Определение скоростей и ускорений точек тела

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

Движение твердого тела называется плоским, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Примером плоского движения тела может служить качение цилиндра по горизонтальной плоскости, когда все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости ху.

Итак, задание движения твердого тела сводится к заданию движения одного его сечения. Поэтому в дальнейшем будем изображать только плоскую фигуру – сечение тела и изучать движение точек этого сечения в его плоскости.

Таким образом, для описания плоского движения тела требуется знать три независимые координаты как функции времени:

х_1А = х_1А(t), у_1А = у_1А(t), φ = φ(t),

которые и определяют положение плоской фигуры в любой момент времени.

Эти равенства называются уравнениями движения плоской фигуры или уравнениями плоского движения твердого тела, а задать движение твердого тела означает задать эти зависимости [1,4].

1.1 Векторная форма задания плоского движения тела

Положение любой другой точки тела М в неподвижной системе координат определяется как геометрическая сумма радиус-вектора полюса и радиус-вектора, проведенного из полюса в заданную точку. За полюс следует брать точку, закон движения которой очевиден, например точку А (рис.1.1):

В дальнейшем, для удобства, не следует указывать, что переменная, например, ra есть вектор, но обязательно необходимо выразить эту переменную в векторной форме, т. е. присвоить трем элементам вектора-столбца соответствующие значения его проекций на оси декартовой системы координат. Если хотя бы одна проекция вектора со временем изменяется, то при присвоении имени переменной необходимо записать – ra(t), т.е. определить вектор в функции времени.

Рис. 1.1 Схема к задаче «Колесо»

Радиус-вектор r это вектор по модулю равный расстоянию между полюсом и точкой М, но направление его изменяется со временем, поэтому необходимо задать закон изменения проекций этого вектора и записать r(t), несмотря на то, что по модулю он неизменен. Следует отметить, что при неизменном положении полюса задача сводится к вращательному движению тела вокруг неподвижной оси. Если во время движения тела его угловое положение не изменяется, то имеет место поступательное движение (пример, движение спарника).

Использование векторной формы задания движения и системы Mathcad позволяет рассчитать и наглядно представить положение любой точки в любой момент времени, а также построить траектории движущихся точек, но для этого в алгоритм расчета необходимо ввести значения параметров движущегося тела, а также задать временной интервал исследования и значения переменной t.

Алгоритм расчета и построения траекторий движения точек (на примере плоскопараллельного движения колеса) должен быть представлен в том виде, в каком его можно реализовать системой Mathcad. Здесь и ниже выделена рамкой особенность представления алгоритма в Mathcad.

Зададим параметры колеса, катящегося с постоянной скоростью V₀.

Координаты точек колеса в векторной форме:

Для построения траектории точки М в графическом редакторе Mathcad достаточно вызвать двухмерный график и отложить по горизонтальной оси проекцию вектора с индексом 0 – rm(t)₀, это нулевой элемент вектора, а по вертикальной оси rm(t)₁– первый элемент вектора. Контур точки М в конкретный момент времени – t1 можно показать, если на осях отложить: rm(t1)₀ и rm(t1)₁. Контур точки А в начальный момент времени: rа(0)₀ и rа(0)₁ [2,3,5].

Для создания контура колеса необходимо ввести новый вектор – Кk(t), как сумму двух векторов: вектора заданного положения точки А и вектора r(t), изменяющегося по направлению на угол 2p, как показано выше в алгоритме, а затем на графике вызвать проекции этого вектора на оси: Кk(t)₀ и Кk(t)₁ (рис. 1.2).

Рис. 1.2 Визуализация решения задачи «Колесо»

При плоском движении

Продифференцировав по времени закон движения точки, найдем

Заметим, что , . Что касается , то это есть скорость точки М в подвижной системе координат Ах₂у₂, т. е. скорость точки М при ее относительном вращении вокруг оси Аz₂, т. е.

где ω_A – угловая скорость вращения фигуры вокруг точки А, не зависящая от выбора полюса, и должна быть представлена, как и r(t), в векторной форме:

Формула закона движения принимает вид:

т. е. скорость любой точки М плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей полюса А и точки М при вращении ее вокруг полюса А.

Направление вращения плоской фигуры вокруг полюса определяет знак проекции угловой скорости на ось Az₂. При вращении тела против хода часовой стрелки ω_Z > 0, при вращении по ходу часовой стрелки – ω_Z < 0.

Для определения ускорения точки плоской фигуры продифференцируем предыдущее равенство по времени:

В этом соотношении – ускорение точки А, – проекция вектора углового ускорения на ось, перпендикулярную плоскости фигуры:

Угловое ускорения тела ε, как и линейное ускорение точки А, должны быть представлены также в векторной форме.

Таким образом, ускорение точек А и М связаны между собой соотношением

Два последних слагаемых определяют центростремительную и вращательную составляющие ускорения точки М во вращательном движении относительно системы координат Ax₂y₂:

Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорений во вращательном движении фигуры относительно полюса (центростремительного и вращательного).

В Mathcad

Использование векторной формы задания движения и системы Mathcad позволяет рассчитать и наглядно представить значения скорости и ускорения любой точки или их проекций на оси координат в любой момент времени в виде графиков или таблиц.

Ниже, на примере кривошипно-шатунного механизма с колесом на конце шатуна (рис.1.3), рассмотрен алгоритм расчета скоростей и ускорений точек тел при их плоском движении. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью w. Шатун 2 соединяет кривошип с колесом 3 в точке В (как показано на рисунке).

В алгоритме расчета кинематических параметров механизма с использованием Mathcad необходимо задать исходные данные механизма, а также временной интервал исследования переменной t.

Рис. 1.3 Плоское движение тел механизма

Пример создания анимационного клипа в системе MathCAD

Варианты заданий

по теме «Плоскопараллельное движение тел»

Цель: освоить нетрадиционные методы решения задач плоскопараллельного движения тел с использованием численных методов и графики, в том числе анимационной, для решения и наглядного представления кинематики движения тел.

В табл. 1.1 представлены две блок – схемы, из которых необходимо собрать систему тел. В табл. 1.2 дано их по вариантное сочленение.

Направляющую для системы колес следует выбрать на уровне оси Х (варианты 1 – 8), выше оси Х (на высоте h= R₄) – для вариантов 9 – 16 и ниже оси Х (h= R₄) – для вариантов 17 – 32.

Геометрические размеры всех тел механизма выбираются произвольно (по конструктивным соображениям). Угловая скорость ведущего звена – постоянна.

Таблица 1.1

Блок-схемы составной конструкции механизма


Рис. 1	Рис. 2


Рис. 3	Рис. 4

Рис. 5	Рис. 6

Рис. 7	Рис. 8

Рис. 9	Рис. 10

Рис. 11	Рис. 12

Продолжение таблицы 1.1

Окончание таблицы 1.1

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

На рисунках 13 – 15 – приведены примеры системы тел.

Таблица 1.2

Варианты к выбору составной конструкции тел

№ вар.	Составная конструкция механизма		№ вар.	Составная конструкция механизма
№ вар.	№ блок-схемы	№ блок-схемы	№ вар.	№ блок-схемы	№ блок-схемы
1	1	9	17	1	11
2	2	9	18	2	11
3	3	9	19	3	11

4	4	9	20	4	11
5	5	9	21	5	11
6	6	9	22	6	11
7	7	9	23	7	11
8	8	9	24	8	11
9	1	10	25	1	12
10	2	10	26	2	12
11	3	10	27	3	12
12	4	10	28	4	12
13	5	10	29	5	12
14	6	10	30	6	12
15	7	10	31	7	12
16	8	10	32	8	12

Окончание таблицы 1.2

Пример отчета по практической работе « Плоское движение»

Исследуем кинематику механизма, составленного из двух блок – схем 1 и 2, соединенных между собой шарниром в точке С, как показано на рис. 1.8.

Линейка АВ, шарнирно установленная на ползунах, вращается относительно оси Z1 с угловой скоростью w. Шатун соединяет точку С линейки с системой колес 3 и 4. Размеры тел и звеньев зададим по конструктивным соображениям.

Рис. 1.8 Схема расчетного механизма

Движения тел

Результаты исследования плоскопараллельного движения тел

Вызвав графический редактор системы Mathcad, создадим визуальное представление траекторий движения всех точек механизма. Видео клип, созданный в графическом редакторе системы Mathcad, сохраним в виде отдельного файла, присвоив ему имя. Создав в документе «знак видео клипа», и оформив его как гиперссылку на файл видео клипа, можно «щелкнуть» по этому знаку и выполнить визуальный анализ механизма в движении.

Рис. 1.9 Создание контуров тел механизма траекторий движения точек как объектов анимации в графическом и редакторе системы Mathcad

Закономерности изменения скоростей и ускорений точек механизма можно представить, как по абсолютной величине, так и в проекциях на оси координат в функции времени. Ниже представлена графическая визуализация закономерности изменения скоростей и ускорений точек механизма или их проекций на координатные оси, реализованная в графическом редакторе системы Mathcad.

Рис. 1.10 Изменение линейных скоростей точек механизма

Рис. 1.11 Изменение линейных скоростей и ускорений точек механизма