Предмет теории вероятностей

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных событий.

Случайные события. Классификация событий

Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при данном испытании.

Испытание – опыт, который можно проводить в одинаковых условиях любое число раз.

· Достоверное – событие, которое обязательно произойдет при данном испытании.

· Совместные – события, которые могут произойти одновременно при данном испытании.

· Равновозможные – если каждое из событий не является более возможным, чем другие.

· Противоположные – если при данном испытании может произойти только одно их событий.

· Равносильные – 2 события, если одно из них может произойти только тогда, когда произойдет другое.

Алгебра событий

АϵB (множество А является подмножеством множества В) – событие А влечет за собой событие В.

А=В (событие А является подмножеством события В и наоборот) – событие А происходит только тогда, когда происходит событие В.

А+В (сумма событий – новое событие, которое состоит в событии или А, или В, или обоих).

АВ (произведение событий – новое событие, которое состоит в наступлении обоих событий).

Ā=Ω-А (Ā – событие, противоположное А; Ω – множество элементарных событий(пространство)). Разность – новое событие состоит в том, что событие А не происходит.

В-А (разность – новое событие состоит в том, что событие В происходит, а событие А не происходит.

Классическое и статистическое определение вероятности

В классической схеме вероятность любого события определяется как отношение числа m благоприятных для события A исходов к общему числу исходов n. Р(А)=m/n

При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

W(A)=m/n

где m - число испытаний, в которых событие A наступило, n - общее число произведённых испытаний.

Элементы комбинаторики

1. Сочетаниями из n элементов по m называются выборки, содержащие по m элементов и отличающиеся друг от друга только составом элементов. C_n^m=n!/m!(n-m)! n!=1,2,3…

2. Размещениями из n элементов по m называются выборки, содержащие по m элементов и отличающиеся друг от друга или составом элементов или их порядком. А_n^m=n!^m/(n-m)! A – число размещений.

3. Перестановками из n элементов называются выборки, содержащие все n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов. P_n=n!

Геометрическая вероятность

Если результат испытания определяется случайным положением точки в некоторой области, причем положения точек в этой области равновозможные, то вероятность события находится по формуле

P(A)=S₀/S где S - геометрическая мера (длина, площадь или объем) всей области, S₀ - геометрическая мера той части области, попадание в которую благоприятствует данному событию.

Условная вероятность. Независимость событий

 

Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Р(А+В)=Р(А)+Р(В); А и В – несовместные

2. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В); А и В – совместные

3. Р(А)+Р(Ā)=1

4. Р(А*В)=Р(А)*Р(В); А и В – независимые

5. Р(А*В)=Р(А)*Р_А(В)=Р(В)*Р_В(А); А и В – зависимые

6. Р(А₁+А₂+…+А_n)=1-Р(А₁)*Р(А₂)*…*Р(А_n) – вероятность наступления хотя бы одного события.

Формула полной вероятности

Теорема: если события А1, А2, …, Аn образуют полную группу событий (то есть являются попарно несовместными, а все вместе образуют достоверное событие), то вероятность события В, которое может наступить с одним из событий полной группы, вычисляется по формуле полной вероятности P(B)=сумма(P(A_i)*P_Ai(B).

Доказательство: так как событие В может наступить с одним из событий полной руппы, то наступление события В означает наступление одного из событий.

А1*В, А2*В, …, Аn*В, тогда Р(В)=Р(А1*В+А2*В+…+Аn*В); Р(В)=Р(А1*В)+…+Р(Аn*В); Р(В)=Р(А1)*Р_А1(В)+…+Р(Аn)*P_An(B) – что и требовалось доказать.

Формула Бейеса

Так как заранее неизвестно какое из событий полной группы произойдет, то эти события называются гипотезами.

Вероятность каждой гипотезы при условии, что событие В произошла вычисляют по формуле Бейеса.

Р(А1*В)=Р(А1)*Р_А1(В)=Р(В)*Р_В(А1); Р_В(А1)= Р(А1)*Р_А1(В)/Р(В) – формула Бейеса (1 это i)

Схема Бернулли

Пусть проводится серия последовательных независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить или нет. Пусть вероятность наступления события Р(А)=р, а вероятность не наступления Р(Ā)=q, где q=1-p. Тогда вероятность того, что событие А произойдет k-раз при n-испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: P_n(k)=C_n^k*p^k*q^n-k

Формула Пуассона

Если количество испытаний n достаточно велико, а вероятность наступления события А в одном испытании постоянна и близка к нулю, то вероятность того, что событие А произойдет k-раз при n-испытаниях вычисляется по формуле Пуассона: P_n(k)=λ^k*e^-λ/k! где λ=np

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности массовых однородных случайных событий.

12Следующая ⇒

Поделиться: