Вычисления с плавающей и фиксированной точкой

Числа с фиксированной точкой — формат представления вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа. При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой

,

где z — цена (вес) младшего разряда.

Простейший пример арифметики с фиксированной запятой — перевод рублей в копейки. В таком случае, чтобы запомнить сумму 12 рублей 34 копейки, мы записываем в ячейку памяти число 1234.

 

В случае, если z < 1, для удобства расчётов делают, чтобы целые числа кодировались без погрешности. Другими словами, выбирают целое число u (машинную единицу) и принимают . В случае, если z > 1, его делают целым.

 

Если не требуется, чтобы какие-либо конкретные дробные числа входили в разрядную сетку, обычно выбирают  — это позволяет использовать в операциях умножения и деления битовые сдвиги. Про такую арифметику говорят: «f битов на дробную часть, i=n−f — на целую» и обозначают как «i,f» или «i.f». Например: арифметика 8,24 отводит на целую часть 8 битов и 24 — на дробную. Соответственно, она способна хранить числа от −128 до 128−z с ценой (весом) младшего разряда .

 

Для угловых величин зачастую делают  (особенно если тригонометрические функции вычисляются по таблице).

 

Математические операции для целочисленной арифметики имеют отличия от привычной арифметики с плавающей точкой:

· сложение:

· умножение:

· деление:

здесь [] – операция округления до целого.

Если в дробной части f-бит, то:

здесь shr и shl – сдвиг вправо и сдвиг влево соответственно.

 

Числа с плавающей точкой — форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную.

Число с плавающей запятой состоит из:

· мантиссы (выражающей значение числа без учёта порядка)

· знака мантиссы (указывающего на отрицательность или положительность числа)

· порядка (выражающего степень основания числа, на которое умножается мантисса)

· знака порядка

 

Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×100, 0,001×10−1, 0,01×10−2, 0,1×10−3), поэтому распространена (особенно в информатике) также другая форма записи — нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения [1; 10). В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Недостаток заключается в том, что в таком виде невозможно представить 0, поэтому представление чисел в информатике предусматривает специальный признак (бит) для числа 0.

 

В отличие от чисел с фиксированной запятой, сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей запятой, неравномерна: она более густая для чисел с малыми порядками и более редкая — для чисел с большими порядками. Но относительная погрешность записи чисел одинакова и для малых чисел, и для больших. Поэтому можно ввести понятие машинный эпсилон.

 

Машинный эпсилон называется наименьшее положительное число ε такое, что (знаком обозначено машинное сложение). Грубо говоря, числа a и b, соотносящиеся так, что, машина не различает.

Диапазоны чисел

	Одинарная (float)	Двойная (double)	Расширенная (long double)
Размер типа (байт)	4	8	10
Число десятичных знаков	7	15	19
Наименьшее значение нормализованное	1,4E−45	5,0E−324	1,9E−4951
Наименьшее значение нормализованное	1,2E−38	2,3E−308	3,4E−4932
Наибольшее значение	3,4E+38	1,7E+308	1,1E+4932
Поля	S-E-F	S-E-F	S-E-I-F
Размеры полей	1-8-23	1-11-52	1-15-1-63

S — знак, E — показатель степени, I — целая часть, F — дробная часть

Так же, как и для целых, знаковый бит — старший.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: