 1983.

35. Обучение математике в детском саду / В. В. Данилов, Т. Д. Рихтерман, 3. А. Михайлова и др. — М., 1997.

36. Пантина, Н. С. Становление интеллекта в дошкольном детстве / Н. С. Пантина. - М.: РОССПЭН, 1996.

37. Пелипенко, А. А. Время и пространство в восприятии человека / А. А. Пелипенко // Мир психологии. — 1999. — № 4.

38. Поддьяков, Н. Н. Мышление дошкольника / Н. Н. Поддьяков. — М., 1977.

39. Попова, Н. А. Преемственность в первоначальном обучении математике в подготовительной группе детских садов и первых классов школ: Автореф. дис.... канд. пед. наук / Н. А. Попова. — М., 1966.

40. Преемственность в работе детского сада и начальной школы / Под ред. Г. К. Широковой. - М., 1998.

41. Проблемы формирования познавательных способностей в дошкольном возрасте: (на материале овладения действиями пространственного моделирования) / Под ред. Л. А. Венгера. — М., 1980.

42. Рихтерман, Т. Д. Формирование представлений о времени у детей дошкольного возраста / Т. Д. Рихтерман. — М., 1982.

43. Рубинштейн, С. Л. О восприятии времени и пространства / С. Л. Рубинштейн // Мир психологии. — 1999. — № 4.

44. Сазонова, А. Н. Воспитание ценностного отношения к образованию / А. Н. Сазонова // Мир образования — образование в мире. — 2001. — № 1.

45. Сластенин, В. А. Педагогика: инновационная деятельность / В. А. Сла-стенин, Л. С. Подымова. — М., 1997.

46. Современные образовательные программы для дошкольных учреждений / Под ред. Т. И. Ерофеевой. — М.: Академия, 1999.

47. Содержание и методы умственного воспитания дошкольников / Под ред. Н. Н. Поддьякова. — М., 1980.

48. Соловьева, Е. В. Педагогические условия и пути гуманизации дошкольного математического образования: Автореф. дис. ... канд. пед. наук / Е. В. Соловьева. — М., 1996.

49. Сербина, Е. В. Математика для малышей / Е. В. Сербина. — М., 1992.

50. Смоленцева, А. А. Сюжетно-дидактические игры с математическим содержанием / А. А. Смоленцева. — М., 1987.

51. Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики / Л. П. Стойло-ва, А. М. Пышкало. — М., 1988.

52. Тарунтаева, Т. В. Исследование возможности обучения старших дошкольников началам математики в детском саду: Автореф. дис. ... канд. пед. наук / Т. В. Тарунтаева. — М., 1977.

53. Тарунтаева, Т. В. Развитие элементарных математических представлений у дошкольников/Т. В. Тарунтаева. — М., 1980.

54. Тарханова, Е. А. Формирование у детей 7-го года жизни знаний арифметических действий сложения и вычитания: Автореф. дис. ... канд. пед. наук / Е. А. Тарханова. — Л., 1978.

55. Умственное воспитание детей дошкольного возраста / Под ред. Н. Н. Поддьякова, Ф. А. Сохина. — М., 1980.

56. Урунтаева, Г. А. Диагностика психических особенностей дошкольника: Практикум для студентов средних и высших учебных заведений и работников дошкольных учреждений / Г. А. Урунтаева. — 2-е изд., стер. — М.: Академия, 1999.

57. Фидлер, М. Математика уже в детском саду / М. Фидлер. — М., 1981.

58. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников / Под ред. А. А. Столяра. — М., 1988.

59. Фунтикова, О. А. Теоретические основы умственного развития дошкольников / О. А. Фунтикова. — Симферополь: Таврида, — 1999.

60. Целищева, И. Математика — не отвлеченная наука / И. Целищева, М. Большакова // Дошкольное воспитание. — 2000. — № 9.

61. Шевченко, Т. С. Формирование представлений о времени и пространстве у детей дошкольного возраста средствами искусства: Автореф. дис.... канд. пед. наук / Т. С. Шевченко. — Ростов н/Д, 1999.

62. Щербакова, Е. И. О математике малышам / Е. И. Щербакова. — Киев, 1984.

63. Щербакова Е. И. Методика обучения математике в детском саду / Е. И. Щербакова. — М.: Асайегша, 2000.

64. Щербакова, Е. И. Индивидуализация в процессе обучения детей дошкольного возраста / Е. И. Щербакова. — Запорожье, 1992.

65. Юсуфбекова, Н. Р. Общие основы инноватики / Н. Р. Юсуфбекова. — М., 1991.

66. Якиманская, Г. С. Развитие пространственного мышления дошкольников / Г. С. Якиманская. — М.: Педагогика, — 1980.

Начало формы

От автора

Основополагающими идеями курса «Теория и методика математического развития дошкольников» являются:

Е. Щербакова

Значение и задачи математического развития детей дошкольного возраста

Проблема обучения математике в современной жизни приобретает все большее значение. Это объясняется, прежде всего, бурным развитием математической науки и проникновением ее в различные области знаний.

Повышение уровня творческой активности, проблемы автоматизации производства, моделирования на электронно-вычислительных машинах и многое другое предполагает наличие у специалистов большинства современных профессий достаточно развитого умения четко и последовательно анализировать изучаемые процессы. Поэтому обучение в детском саду направлено, прежде всего, на воспитание у детей привычки полноценной логической аргументации окружающего. Опыт обучения свидетельствует о том, что развитию логического мышления дошкольников в наибольшей мере способствует изучение начальной математики. Для математического стиля мышления характерны четкость, краткость, расчлененность, точность и логичность мысли, умение пользоваться символикой. В связи с этим систематически перестраивается содержание обучения математике в школе и детском саду.

Естественно, что основой познания является сенсорное развитие, приобретаемое посредством опыта и наблюдений. В процессе чувственного познания формируются представления — образы предметов, их свойств, отношений. Так, оперируя разнообразными множествами (предметами, игрушками, картинками, геометрическими фигурами), дети учатся устанавливать равенство и неравенство множеств, называть количество словами: «больше», «меньше», «поровну». Сравнение конкретных множеств подготавливает детей к усвоению в последующем понятия числа. Именно операции с множествами являются той основой, к которой обращаются дети не только в детском саду, но и на протяжении последующих лет обучения в школе. Представление о множестве формирует у детей основы понимания абстрактного числа, закономерностей натурального ряда чисел. Хотя понятия натурального числа, а также геометрической фигуры, величины, части и целого абстрактны, все-таки они отображают связи и отношения предметов окружающей действительности.

Доказано, что ознакомление детей с разными видами математической деятельности в процессе целенаправленного обучения ориентирует их на понимание связей и отношений. Формирование начальных математических знаний и умений у детей дошкольного возраста должно осуществляться так, чтобы обучение давало не только непосредственный практический результат (навыки счета, выполнение элементарных математических операций), но и широкий развивающий эффект. Под математическим развитием дошкольников, как правило, понимают качественные изменения в формах познавательной активности ребенка, которые происходят в результате формирования элементарных математических представлений и связанных с ними логических операций. Анализ научных исследований (А. М. Леушина, Н. И. Непомнящая, А. А. Столяр и др.), педагогического опыта убеждает в том, что рационально организованное обучение дошкольников математике обеспечивает общее умственное развитие детей. (Рационально организованное — это своевременное, соответствующее возрасту и интересам детей обучение.) При этом важное значение имеет педагогическое руководство со стороны взрослого (воспитателя или родителей). Дети приобретают элементарные знания о множестве, числе, величине и форме предметов, учатся ориентироваться во времени и пространстве. Они овладевают счетом и измерениями линейных и объемных объектов с помощью условных и общепринятых мер, устанавливают количественные отношения между величинами, целым и частями.

В математической подготовке детей, развитии элементарных математических представлений важную роль играет обучение измерению как начальному способу познания количественной характеристики окружающего. Это дает возможность дошкольникам прежде всего пользоваться не общепринятыми, а условными мерами при измерении сыпучих, жидких веществ и протяженностей. Одновременно у детей развивается глазомер, что весьма важно для их сенсорного развития.

В процессе систематического обучения математике дети овладевают специальной терминологией — названиями чисел, геометрических фигур (круг, квадрат, треугольник, ромб и др.), элементов фигур (сторона, вершина, основание) и т. п. Однако не рекомендуется в работе с детьми использовать такие слова-термины, как «натуральный рад», «совокупность», «структура», «элементы множества» и др. При этом работа не ограничивается только занятиями. Следует иметь в виду использование всего дидактического пространства в условиях образовательной ситуации.

Занятия по математике приобретают особое значение в связи с развитием у детей познавательных интересов, умений проявлять волевые усилия в процессе решения математических задач.

Как правило, учебные задачи на занятиях решаются в сочетании с воспитательными. Так, воспитатель учит детей быть организованными, самостоятельными, внимательно слушать, выполнять работу качественно и в срок. Это дисциплинирует детей, способствует формированию у них целенаправленности, организованности, ответственности. Таким образом, обучение детей математике с раннего возраста обеспечивает их всестороннее развитие.

Среди задач по формированию элементарных математических знаний и последующего математического развития детей следует выделить главные, а именно:

§ приобретение знаний о множестве, числе, величине, форме, пространстве и времени как основах математического развития;

§ формирование широкой начальной ориентации в количественных, пространственных и временных отношениях окружающей действительности;

§ формирование навыков и умений в счете, вычислениях, измерении, моделировании, общеучебных умений;

§ овладение математической терминологией;

§ развитие познавательных интересов и способностей, логического мышления, общее интеллектуальное развитие ребенка.

Эти задачи чаще всего решаются воспитателем одновременно на каждом занятии по математике, а также в процессе организации разных видов самостоятельной детской деятельности. Многочисленные психолого-педагогические исследования и передовой педагогический опыт работы в дошкольных учреждениях показывают, что только правильно организованная детская деятельность и систематическое обучение обеспечивают своевременное математическое развитие дошкольника.

Многочисленными исследованиями (А. М. Леушина, Н. А. Менчинская, Г. С. Костюк и др.) доказано, что возрастные возможности детей дошкольного возраста позволяют формировать у них научные, хотя и элементарные, начальные математические знания. Точнее сказать, дети приобретают элементы математических знаний. При этом подчеркивается, что в соответствии с возрастом ребенка необходимо подбирать формы и способ обучения. В связи с этим на конкретных возрастных этапах создаются наиболее благоприятные условия формирования определенных знаний и умений.

Так, во второй младшей группе детского сада (четвертый год жизни) основное внимание уделяется формированию знаний о множестве. Понятие о множестве является одним из основных и наиболее общих, оно проходит через всю математику. Понятие множества настолько широко, что не определяется даже на современном уровне развития науки, а вводится как изначальное и поясняется на конкретных примерах. В средней группе в процессе изучения основных свойств множества формируется понятие о числе, а в старшей — первые представления о натуральном ряде чисел. В дошкольном возрасте понимание основных свойств множества ограничено. Однако осознание отдельных его свойств (равенство и неравенство, независимость мощности множества от качественных его признаков) возможно уже в младшем дошкольном возрасте.

Наряду с формированием начальных математических представлений и понятий программа воспитания в детском саду предусматривает ознакомление детей дошкольного возраста с рядом математических зависимостей и отношений. Так, дети осознают некоторые отношения между множествами (равномощность — неравномощность; отношения порядка в ряду величин, натуральных чисел; пространственные и временные отношения и т. д.). При этом все математические знания подаются во взаимосвязи. Например, формирование представлений о количестве связано с формированием представлений о множестве и величине предметов с развитием умений видеть, условно определять размер, параметры, а также с усвоением отношений между предметами. Необходимо иметь в виду, что, усваивая знания о числе, дети учатся абстрагировать количественные оценки от всех других (цвет, форма, размер).

Формирование начальных математических знаний во взаимосвязи позволяет постепенно и целенаправленно конкретизировать и уточнять каждое из выделенных свойств. Ознакомление детей с мерой и измерениями способствует формированию более точного понимания числа, и прежде всего единицы. Именно связь счета и измерения помогает ребенку осознать зависимость результата счета (измерения) от единицы счета (условной меры).

На занятиях по математике в детском саду формируются простейшие виды практической и умственной деятельности детей. Под видами деятельности — в этом случае способами обследования, счета, измерения — понимают объективные последовательные действия, которые должен выполнять ребенок для усвоения знаний: поэлементное сравнение двух множеств, накладывание меры и др. Овладевая этими действиями, ребенок усваивает цель и способы деятельности, а также правила, обеспечивающие формирование знаний. Например, сравнивая равные и неравные между собою множества, накладывая или прикладывая элементы, ребенок осознает понятие количества. Поэтому особое внимание уделяется развитию практических действий детей с предметами.

Центральной задачей математического развития детей в детском саду является обучение счету. Основными способами при этом являются накладывание и прикладывание, овладение которыми предвосхищает обучение счету с помощью слов-числительных.

Одновременно дошкольников учат сравнивать предметы по величине (размеру) и результаты сравнения обозначать соответствующими словами-понятиями («больше — меньше», «узкий — широкий» и др.), строить ряды предметов по их размеру в порядке возрастания или уменьшения (большой, маленький, еще меньше, самый маленький). Однако, для того чтобы ребенок усвоил эти понятая, необходимо сформировать у него конкретные представления, научить его сравнивать предметы между собой сначала непосредственно — накладыванием, а потом опосредованно — с помощью измерения.

Программа по математике в детском саду предусматривает развитие глазомера детей при определении размера предметов. Для этого их обучают оценивать размер (величину предметов) в целом или по отдельным параметрам, сопоставляя с размером известных предметов. Обращается внимание на формирование умения проверять правильность оценки в своей практической деятельности, используя добавления, уменьшения и др. Каждое практическое действие пополняет знание детей новым содержанием. Доказано, что формирование элементарных математических знаний происходит одновременно с выработкой у них практических умений и навыков.

Практические действия, выполняя определенную роль в математическом развитии детей, сами не остаются неизменными. Так, осуществляется изменение деятельности, связанной со счетом. Сначала она опирается на практическое поэлементное сравнение двух конкретных множеств, а позднее особое значение приобретает число как показатель мощности множества и натуральный ряд чисел, что впоследствии заменяет одно из конкретных множеств.

Сначала дети берут предметы руками, перекладывают их, а потом считают предметы, не дотрагиваясь до них, или воспринимают только на ощупь.

На основе практических действий у детей формируются такие мыслительные операции, как анализ, синтез, сравнение, обобщение. Воспитатель должен ориентироваться в оценке результатов своей работы прежде всего на эти показатели, на то, как дети умеют сравнивать, анализировать, обобщать, делать выводы. Уровень овладения детьми умственными операциями зависит от использования специальных методических приемов, которые позволяют детям упражняться в сравнении, обобщении. Так, дети учатся сравнивать множества по количеству, осуществляя при этом структурный и количественный анализ множества. Сравнивая предметы по форме, дети выделяют размер отдельных элементов, сопоставляя их между собою.

Важной является задача развития у детей мышления и речи (овладение математической терминологией). Следует значительно больше внимания уделить развитию начальных умений индуктивного и дедуктивного мышления, формированию у детей познавательных интересов и способностей. Следует отметить, что общие методы познания составляют основу любого научного мышления, в том числе и математического. Естественно, последнее имеет свое особое значение.

На практике нередко наблюдается одностороннее понимание способностей как узкоспециальных, что граничат с одаренностью. В связи с этим воспитатели иногда недооценивают формирование у всех детей общих познавательных способностей. Любая деятельность невозможна, если человек не имеет к ней способностей. В психологии способности обозначаются как качества личности, необходимые для успешного выполнения деятельности. Воспитателю необходимо знать, в чем конкретно заключаются эти способности, какие психические свойства избранная деятельность потребует и без каких она вообще невозможна.

Способности следует рассматривать не только в связи с определенным видом детской деятельности, но и в связи с ее общей структурой, в которой прежде всего выделяются ориентировочные и исполнительские действия. И когда мы говорим об общих способностях к деятельности, то имеем в виду, насколько ребенок в состоянии использовать свои знания, умения, навыки, каков у него уровень познавательной самостоятельности. Все это определяет эффективность исполнительской части общих способностей. Наряду с этим следует формировать у детей умения абстрагировать, выделять главное.

Итак, математическое развитие детей предполагает широкую программу приобщения их к деятельности, в данном случае математической, которой руководит взрослый ($ос-питатель, родители).

В процессе систематического обучения математике дети овладевают специальной терминологией: названием чисел, ... фигур, элементов фигур (сторона, ...), математических действий (сложение,...) и др. Основными задачами математического развития детей являются:

1. накопление дошкольниками знаний о множестве, величине, пространстве и... ;

2. формирование начальной ориентации в количественных, ...и временных отношениях;

3. формирование умений и навыков в счете, ... и др;

4. овладение детьми... терминологией;

5. развитие у них ... интересов и умственное развитие ребенка в целом.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 942; Нарушение авторского права страницы