Схема однородных независимых испытаний

(Бернулли, Лаплас, Пуассон)

№1. Стрелок стреляет по мишени п раз. Вероятность попадания при й выстреле равна р. Найти вероятность того, что он попадет ровно к раз – найти Р_п(к).

Формула Бернулли:

, q =1- p при п=10 (в десятках).

Асимптотическая формула Лапласа (дифференциальная):

, где , п=100 (в сотнях)

φ(х) – дифференциальная функция Лапласа.

φ(4)=0,0001

φ(5)=0,

 х>7 φ(х)≈0.

Формула Пуассона:

, где а=пр.

№2. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель не менее к₁ раз и не более к₂ раз.

Р_п(к₁, к₂)= Р(к₁)+Р(к₁+1)+…+Р(к₂).

Вероятность того, что событие наступит:

А) менее к раз: Р_п(0)+Р_п(1)+…+Р_п(к-1);

Б) более к раз: Р_п(к+1)+Р_п(к+2)+…+Р_п(п);

В) не менее к раз: Р_п(к)+Р_п(к+1)+…+Р_п(п);

Г) не более к раз: Р_п(0)+Р_п(1)+…+Р_п(к).

Интегральная формула Лапласа:

Р_п(к₁;к₂) , где

, . п≥100.

Ф(- 4)≈ - 0,5; Ф(4)≈0,5.

 

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в схеме независимых однородных испытаний

Вероятность того, что относительная частота (т/п) отклонится от постоянной вероятности (р) по абсолютной величине не более, чем на ε>0 равна удвоенному значению интегральной функции Лапласа:

 , где ,

т – число появления события; п – число испытаний; р – вероятность наступления события в одном испытании.

Краткая запись формулы:

, (Р – надежность, гарантийная вероятность, уверенность).

 

Случайные величины

Дискретная СВ – такая величина, которая может принимать значение из конечного или счетного множества изолированных значений.

Непрерывная величина – такая величина, значение которой сплошь заполняет определенный интервал.

 - условие нормировки.

Мода – наивероятнейшее значение СВ:

пр- q ≤ M ₀ ≤ np + q .

Медиана (Ме) – величина, которая делит всю совокупность возможных значений на 2 части такие, что Р(Х> Me )=0,5, P ( X < Me )=0,5.

Мат.ожидание – среднее значение СВ:

.

Дисперсия: .

Среднеквадратическое отклонение (СКО):

.

Правило 3-х сигм:

Р(т_х - 3σ< X < m_x +3 σ )=0,997 – случайное отклонение Х от М(Х), превышающее 3σ, маловероятно.

Начало момента распределения: m ₁ = M ( X )= a ;

m ₂ = M ( X ² ); m ₃ = M ( X ³ ); m ₄ = M ( X ⁴ ).

Центральный момент: , , , .

Свойства мат.ожидания:

1. М(С)=С.

2. М(СХ)=СМ(Х).

3. М(Х+У)=М(Х)+М(У).

4. М(ХУ)=М(Х)М(У).

Следствия из свойств:

1. М(Х-У)=М(Х)-М(У).

2. М(Х-М(Х))=0.

Дискретная СВ:

Дисперсия:

D ( X )= M ( X - M ( X ))²;

D ( X )= M ( X ² )- M ² ( X );

.

Свойства дисперсии:

1. D(C)=0.

2. D(CX)=C²D(X).

3. D ( X + Y )= D ( X )+ D ( Y ), X , Y – независимые.

4. D(X-Y)=D(X)+D(Y).

СКО: .

Коэффициент ковариации: .

Смешанный центральный момент:

Если Х, У – зависимые, то:

Ассиметрия:  .

Эксцесс: .

Функция распределения:

F ( x )= P ( X < x ).

Свойства функции распределения:

1. F(x) .

2. F(x) – неубывающая.

3. F(x) – непрерывна слева.

4. .

Мат.ожидание и дисперсия среднеарифметического:

    .

Непрерывная СВ:

Свойства функции распределения:

1. F(x) .

2. F(x) – неубывающая.

3. P(α<X<β)=F(β) – F(α).

4. P(X=c)=0.

5. Если Х , то F(X≤a)=0, F(X>b)=1.

P(α<X<β)=P(α≤X< β)=P(α<X≤ β)=P(α≤X≤ β).

.

Плотность распределения:

.

Свойства:

1. f ( x )≥0.

2. Х , то  =1.

3. Х , то .

4. P(α<X<β)= .

5. F(x)= .

6. P(α<X<β)= площадь кривой, ограниченной прямыми х= α , х= β , у=0 и у= f ( x ).

Числовые характеристики НСВ:

Мода – возможное значение НСВ, которому соответствует максимум ее диф. ф-ции.

Медиана : Р(X<m_e)=P(X>m_e).

Начальный момент к-го порядка:

.

Центральный момент к-го порядка:

.

Вероятность попадания в интервал нормально распределенной СВ Х:

.

Неравенство Чебышева:

.

Теорема Чебышева:

.

Теорема Бернулли:

.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: