Минимизация булевых функций методом

      Квайна-Мак-Класки

 

Метод Квайна — Мак-Класки — табличный метод минимизации булевых функций, предложенный Уиллардом Квайном и усовершенствованный Эдвардом Мак-Класки.   Уиллард Ван Орман Квайн (англ. Willard Van Orman Quine; 1908—2000) —  американский философ, логик и математик

Для решения канонической задачи минимизации методом Квайна-Мак-Класки применяется следующая последовательность действий:

1. Нахождение множества максимальных кубов (простых импликант) булевой функции.

2. Выделение ядра покрытия (определение множества существенных импликант).

3. Дополнение множества кубов, принадлежащих ядру покрытия, минимальным подмножеством из множества максимальных кубов, не входящих в ядро покрытия, для получения покрытия с минимальной ценой.

 

С точки зрения последовательного преобразования ДНФ булевой функции с целью их упрощения каноническая задача минимизации может быть представлена в виде:

КДНФ Þ СДНФ Þ ТДНФ Þ МДНФ.

Распространение терминологии в отношении нулевого покрытия базируется на понятии имплиценты (как соответствие импликанте) и системы имплицент.

2.14.1 Нахождение множества максимальных кубов
(простых импликант) булевой функции

Рассмотрим процедуру нахождения простых импликант на следующем примере.

Пример 2.18. М инимизация булевой функции методом Квайна-Мак-Класки.

Найти множество простых импликант булевой  функции заданной в числовой форме:

На этом этапе производятся всевозможные склеивания кубов меньшей размерности с целью получения кубов большей размерности. Для сокращения количества операций сравнения кубов на предмет их склеивания целесообразно производить упорядочивание кубов одинаковой размерности путем разделения их на группы по количеству единичных координат. При таком подходе в операцию склеивания могут вступать только кубы, принадлежащие двум соседним группам, то есть такие кубы, количество единичных координат в которых отличается на единицу. Кроме того, рекомендуется проводить нумерацию кубов одинаковой размерности с фиксацией пары склеиваемых кубов при образовании куба большей размерности как результат склеивания. Также по ходу склеивания необходимо осуществлять отметку кубов, вступающих в операцию склеивания. Тогда после завершения операций по склеиванию кубов все неотмеченные кубы будут представлять собой множество максимальных кубов как кубов, не участвовавших ни в одной операции склеивания.

 

Результат этого этапа представлен в табл. 2.4.

K0 (f)

K1 (f)

K2 (f)

K3 (f)

Z (f)

1   2 3   4 5 6   7 8   9

0000 -------- 0001 1000 -------- 0101 1010 1100 -------- 0111 1110 -------- 1111

Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

1 2   3 4 5   6 7 8   9 10

000X X000 --------- 0X01 10X0 1X00 --------- 01X1 1X10 11X0 --------- X111 111X

1-2 1-3   2-4 3-5 3-6   4-7 5-8 6-8   7-9 8-9

Ú Ú Ú Ú

1 2

1XX0 1XX0

4-8 5-7

Æ

1 2 3 4 5 6 7

1XX0 000X X000 0X01 01X1 X111 111X

 

Таблица 2.4. Нахождение множества максимальных кубов

Замечания.

1. При образовании 2-кубов получено два одинаковых 2-куба как результата склеивания двух различных пар соседних 1-кубов. Точно также при образовании 3-кубов должно получаться три одинаковых 3-куба как результата склеивания трех различных пар соседних 2-кубов. Этот факт хорошо согласуется с геометрической интерпретацией кубов небольшой размерности. Действительно, 2-куб представляет собой грань трехмерного куба, которая полностью определяется одной из двух противоположных ребер, соответствующих двум соседним 1-кубам. В свою очередь 3-куб соответствует полному трехмерному кубу, который полностью определяется одной из трех пар противоположных граней, интерпретируемых как геометрические образы двух соседних 2-кубов.

Продолжая аналогию, можно заметить, что при склеивании r-кубов (r ³ 3), получается (r+1) одинаковых (r+1)-кубов. Этот факт можно использовать как некоторое подтверждение корректности производимых операций склеивания над кубами.

2. Можно проследить за уменьшением цены покрытий заданной булевой функции, получаемых из кубов различной размерности. Так, для покрытия С_о(f)= K ° (f), составленного из исходных 0-кубов, цена составляет: S^a = 9× 4 = 36, S ^b= 36+9 = 45. Этому покрытию соответствует КДНФ заданной функции. Так как все 0-кубы отмечены как вступающие в операции склеивания, то кубический комплекс К¹(f) также можно рассматривать в качестве одного из покрытий булевой функции: С₁(f)=К¹(f). Цена этого покрытия: S^a = 10× 3 = 30, S^b = 30+10 = 40. Этому покрытию соответствует ДНФ заданной функции:

И, наконец, множество максимальных кубов Z(f) также представляет собой покрытие заданной функции С₂(f)= Z(f) с ценой:

S^a = 1× 2+6× 3 = 20,  S^b = 20+7 = 27.

Этому покрытию соответствует СДНФ вида:

3. При минимизации не полностью определенных булевых функций производится дополнение множества 0-кубов (существенные вершины) булевой функции множеством безразличных наборов N(f) с целью образования кубов большей размерности. Тем самым на этом этапе осуществляется доопределение исходной функции значениями «единица» на безразличных наборах.

Определение ядра покрытия

Для выполнения этого этапа первоначально строится таблица покрытий, строки которой соответствуют максимальным кубам покрытия, а столбцы – существенным вершинам булевой функции. Безразличные наборы аргументов при минимизации не полностью определенной булевой функции в таблице покрытий не участвуют. Тем самым на этом этапе производится доопределение не полностью определенной булевой функции значениями нуля на безразличных наборах аргументов.

Таблица покрытий отображает отношение покрытия между существенными вершинами булевой функции и максимальными кубами. Для этого на пересечении i-ой строки и j-го столбца таблицы делается соответствующая отметка в том случае, если максимальный куб из i-ой строки покрывает существенную вершину из j-го столбца.

Таблица покрытий с соответствующими отметками приведена в виде табл. 2.5.

Замечания.

1. Таблицу покрытий называют также импликантной таблицей в связи с тем, что максимальные кубы соответствуют простым (первичным) импликантам булевой функции, а существенные вершины - конституентам единицы булевой функции.

2. Для полностью определенных булевых функций количество меток в строке таблицы покрытий, соответствующей максимальному кубу размерности r, равно 2^r. Для не полностью определенных функций количество меток может быть меньше 2^r в том случае, если в образовании r-куба участвуют кроме существенных вершин и безразличные наборы.

Для выделения ядра покрытия в таблице покрытий ищутся столбцы, в которых содержится единственная метка. Это означает, что существенная вершина, соответствующая такому столбцу, покрывается только одним из максимальных кубов. В соответствии с этим максимальный куб, который один и только один покрывает некоторую существенную вершину булевой функции, включается в обязательную часть покрытия, называемую ядром.

В табл. 2.5 выделены метки, являющиеся единственными в своих столбцах.

Максимальные кубы	Существенные вершины
	0000	0001	0101	0111	1000	1010	1110	1110	1111
1XX0					´	Ä	Ä	´
000X	´	´
X000	´				´
0X01		´	´
01X1			´	´
X111				´					´
111X								´	´

 

Таблица 2.5. Таблица покрытий

Как видно из табл. 2.5, в нашем примере кубом ядра будет являться куб: T(f)={1ХХ0}.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: