Составное алгебраическое расширение поля.

Расширение F поля P называется составным, если существует

возрастающая цепочка подполей L i поля F такая, что

P = L₀ — L₁ — …— L_k= F и k> 1.

Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и

[F: P] = [F: L]@[ L: P]. 

Доказательство. Пусть

(1) a₁, …, a_m — базис поля L над P (как векторного пространства) и

(2) b₁, …, b_n — базис поля F над L. Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:

(3) d = l₁b₁+...+l_nb_n (l_k 0L).

Коэффициенты 1_k можно линейно выразить через базис (1):

(4) l_k = p_1k a +…+ p_mk a_m (p_ik0P).

Подставляя выражения для коэффициентов l_k в (3), получаем

d = å p_ik a_ib_k.

^{i0{1, …, m}}

^{k0{1, …, n}}

Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где

B = { a _ib_k½ {1,..., m}, k 0 {l,..., n}}.

Отметим, что множество B состоит из nm элементов.

Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть

(5) å c_ika_ib_k = 0,

 ^{I, k}

где c_ik 0 P. Так как система (2) линейно независима над L, то из (5) следуют равенства

(6) с_1ka ₁+...+с_mka _m = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a ₁, ..., a _m линейно независимы над P, то из (6) следуют равенства

c_1k = 0, …, c_mk = 0 (k = 1, ..., n),

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов B линейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что [F, P] = nm = [F: L]× [L: P]. Следовательно, F является конечным расширением поля P и имеет место формула (I).  

Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P

P = L₀ — L₁ — …— L_k= F и k> 1 (1)

такая, что при i = 1,..., k поле L _i является простым алгебраическим расширением поля  L _i-1. Число k называется длиной цепочки (1).

Следствие 2.4. Составное алгебраическое расширение F поля P является конечным расширением поля P.

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Пусть a₁,..., a_k — алгебраические над полем P элементы поля F. Тогда поле P(a₁,..., a_k) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L ₀ = P, L ₁ = P [a₁], L ₂= P [a₁, a₂, ],..., L _k = P [a₁,..., a_k].

Тогда L₁ = P [a₁] есть простое алгебраическое расширение поля L₀; L₂ есть простое алгебраическое расширение поля L₁ , так как

L₂ = P [a₁, a₂] = (P [a₁])[a₂] = L₁[a₂] = L₁(a₂) и т. д.

Таким образом,

P = L₀ — L₁ — …— L_k= F

где L_i = L_i-1(a_i ) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле F является составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле F является конечным расширением поля P.

Следствие 2.6. Составное алгебраическое расширение поля является алгебраическим расширением этого поля.

Простота составного алгебраического расширения поля.

Теорема 2.7. Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P. Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P — L — F, причем L = P(a), F = L(b) и, следовательно, F = P(a, b).

Пусть f и g — минимальные полиномы над P соответственно для чисел a и b и deg f = m, deg g = n. Полиномы f и g неприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле E комплексных чисел кратных корней. Пусть

a = a₁,..., a_m — корни полинома f в C и

b = b₁ ,..., b_n — корни полинома g в C.

Рассмотрим конечное множество М:

M = {(a_i-a)/(b-b_k)½ i0{1, …, m}, k0{2, …, n}}.

Поскольку P — числовое множество (и, значит, бесконечное), то в P существует число c, отличное от элементов множества М, c0P(М, có М. Пусть

(1) g = a + cb.

Тогда выполняются соотношения

(2) g ¹ a_i +cb_k = (i0{1,..., m}, k0{2, ..., n}).

В самом деле, в случае равенства a +сb = a_i+сb_k было бы

с = (a_i-a)/(b-b_k) 0 M

что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F₁ = P (g) и F₁ — кольцо полиномов от x. Пусть h = f(g - cx) — полином из F₁[x] (g, c0P(g) = F₁). Покажем, что x-b есть наибольший общий делитель полиномов h и g в кольце F₁[x]. Так как g(b) = 0, то x-b делит g в E[x]. Далее, в силу (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Поэтому x-b делит полином h в E[x]. Таким образом, x-b есть общий делитель h и g в кольце E[x].

Докажем, что g и h в С не имеет корней, отличных от b. В самом деле, допустим, что b_k, k0{2,..., n}, есть их общий корень. Тогда h(b_k) = f(g - сb_k) = 0. Следовательно, найдется такой индекс i0{1,..., m}, что g = a_i+cb_k (k> 1), а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что x-b есть наибольший общий делитель g и h в E[x]. Поскольку x - b — нормированный полином, то отсюда следует, что x - b является наибольшим общим делителем g и h в кольце F₁[x]. Поэтому

(x-b) 0 F₁[x] и b 0 F₁ = P(g).

Кроме того, a = g - cb 0 F₁. Таким образом,

F = P(a, b)Ì F₁, F₁Ì F.

Следовательно, F = P(g). Далее, так как g (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над P и F = P (g), то поле F = P (g) является искомым простым алгебраическим расширением поля P.

Поле алгебраических чисел.

В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Определение. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома положительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 2.8. Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E = +С, +, —, •, 1, комплексных чисел. Алгебра A = +А, +, —, •, 1, является полем, подполем поля E.

Доказательство. Пусть a и b — любые элементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a, b) является алгебраическим над Q. Поэтому числа a+b, -а, ab, 1 являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству A. Таким образом, множество А замкнуто относительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A — подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a^-1 0 Q (a, b) и поэтому а^-1 принадлежит А. Следовательно, алгебра A есть поле, подполе поля E.  

Определение. Поле A = +А, +, —, •, 1, называется полем алгебраических чисел.

 

Пример.

Показать, что число a=  является алгебраическим.

Решение. Из a=  следует a- .

Возведем обе части последнего равенства в третью степень:

a³-3a² 9a-3 =2

или

a³ +9a-2=3 (a²+1).

Теперь обе части равенства возводим во вторую степень:

a⁶+18a⁴+81a²-4a³-36a+4=27a⁴+54a²+27

или

a⁶-9a⁴-4a³+27a²-36a-23=0.

Таким образом a является корнем многочлена

f(x)= a⁶-9a⁴-4a³+27a²-36a-23=0

с рациональными коэффициентами. Это значит что a — алгебраическое число.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: