Нахождение коэффициента теплопроводности a .

 

 Коэффициент a вычислим по формуле (1.5), обозначим:

                                  (3.1)

Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I, исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления a не превосходила 0, 1%, т.е.:

                                  (3.2)

Т.к. из (3.1) очевидно, что a> a₀, то условие (3.2) заведомо будет выполнено, если:

                                  (3.3)

Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления интеграла I возьмём                  d=0, 001Т (3.4)

Т=218 ^оС, следовательно, d=0, 218 ^оС.

 

 

Вычисление интеграла I методом трапеции

 Использование теоретической оценки погрешности

 

Для обозначения требуемой точности количества частей n, на которые нужно разбить отрезок интегрирования [0; T] определяется по формуле:

, где M₂=[f”(t)], t e [0; T], f(t)=e^-bt3

Учитывая формулу (3.4) получаем:

                                  (3.5)

Дифференцируя f(t), получим:

А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:

Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t₁, t=t₂, t=0 и t=T, получаем:

f’’(t1)=1.5886 10^-4

f’’(t2)=-1.6627 10^-4

f’’(0)=0

f’’(T)=7.4782 10^-6

Итак: M₂=1, 5886 10^-4, откуда n=25.66; принимаем N=26.

 

Далее вычислим интеграл I:

Погрешность вычисления a:

 

 

 

Вычисление интеграла I методом парабол

 

При расчётах будем использовать теоретическую оценку погрешности с помощью правила Рунге. Для обеспечения заданной точности количество частей n, на которое следует разделить интервал интегрирования можно определить по формуле:

, откуда:

Нахождение М₄ можно провести аналогично нахождению М₂ в предыдущем пункте, но выражение для f^IV(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге – наиболее простой способ.

Обозначим через I_n и I_2n значение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если выполнено равенство: |I_2n-I_n| = 15d    (*1), то |I-I_2n|=d

Будем, начиная с n=2, удваивать n до тех пор, пока не начнёт выполняться неравенство (*1), тогда:

                                  (3.6)

Согласно формуле парабол (3.7):

Результаты вычислений сведём в таблицу:

n	In	I2n
4	102.11
8	101.61	0.5017

По формуле (3.7) I = 101, 61 что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций

n=8		n=4
ti (8)	y8	ti (4)	y4
0	1	0	1
27.25	0.9864
54.5	0.8959	54.5	0.8959
81.75	0.6901
109	0.4151	109	0.4151
136.25	0.1796
163.5	0.0514	163.5	0.0514
190.75	0.0089874
218	0.00088179	218	0.00088179

 

4. Вычисление времени Т₀ установления режима

Решение уравнения комбинированным методом

Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).

Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.

 

F(x)	-1	-0.6285	0.4843
x	0.01	0.05	0.1

т.е. x с [0.01; 0.05]

Убедимся, что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции.

f(a) f(b)< 0 – условие существования корня выполняется

f’(x) на [a; b] – знакопостоянна: f’(x)> 0 – условие единственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью не превышающей e=10^-4

Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)> 0

f”(x)=(2A+1)cos(x) – A x sin(x). f”(x)> 0 на (a; b), следовательно касательные строим справа, а хорды слева. Приближение корня по методу касательных:

по методу хорд:

Вычисление ведём до того момента, пока не выполнится условие:

Результаты вычислений заносим в таблицу:

 

n	an	bn	f(an)	f(bn)
0	0.05	0.1	-0.6285	0.4843
1	0.07824	0.08366	-0.0908	0.0394
2	0.08202	0.08207	-9.1515 10-4	3.7121 10-4
3	0.08206	0.08206	-8.4666 10-8	3.4321 10-8

 

Т₀ = 72, 7176 секунд.

Решение уравнения комбинированным методом

 

Приведём f(x) = 0 к виду x = j(x). Для этого умножим обе части на произвольное число m, неравное нулю, и добавим к обеим частям х:

X = x - m f(x)

j(x) = x - m A x sin(x) + m cos(x)

В качестве m возьмём:

где М = max [f’(x)] на [a; b], а m = min [f’(x)] на [a’b]

В силу монотонности f’(x) на [a; b] имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда m = 0, 045.

Приближение к корню ищем по следующей схеме:

Вычисление ведём до тех пор, пока не выполнится условие:

                (q = max |j’(x)| на [a’b])

j’(x) на [a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модуля достигается на одном из концов.

j’(0, 05) = 0, 3322                j’(0, 1) = -0, 3322, следовательно, q = 0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовательность:

 

i	xi	j( xi)	D xi
0	0.075	0.082392	0.00739
1	0.082392	0.082025	0.000367
2	0.082025	0.08206	3.54 10-5
3	0.08206	0.082057	3.33 10-6
4	0.082057	0.082057	3.15 10-7

 

Итак, с погрешностью, меньшей 10^-4, имеем:

Т0 = 72, 7176 с., x = 0.03142

 

Решение краевой задачи

 

Используем метод малого параметра. Краевую задачу запишем в виде:

                                  (5.1)

Введя новую переменную y = (U - q₀)/(q - q₀), запишем (5.1) в виде:

                                  (5.2)

e = s_l(q - q₀) =0.18, L/2 =0.0193. В качестве малого параметра возьмём e.

 Тогда, подставив y(x) в уравнение (5.2) и перегруппировав члены при одинаковых степенях e, получим:

                                  (5.3)

Ограничимся двумя первыми членами ряда:

Из (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнения для y₀:

где y₀ с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения; y₍₁₎ и y₍₂₎ – линейно независимые решения однородного уравнения.

Корни уравнения:

y_0общ = 1 + c₁ch(px)+c₂sh(px), где p = 0.01953

Константы найдём из граничных условий:

откуда с₁ = 0, с₂ = -0, 57; т.е. имеем функцию:

y₀ = 1 - 0.57 sh(px)

Общее решение:

Частное решение:

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:

А₁ = 0; А₂ = -0, 1083; В₁ = 0; В₂ = 17, 1569;

Тогда общее решение для y₁ имеет вид:

с₃ = 0; с₄ = 0, 0462

Перейдя к старой переменной U, получим:

q₀ = 0; q₁ = -374.11; q₂ = -12.9863; q₃ = 2057

 

Итоговое уравнение:

 

 

Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):

x	U(x)	U
0	352.9075	353
0.0019	350.4901
0.0039	343.1972	343
0.0058	330.9053
0.0077	313.4042	313
0.0097	290.391
0.0116	261.4598	261
0.0135	226.0893
0.0154	1836255	184
0.0174	133.2579
0.0193	74	74

 

Используя данную таблицу, строим график функции U(x).

                                  [см. приложение 1]

 

6. Заключение

 

Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне), полученные по решению практического задания и обработкой эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределах погрешности) совпадают с экспериментальными значениями.

 

Литература

 

 

1. Методические указания «Методы приближённых вычислений. Решение нелинейных уравнений»

(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983)

 

2.Методические указания «Приближённые методы ислисления определённых интегралов»

(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986)

 

3. Методические указания «Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне»

(ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988)

 

Приложение 1

 

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться: