Распределение Больцмана частиц в потенциальном поле.

При выводе основного уравнения МКТ предполагалось, что на молекулы не действуют внешние силы, и поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Но молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул – с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором концентрация молекул и давление газа убывают с высотой.

 Если температура воздуха T и ускорение свободного падения g не меняются с высотой, то давление воздуха p на высоте h, отсчитанной от некоторого уровня, принятого за начальный, связано с давлением p0 на этом начальном уровне экспоненциальной зависимостью:

p(h)=p0e(-Mgh/RT) (36)

 Выражение (36) называется распределением Больцмана, или барометрической формулой. Оно позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту.

 Из формулы (36) следует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше его молярная масса M) и чем ниже температура T.

 Барометрическую формулу (36) можно преобразовать, воспользовавшись выражением (19): n(h)=n0e(-Mgh/RT), (37)

 Где n – концентрация молекул на высоте h, n0 – концентрация молекул на высоте h=0. Так как M=m0NA и k=R/NA, то:

n(h)=n0e(-m0gh/kT), (38)

 гдеm0gh - потенциальная энергия одной молекулы в поле тяготения, и:

n(h)=n0e(-П/kT). (39)

 Выражение (39) называют законом Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

 

Барометрическая формула.

Барометрическая формула определяет зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру Т и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), Б. ф. имеет следующий вид:

р = p₀exp [-gm.(h - h₀)/RT] (1),

где р — давление газа в слое, расположенном на высоте h, p₀ — давление на нулевом уровне (h = h₀), m — молекулярная масса газа, R — газовая постоянная, Т — абсолютная температура. Графически зависимость (1) представлена на рис. Из Б. ф. (1) следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

n =n₀exp [-mg (h-h₀)/kT],

где m — масса молекулы, k — Больцмана постоянная.

Б. ф. может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см. Больцмана статистика). При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 применил Б. ф. к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана.

Б. ф. показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина —mg (h-h₀)/kT, определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT. Чем выше температура Т, тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m.

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует Б. ф., т.к. в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.

Б. ф. лежит в основе барометрического нивелирования — метода определения разности высот Dh между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению (p₁ и p₂). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Б. ф. записывается в этом случае в виде: Dh = 18400· (1+at) lg (p₁/p₂) (в м), где t — средняя температура слоя воздуха между точками измерения, a — температурный коэффициент объёмного расширения воздуха. Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1—0,5% от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения.

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: