Математические методы и средства решения

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине    ИНФОРМАТИКА

          (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)            

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Тема: Методы статистического анализа в Microsoft Excel и MathCAD

Автор: студент гр. МГП-18                                       _____________       /Саликов А.А./

                            (шифр группы)                                                   (подпись)                                (Ф.И.О.)

 

ОЦЕНКА: ________________

Дата:  ________________

 

ПРОВЕРИЛ:   

Руководитель работы _доцент_                            _____________   /Пивоварова И.И./

                                            (должность)                                         (подпись)                              (Ф.И.О.)

 

 

Санкт-Петербург

2019

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

«Санкт-Петербургский горный университет»

		УТВЕРЖДАЮ
		Заведующий кафедрой
		/____________ / доц. Маховиков А.Б./
		" ____" _____________ 2019 г.

 

Кафедра: Информатики и компьютерных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине    ИНФОРМАТИКА

          (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)            

ЗАДАНИЕ

студенту группы              МГП-18                                       /Саликов А.А./

                                        (шифр группы)                                                     (Ф.И.О.)

 

1. Тема: Методы статистического анализа в Microsoft Excel и MathCAD

2. Исходные данные к работе: Вариант №19

3. Содержание пояснительной записки: Пояснительная записка включает в себя задание на выполнение работы, расчетные формулы, описание расчетов с помощью таблиц Microsoft Excel, MathCAD, результаты расчетов, графики, заключение, библиографический список

4. Перечень графического материала:  рисунков

5. Срок сдачи законченной работы: ______________

 

 

Руководитель работы _доцент_                            _____________   /Пивоварова И.И./

                                            (должность)                                         (подпись)                              (Ф.И.О.)

 

Дата выдачи задания: ____________

 

Аннотация

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы по учебной дисциплине «Информатика». В ней рассматриваются вопросы по построению эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК) посредством возможностей пакета Microsoft Excel, а также решение данной задачи в пакете MathCad. В работе получены уравнения различных видов с помощью аппроксимации линейной, квадратичной и экспоненциальной зависимостей.

Объем курсовой работы – стр. 38.

Число таблиц – 10.

Число иллюстраций – 38.

Abstract

The explanatory note represents the report on term paper performance. In it questions on a finding of empirical formulas by a method of the least squares (МНК) by means of possibilities of package Microsoft Excel are considered, and also the decision of the given problem in MathCad is considered. In work the equations of various kinds by means of approximation linear, square-law and exponential dependences are received.

The amount of course work- pages 38.

Number of the tables - 10.

Number of illustrations - 38.

 

Оглавление

Введение........................................................................................................................................ 5

Постановка задачи...................................................................................................................... 6

Математические методы и средства решения....................................................................... 7

Исходные данные...................................................................................................................... 12

Аппроксимация функции с помощью Microsoft Excel...................................................... 13

Коэффициент корреляции. Коэффициент детерминированности................................... 18

Графический способ решения в Excel................................................................................... 21

Аппроксимация с помощью MathCad.................................................................................. 24

Вычисление параметров аппроксимации............................................................................ 26

Построение графиков и расчет коэффициентов детерминации....................................... 32

Заключение................................................................................................................................. 37

Список литературы.................................................................................................................. 38

 

Введение

Аппроксимация – приближенное описание эмпирических данных с помощью уравнений. Задача аппроксимации – найти такую функцию, выраженную аналитической формулой, чтобы она наилучшим образом описывала эмпирические данные. Для решения задачи аппроксимации наиболее часто используется метод наименьших квадратов, который позволяет найти функцию с такими параметрами, что сумма квадратов отклонений найденной функции от заданных значений функции будет минимальной.

Между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, и когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом.

При выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей. Для этого и применяется аппроксимация – приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее «тренд»).

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Важно учитывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, многопараметрическое уравнение.

Цель данной курсовой работы – с помощью аппроксимации установить зависимость между экспериментальными данными, решить поставленную задачу различными способами, провести расчеты с помощью табличного процессора Microsoft Excel, математического пакета MathCad.

 

 

Постановка задачи

Предположим, что y является функцией x.

Требуется:

1. Используя метод наименьших квадратов, функцию , заданную таблично, аппроксимировать:

· многочленом первой степени

· многочленом второй степени

· экспоненциальной зависимостью

2. Определить коэффициент детерминированности полученных уравнений и вычислить коэффициент корреляции.

3. Построить график табличной функции и в той же системе координат график аппроксимирующей функции (для каждого вида аппроксимации отдельный рисунок)

4. Решение выполнить с помощью табличного процессора MSExcel непосредственно по формулам, а также с использованием статистических функций MSExcel.

5. Выполнить расчеты в программе MathCad, сравнить результаты вычислений с результатами расчетов в MSExcel и добиться их совпадения в пределах используемой точности.

6. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .

 

Исходные данные

Функция y = f ( x ) задана таблицей:

Таблица 2 – Исходные данные для задачи

Заключение

1. В ходе исследования исходных данных при помощи функций MS Excel и MatCAD были получены 3 варианта уравнения аппроксимации: линейная, квадратичная и экспоненциальная.

2. Анализ полученных результатов показывает, что наилучшим образом описывает экспериментальные данные экспоненциальная аппроксимация. Она имеет самый высокий коэффициент детерминированности.

3. Совпадения значения величин, рассчитанных по формулам и полученных на графиках, говорит о том, что вычисления были произведены правильно.

 

 

Список литературы

1. Методические указания по выполнению курсовой работы / Национальный минерально – сырьевой университет «Горный». Сост. И.И. Пивоварова, Прудинский Г.А. СПб, 2015, 36с.

2. Microsoft Excel 2003, Шерри Виллард Кинкоф, М: HT Пресс, 2004 -416 с.

3. Информатика. Статистическая обработка и математический анализ параметров экосистемы в среде MathCad.

4. Дифференциальное и интегральное исчисление Том 1 Пискунов Н.С., М: Интеграл- Пресс, 2009 -412 с.

5. Задачи гарантированной идентификации, Фурасов В.Д. Издательство: Бином. Лаборатория знаний, 2005-336 с.

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине    ИНФОРМАТИКА

          (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)            

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Тема: Методы статистического анализа в Microsoft Excel и MathCAD

Автор: студент гр. МГП-18                                       _____________       /Саликов А.А./

                            (шифр группы)                                                   (подпись)                                (Ф.И.О.)

 

ОЦЕНКА: ________________

Дата:  ________________

 

ПРОВЕРИЛ:   

Руководитель работы _доцент_                            _____________   /Пивоварова И.И./

                                            (должность)                                         (подпись)                              (Ф.И.О.)

 

 

Санкт-Петербург

2019

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

«Санкт-Петербургский горный университет»

		УТВЕРЖДАЮ
		Заведующий кафедрой
		/____________ / доц. Маховиков А.Б./
		" ____" _____________ 2019 г.

 

Кафедра: Информатики и компьютерных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине    ИНФОРМАТИКА

          (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)            

ЗАДАНИЕ

студенту группы              МГП-18                                       /Саликов А.А./

                                        (шифр группы)                                                     (Ф.И.О.)

 

1. Тема: Методы статистического анализа в Microsoft Excel и MathCAD

2. Исходные данные к работе: Вариант №19

3. Содержание пояснительной записки: Пояснительная записка включает в себя задание на выполнение работы, расчетные формулы, описание расчетов с помощью таблиц Microsoft Excel, MathCAD, результаты расчетов, графики, заключение, библиографический список

4. Перечень графического материала:  рисунков

5. Срок сдачи законченной работы: ______________

 

 

Руководитель работы _доцент_                            _____________   /Пивоварова И.И./

                                            (должность)                                         (подпись)                              (Ф.И.О.)

 

Дата выдачи задания: ____________

 

Аннотация

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы по учебной дисциплине «Информатика». В ней рассматриваются вопросы по построению эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК) посредством возможностей пакета Microsoft Excel, а также решение данной задачи в пакете MathCad. В работе получены уравнения различных видов с помощью аппроксимации линейной, квадратичной и экспоненциальной зависимостей.

Объем курсовой работы – стр. 38.

Число таблиц – 10.

Число иллюстраций – 38.

Abstract

The explanatory note represents the report on term paper performance. In it questions on a finding of empirical formulas by a method of the least squares (МНК) by means of possibilities of package Microsoft Excel are considered, and also the decision of the given problem in MathCad is considered. In work the equations of various kinds by means of approximation linear, square-law and exponential dependences are received.

The amount of course work- pages 38.

Number of the tables - 10.

Number of illustrations - 38.

 

Оглавление

Введение........................................................................................................................................ 5

Постановка задачи...................................................................................................................... 6

Математические методы и средства решения....................................................................... 7

Исходные данные...................................................................................................................... 12

Аппроксимация функции с помощью Microsoft Excel...................................................... 13

Коэффициент корреляции. Коэффициент детерминированности................................... 18

Графический способ решения в Excel................................................................................... 21

Аппроксимация с помощью MathCad.................................................................................. 24

Вычисление параметров аппроксимации............................................................................ 26

Построение графиков и расчет коэффициентов детерминации....................................... 32

Заключение................................................................................................................................. 37

Список литературы.................................................................................................................. 38

 

Введение

Аппроксимация – приближенное описание эмпирических данных с помощью уравнений. Задача аппроксимации – найти такую функцию, выраженную аналитической формулой, чтобы она наилучшим образом описывала эмпирические данные. Для решения задачи аппроксимации наиболее часто используется метод наименьших квадратов, который позволяет найти функцию с такими параметрами, что сумма квадратов отклонений найденной функции от заданных значений функции будет минимальной.

Между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, и когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом.

При выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей. Для этого и применяется аппроксимация – приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее «тренд»).

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Важно учитывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, многопараметрическое уравнение.

Цель данной курсовой работы – с помощью аппроксимации установить зависимость между экспериментальными данными, решить поставленную задачу различными способами, провести расчеты с помощью табличного процессора Microsoft Excel, математического пакета MathCad.

 

 

Постановка задачи

Предположим, что y является функцией x.

Требуется:

1. Используя метод наименьших квадратов, функцию , заданную таблично, аппроксимировать:

· многочленом первой степени

· многочленом второй степени

· экспоненциальной зависимостью

2. Определить коэффициент детерминированности полученных уравнений и вычислить коэффициент корреляции.

3. Построить график табличной функции и в той же системе координат график аппроксимирующей функции (для каждого вида аппроксимации отдельный рисунок)

4. Решение выполнить с помощью табличного процессора MSExcel непосредственно по формулам, а также с использованием статистических функций MSExcel.

5. Выполнить расчеты в программе MathCad, сравнить результаты вычислений с результатами расчетов в MSExcel и добиться их совпадения в пределах используемой точности.

6. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .

 

Математические методы и средства решения

Во многих случаях, при анализе эмпирических данных, возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений, в результате чего получается таблица значений:

 

Рисунок 1 – Таблица значений x и y

Эта таблица получается как итог каких-либо экспериментов, в которых независимая величина х_i задается экспериментатором, а получается в результате опыта. Поэтому эти значения   называется эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача – найти эмпирическую формулу

,                                                                                             (1)

значения которой при x=x_i возможно мало отличались бы от опытных значений

( i =1, 2, …, n), (где –параметры).

Обычно указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т.п.) из которого выбирается функция f(x), и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные , то получим теоретические значения , где i=1, 2, …, n.

Разности называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек M _i до графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами

считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции:

                                                         (2)

будет минимальной.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Выбор вида аппроксимирующей функции остается за исследователем. Как правило, предпочтение отдается достаточно простым функциям: линейной, квадратичной, экспоненциальной и др.

Определение наилучших коэффициентов , входящих в эмпирическую формулу, производят хорошо известными аналитическими методами.

Для того чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных – равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов                    ( :

                                                                                       (3)

Таким образом, нахождение коэффициентов a_i сводится к решению системы (3).

Конкретный вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости  , и система (3) примет вид:

 

                                                                                       (4)

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом обратной матрицы, методом Гаусса, формулами Крамера).

В случае квадратичной зависимости , и система(3)примет вид:

                                                                    (5)

В случае экспоненциальной зависимости формула (1)примет вид:

                                                                                                                   (6)

В этом случае нужно вначале линеаризовать формулу (6) с помощью логарифмирования:

                                                                                                         (7) Введем обозначения:

                                                                                                          (8)

Тогда уравнение (7) перепишется в виде: , и система для определения параметров  примет вид:

                                                                                        (9)

или, возвращаясь к табличным эмпирическим данным,

                                                                                 (10)

График зависимости y^T(x), полученный по найденным эмпирическим формулам, называется кривой регрессии. Для проверки согласия (справедливости) построенной кривой регрессии с результатами эксперимента, как правило, используют следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности.

Для описания коэффициент детерминированности рассмотрим следующие величины:

 - полная сумма квадратов, где - среднее значение .

- остаточная сумма квадратов; характеризует отклонение экспериментальных данных от теоретических (вычисленным по найденным эмпирическим формулам).

Коэффициент детерминированности определяется по формуле:

                                                                                                    (11)

Чем меньше остаточная сумма квадратов  по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности  , который показывает, насколько хорошо полученная теоретическая функция описывает взаимосвязь между эмпирическими данными. Если  равен 1, то имеет место полное совпадение выбранной теоретической модели с фактическими данными. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности близок к нулю, выбранная эмпирическая формула неудачна, и она не может использоваться для вычисления значений функции.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимымивеличинами. Он показывает, насколько хорошо, в среднем, может быть представлена (вычислена) одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

                                                                        (12)                                                      

Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицу. Чем ближе |ρ | к 1, тем теснее линейная связь между x и y, тем более целесообразна аппроксимация таблично заданной функции линейной зависимостью.

Если |ρ | существенно меньше 1, то это означает, что в данном случае линейная аппроксимация не применима, но можно искать аппроксимирующую зависимость среди экспоненциальных, квадратичных и других видов функций.

Отметим также, что коэффициент детерминированности не должен превосходить значение коэффициента корреляции. В случае, когда выполняется равенство , можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.

 

 

Исходные данные

Функция y = f ( x ) задана таблицей:

Таблица 2 – Исходные данные для задачи

12Следующая ⇒

Поделиться: