Теореми про існування границь

 

     Теорема 1. Нехай при  ( скінченне або ) для трьох функцій виконується нерівність

     Якщо існують границі  і , які дорівнюють числу , то існує

.

Доведення. Очевидно, що із нерівності  

За теоремою 1 із 2.4. н.м., н.м. при . Це значить, що для довільного  можна знайти таке, що з нерівності  а, отже,  тобто .

     Теорема 2. Якщо функція  зростає, і якщо вона обмежена зверху, тобто ,  то ця функція має границю , де , а -скінчене або  (див.рис.23 ).

 

                                                     Рис. 23.

 

     Аналогічне твердження має місце і для спадної, обмеженої знизу, функції .

 

Односторонні границі

 

     Будемо розглядати процес, коли змінна , але при цьому  залишається меншим , тобто зліва. Цей факт позначають  (зл. – зліва), або зручніше записувати . Аналогічно, якщо  і  то будемо говорити, що  справа, позначають  або .

     Означення. Число  називається лівою границею функції  в точці , якщо вона визначена на деякому напівінтервалі  і для неї існує .

     Аналогічно, якщо  визначена в напівінтервалі і існує , то  називається правою границею функції .

     Ліва – і права границі називають односторонніми. Їх ще прийнято позначати

        

     Зауваження. Рівності

                       

еквівалентні , тобто якщо односторонні границі існують і рівні в точці , то існує границя функції .

     Якщо ж односторонні границі різні, тобто

або хоча б одна з них не існує, тоді не існує й границя функції  при .

 

 

3.7. Невизначеності. Приклади знаходження деяких границь

     При знаходженні границі ми використовуємо їх властивості, зокрема теорему 2 із 3.4. Можуть виникати такі випадки.

1. Якщо функція визначена в точці , то

,

тобто границя функції збігається з її значенням в точці .

     2. Якщо ж функція в точці  невизначена або , то можуть зустрітись співвідношення вигляду: , які називаються невизначеностями.

 

   В більшості таких прикладів для знаходження границі над функціями, що стоять під знаком  необхідно виконати певні тотожні перетворення, або ще говорять : “позбавитися невизначеності” або “розкрити невизначеність”. А там, де невизначеності не зустрічаються, розв’язання здійснюються у відповідності теореми 2 та властивостей.

     Розглянемо кілька конкретних прикладів з поясненнями

1) Знайти  згідно теореми 2, а також =

                                                        за наслідками із 2.4

=

тобто границя функції збігається з її значенням, бо .

 

2)

Оскільки функція в точці невизначена, і  то теорему 2 не можна застосовувати. Робимо перетворення.

=

          

=

Ф-я  – обмежена  – н.м. , оберненна  н.в., добуток їх – н.в.

=

                .

3)

В точці ф. невизначена корінь чисельника і знаменника. Розклад на множники

=

                               

=

оскільки  і, то на  скорочуємо

=

 

     Зауваження. У загальному випадку, якщо

 то необхідно зробити тотожні перетворення так, щоб  і тоді замість

розглянути

     Це, зокрема, стосується випадку, коли , тоді за допомогою тотожності

                                      (1)

отримаємо

де .

     Аналогічно для  береться тотожність

          (2)

тоді

4)

 

5)

6)  див. формулу (2) =

 

 

3.8. Границя дробово раціональної функції при х ® ¥

 

     Розглянемо спочатку наступний приклад

7)

= ( добуток н.в. на обмежену є н.в.) = ¥.

  З даного прикладу можна зробити висновок, що у випадку многочлена із степенями різних знаків при  може бути невизначеність . Щоб її розкрити необхідно винести старший степінь за дужки. Враховуючи цей висновок, розглянемо границю дробово раціональної функції (див. 1.9) при .

      

 

В кожній з дужок обмежені величини. Можливі три випадки:

1) , тоді степені скорочуються і границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях ;

2) , тоді після скорочення в чисельнику залишиться , тому границя дорівнює ¥;

, тоді після скорочення в знаменнику залишиться , а обернена до неї  при , в границі отримаємо . Отже

(1)

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: