Эзотерические математики не от мира сего как результат естественного отбора

 

Какую же роль играет во всем этом естественный отбор? Возможно ли, чтобы естественным путем возник некий алгоритм F (или несколько таких алгоритмов), обусловливающий наше математическое понимание и при этом непознаваемый сам по себе (если верить допущению III ), либо лишь в отношении выполняемых им функций (в соответствии с допущением II )? Начнем с повторения того, о чем мы уже говорили в начале §3.1. В процессе получения своих предположительно неопровержимо истинных математических выводов математики вовсе не считают, что они просто следуют некоему набору непознаваемых правил — правил настолько сложных, что, с математической точки зрения, они непостижимы в принципе. Напротив, они полагают, что эти выводы представляют собой результат неких обоснованных рассуждений (пусть зачастую длинных и внешне запутанных), которые в конечном счете опираются на четкие неопровержимые истины, понятные, в принципе, любому.

Более того, рассматривая ситуацию с позиций здравого смысла или на уровне логических дескрипций, мы можем со всей определенностью утверждать, что математики и в самом деле делают то, что, как им кажется, они делают. Этот факт не подлежит никакому сомнению, а важность его переоценить невозможно. Если мы полагаем, что математики в своей деятельности следуют некоему набору непознаваемых и непостижимых вычислительных правил (в соответствии с возможными вариантами III или II ), то, значит, они делают еще и это — одновременно с тем, что, как им кажется, они делают, но на другом уровне дескрипции. Каким-то образом алгоритмическое следование правилам должно давать тот же самый результат, что дают математическое понимание и интуиция — по крайней мере, на практике. Если уж мы твердо вознамерились стать приверженцами либо A, либо D, то нам предстоит попытаться поверить в то, что такая возможность является вполне правдоподобной.

Нужно помнить и о том, какие блага дают эти алгоритмы. Предполагается, что они наделяют своего «носителя» — по крайней мере, в принципе — способностью составлять корректные математические суждения об абстрактных сущностях, весьма далеких от непосредственного жизненного опыта, что, по большей части, не дает этому самому носителю сколько-нибудь заметных практических преимуществ. Любой, кому хоть раз доводилось заглянуть в какой-нибудь современный чисто математический научный журнал, знает, насколько далеки заботы математиков от каких бы то ни было практических вопросов. Тонкости теоретических обоснований, обычно публикуемых в таких научных журналах, непосредственно доступны лишь очень небольшому количеству людей; и все же каждое такое рассуждение состоит, в конечном счете, из каких-то элементарных шагов, и каждый такой шаг может, в принципе, понять любой мыслящий индивидуум, даже если речь идет об абстрактных рассуждениях о сложно определяемых бесконечных множествах. Не следует забывать и о том, что алгоритм — или, возможно, целый ряд альтернативных, но математически эквивалентных алгоритмов, — который дает человеку потенциальную способность понимать упомянутые рассуждения, каким-то образом был изначально записан не где-нибудь, а в нуклеотидных последовательностях молекулы ДНК. Если мы в это верим, то нам следует весьма серьезно задуматься, как же так получилось, что подобный алгоритм (или алгоритмы) развился в результате естественного отбора. Очевидно, что даже в настоящее время профессия математика не дает никаких преимуществ с точки зрения борьбы за существование. (Подозреваю, что ее можно даже считать неблагоприятным фактором. Вследствие своего взрывного темперамента и странноватых пристрастий пуристы со склонностью к математике имеют тенденцию заканчивать свой жизненный путь на какой-нибудь низкооплачиваемой академической службе — или и вовсе безработными.) Гораздо правдоподобнее выглядит иная картина: способность рассуждать о весьма абстрактно определяемых бесконечных множествах, бесконечных множествах бесконечных множеств и т.д. никаких особых преимуществ в борьбе за выживание нашим далеким предкам дать просто не могла. Этих самых предков заботили практические повседневные проблемы — такие, как постройка убежищ, изготовление одежды, изобретение ловушки для мамонтов или, несколько позднее, одомашнивание животных и выращивание урожая (см. рис. 3.1).

 

Рис. 3.1. Вряд ли специфическая способность составлять сложные математические суждения могла дать нашим далеким предкам какие бы то ни было преимущества в борьбе за существование, а вот общая способность к пониманию им наверняка не помешала бы.

 

Разумно предположить, что упомянутые преимущества, которыми, очевидно, все же обладали наши предки, происходили из качеств, необходимых для решения как раз таких, практических проблем, а уже потом, гораздо позднее, выяснилось, что эти же качества замечательно подходят и для решения проблем математических — этакий побочный результат. Во всяком случае, такой ход событий полагаю более или менее правдоподобным я сам. Развивая это предположение, можно допустить, что под давлением естественного отбора человек каким-то образом приобрел или развил в себе некую общую способность понимать. Эта способность понимать, проникать в суть вещей, не была связана с какими-то конкретными областями его деятельности и оказывалась полезной буквально во всем. То же сооружение жилищ или ловушек для мамонтов существенно усложнилось бы, не обладай человек способностью понимать вещи и явления в их общности. При этом лично я полагаю, что Homo sapiens был отнюдь не уникален в своей способности понимать. Такой же способностью обладали, возможно, и многие другие животные, составлявшие человеку конкуренцию в борьбе за существование, однако обладали в меньшей степени, в результате чего человек, в силу более интенсивного развития этой способности, получил над ними весьма существенное преимущество.

Сложности с такой точкой зрения возникают как раз тогда, когда мы начинаем рассматривать наследуемую способность к пониманию как нечто по своей природе алгоритмическое. Как нам уже известно из предшествующих рассуждений и доказательств, любая (алгоритмическая) способность к пониманию, достаточно сильная для того, чтобы ее обладатель оказался в состоянии разобраться в тонкостях математических обоснований, в частности, гёделевского доказательства в представленном мною варианте, должна быть обусловлена процедурой настолько замысловатой и непостижимой, что о ней (или ее роли) не может знать даже сам обладатель этой способности. Наш прошедший через испытания естественного отбора гипотетический алгоритм, по всей видимости, достаточно силен, ведь еще во времена наших далеких предков он уже включал в область своей потенциальной применимости правила всех формальных систем, рассматриваемых сегодня математиками как безоговорочно непротиворечивые (или неопровержимо обоснованные, если речь идет о Π 1-высказываниях, см. §2.10, комментарий к Q10 ). Сюда почти наверняка входят и правила формальной системы Цермело—Френкеля ZF , или, возможно, ее расширенного варианта, системы ZFC  (иначе говоря, самой ZF с добавлением аксиомы выбора) — системы (см. §§3.3 и 2.10, комментарий к Q10 ), которую многие математики сегодня рассматривают как источник абсолютно всех необходимых для обычной математики методов построения рассуждений, — а также все частные формальные системы, получаемые из системы ZF посредством применения к ней процедуры гёделизации сколько угодно раз, и кроме того, все другие формальные системы, которые могут быть получены математиками посредством тех или иных озарений и рассуждений — скажем, на основании открытия, суть которого состоит в том, что системы, полученные в результате упомянутой гёделизации, всегда являются неопровержимо обоснованными, или исходя из иных рассуждений еще более основополагающего характера. Такой алгоритм должен был также включать в себя (в виде собственных частных экземпляров) потенциальные способности к установлению тонких различий, отделению справедливых аргументов от ничем не обоснованных во всех тех, тогда еще не открытых, областях математики, которые сегодня оккупируют страницы специальных научных журналов. Все вышеперечисленные способности должны были оказаться каким-то образом закодированы внутри этого самого — гипотетического, непознаваемого или, если угодно, непостижимого — алгоритма, и вы хотите, чтобы мы поверили, что он возник исключительно в результате естественного отбора, в ответ на какие-то внешние условия, в которых нашим далеким предкам приходилось бороться за выживание. Конкретная способность к отвлеченным математическим рассуждениям не могла дать своему обладателю никаких непосредственных преимуществ в этой борьбе, и я со всей определенностью утверждаю, что для возникновения подобного алгоритма не существовало и не могло существовать никаких естественных причин.

Однако стоит нам допустить, что «способность понимать» имеет неалгоритмическую природу, как ситуация в корне меняется. Теперь уже нет необходимости приписывать этой способности какую-то неимоверную сложность, вплоть до полной непознавамости или непостижимости. Более того, она может оказаться гораздо ближе к тому, что «математики, как им кажется, делают». Способность к пониманию представляется мне весьма простым и даже обыденным качеством. Ее сложно определить в каких-либо точных терминах, однако она настолько близка нам и привычна, что в принципиальную невозможность корректного моделирования понимания посредством какой бы то ни было вычислительной процедуры верится с трудом. И все же так оно и есть. Для создания подобной вычислительной модели необходима алгоритмическая процедура, так или иначе учитывающая все возможные варианты развития событий в будущем, — т.е. алгоритм, в котором должны быть, скажем так, предварительно запрограммированы ответы на все математические вопросы, с которыми нам когда-либо предстоит столкнуться. Если непосредственному программированию эти ответы не подлежат, то нужно обеспечить какие-то вычислительные способы для их отыскания. Как мы уже успели убедиться, если эти «вычислительные способы» (или «предварительное программирование») охватывают все, что когда-либо было или будет доступно человеческому пониманию, то сами они для человека становятся непостижимыми. Откуда же слепым эволюционным процессам, нацеленным исключительно на обеспечение выживания сильнейших, было «знать» о том, что такая-то непознаваемо обоснованная вычислительная процедура окажется когда-то в будущем способной решать абстрактные математические задачи, не имеющие абсолютно никакого отношения к проблемам выживания?

 

Алгоритмы обучения

 

Дабы не подвергать читателя искушению чересчур поспешно смириться с абсурдностью описанной выше возможности, я должен несколько прояснить картину, на что мне уже, несомненно, указывают сторонники вычислительного подхода. Как уже отмечалось в §3.5, эти самые сторонники имеют в виду не столько алгоритм, который, в известном смысле, «предварительно запрограммирован» на предоставление решений математических проблем, сколько некую вычислительную систему, способную обучаться. Такая система может состоять, в основе своей, из «восходящих» компонентов, соединенных по мере необходимости с какими-либо «нисходящими» процедурами (см. § 1.5)[23].

Возможно, кому-то покажется, что называть «нисходящей» систему, возникшую исключительно в результате слепого давления естественного отбора, не совсем уместно. Этим термином я буду обозначать здесь те аспекты нашей гипотетической алгоритмической процедуры, которые для данного организма зафиксированы генетически и не подвержены изменению под влиянием последующего жизненного опыта или обучения каждого отдельного представителя вида. Хотя упомянутые нисходящие аспекты и не были созданы кем-то или чем-то, обладающим подлинным «знанием» об их предполагаемых функциях и возможностях (речь идет всего лишь о трансляции определенных цепочек ДНК, приводящей к соответствующей активности клеток мозга), они, тем не менее, способны четко обозначить правила, в соответствии с которыми и будет действовать математически активный мозг. Эти нисходящие процедуры снабдят нашу систему теми алгоритмическими операциями, которые составят необходимую фиксированную структуру, в рамках которой, в свою очередь, будут функционировать более гибкие «процедуры обучения» (восходящие).

Какова же природа этих процедур обучения? Вообразим, что наша самообучающаяся система помещена в некоторое внешнее окружение, причем поведение системы внутри этого окружения непрерывно модифицируется под влиянием реакции окружения на ее предыдущие действия. В процессе участвуют, в основном, два фактора. Внешним фактором является поведение окружения и его реакция на действия системы, а внутренним — изменения в поведении системы в ответ на изменения в окружении. Прежде всего следует решить вопрос об алгоритмической природе внешнего фактора. Может ли реакция внешнего окружения вносить в общую картину некую неалгоритмическую составляющую, если внутреннее устройство нашей системы обучения является целиком и полностью алгоритмическим?

В определенных обстоятельствах (как, например, часто бывает при «обучении» искусственных нейронных сетей) реакция внешнего окружения заключается в изменении поведения экспериментатора (инструктора, преподавателя — в дальнейшем предлагаю называть его просто «учителем»), изменении намеренном и предпринимаемом с целью улучшить качество функционирования системы. Когда система функционирует так, как требует учитель, ей об этом сообщают, чтобы в дальнейшем (под воздействием внутренних механизмов модификации поведения системы) она с большей вероятностью функционировала бы именно таким образом. Предположим, например, что у нас имеется искусственная нейронная сеть, которую необходимо научить распознавать человеческие лица. Мы непрерывно наблюдаем за функционированием нашей системы и после каждого рабочего цикла снабжаем ее данными о правильности ее последних «догадок» для того, чтобы она могла улучшить качество своей работы, модифицировав нужным образом внутреннюю структуру. На практике, за адекватностью результатов каждого рабочего цикла совсем не обязательно должен наблюдать учитель-человек, так как процедуру обучения можно в значительной степени автоматизировать. В описанной ситуации цели и суждения учителя-человека образуют наивысший критерий качества функционирования системы. В других ситуациях реакция окружения может оказаться не столь «преднамеренной». Например, в процессе развития живых систем — предполагается, что эти системы все же функционируют в соответствии с некоторой нейронной схемой (или иной алгоритмической процедурой, например, генетическим алгоритмом, см. §3.7), вроде тех, что применяются в численном моделировании — в подобных внешних целях или суждениях вообще не возникает необходимости. Вместо этого, живые системы модифицируют свое поведение в процессе, который можно рассматривать как своего рода естественный отбор, действуя согласно критериям, эволюционировавшим на протяжении многих лет и способствующим увеличению шансов на выживание как самой системы, так и ее потомства.

 

⇐ Предыдущая20212223242526272829Следующая ⇒

Поделиться: