Физический феномен сознания

⇐ ПредыдущаяСтр 70 из 70

Во второй части книги мы, не выходя за пределы научно объяснимого, попытались отыскать, если можно так выразиться, место в физике, пригодное для размещения субъективного опыта. Как выяснилось, для успеха такого поиска сегодняшние границы научного понимания придется расширить. Я почти не сомневаюсь в том, что то фундаментальное изменение, которому неминуемо должна подвергнуться наша традиционная картина физической реальности, придет откуда-то со стороны феномена редукции квантового состояния. Прежде чем физика сможет смириться с чем-то, настолько чуждым всем современным физическим представлениям, как феномен сознания, следует ожидать полного пересмотра самих основ всех существующих философских воззрений на природу реальности. По этому поводу у меня есть кое-какие краткие замечания, которые я приведу очень скоро — в следующем, последнем, параграфе. А пока давайте попробуем ответить на несколько более простой вопрос: где в известном физическом мире, учитывая предложенные на этих страницах доказательства, можно надеяться отыскать сознание?

Необходимо с самого начала внести полную ясность: выводы из упомянутых доказательств и прочих моих рассуждений носят, по большей части, «отрицательный» характер. Мы убедились, например, что современные компьютеры сознанием не обладают, но мы по-прежнему слабо представляем себе, что именно в объекте приводит к возникновению у него сознания. Основываясь на собственном опыте, мы полагаем (по крайней мере, пока), что феномен этот обычно присущ биологическим структурам. На одном конце шкалы у нас люди, и тут, конечно же, сомнений почти нет — что бы ни представляло собой в действительности сознание, оно, в нормальном своем состоянии, так или иначе связано с бодрствующим (а возможно, и со спящим) человеческим мозгом.

Что же мы видим на другом конце шкалы? Я убежден, что фокус нашего внимания следует переместить с нейронов на микротрубочки цитоскелета: именно там, вероятнее всего, возникают коллективные (когерентные) квантовые эффекты — а без такой квантовой когерентности не будет и новой OR -физики, которая, как мне представляется, должна стать необходимым невычислительным условием для объяснения феномена сознания в научных терминах. Однако цитоскелеты есть у всех эукариотических клеток — клеток, из которых состоят растения и животные; эукариотами являются и одноклеточные организмы, такие как парамеции и амебы, но не бактерии. Следует ли из этого, что парамеция также обладает некоторым зачаточным сознанием? Возможно ли, чтобы парамеция «знала» (в любом смысле этого слова), что делает? А что же отдельные клетки человеческого тела — клетки мозга, например, или клетки печени? Может быть, когда мы поймем физическую природу процесса осознания настолько хорошо, что будем в состоянии ответить на эти вопросы, нам придется признать, что ничего такого уж нелепого в этих предположениях нет. Я не знаю. Знаю я лишь то, что проблема эта является целиком и полностью научной, а это значит, что когда-нибудь решение неизбежно будет найдено, вне зависимости от того, насколько далеки мы от этого решения сейчас.

Иногда утверждают — исходя из общих философских принципов, — что узнать, обладает ли способностью к осознанию какое бы то ни было существо, отличное от тебя самого, принципиально невозможно, не говоря уже о том, чтобы выяснить, нет ли каких-нибудь зачатков сознания у парамеции. Думаю, такая позиция чересчур узка и пессимистична. В конце концов, когда речь идет об установлении факта наличия у некоего объекта того или иного физического свойства, никто же не настаивает на абсолютной уверенности. Настанет время, и на вопросы, касающиеся способности к осознанию, мы будем отвечать с той же степенью уверенности, с какой сегодняшние астрономы высказываются о небесных телах, удаленных от нас на многие световые годы. Еще совсем недавно ученые утверждали, что нам никогда не узнать, из чего состоят Солнце и звезды и что находится на обратной стороне Луны. Сегодня у нас есть подробные карты обратной стороны Луны (фотосъемка из космоса), а состав Солнца изучен до мельчайших подробностей (наблюдение линий солнечного спектра, а также тщательное и подробное моделирование физических процессов, происходящих внутри Солнца). Известен нам и подробный состав далеких звезд, причем с очень хорошей точностью. Мы можем даже сказать (и в некоторых отношениях — сказать точно), из чего состояла вся Вселенная на начальных этапах ее развития (см. конец §4.5).

Однако в отсутствие необходимых теоретических идей суждения относительно обладания сознанием не выходят (по большей части) из разряда предположений. Мое собственное предположение по этому поводу таково: с некоторых пор я совершенно уверен, что на планете Земля сознание не является исключительной прерогативой человека. В одной из наиболее захватывающих телевизионных программ Дэвида Аттенборо101 был эпизод, после просмотра которого зрителям было трудно не поверить не только в то, что слоны, например, способны на сильные чувства, но и в то, что чувства эти не так уж далеки от тех, из каких в человеческих обществах возникают религии. Вожак стада — самка, потерявшая около пяти лет назад сестру, — ведет стадо на место ее гибели, значительно отклоняясь от обычного маршрута; прибыв на место и обнаружив останки, вожак очень осторожно поднимает с земли череп, а затем слоны начинают передавать его друг другу, поглаживая хоботами. То, что слоны способны и на понимание, убедительно, хотя и жутковато, показано в другой телевизионной программе102. Фильм, отснятый с вертолета, участвующего в операции, деликатно называемой «отбраковкой», очень хорошо передает ужас, охватывающий слонов, когда они до конца осознают, что происходит, и понимают, что никто из стада живым отсюда не уйдет.

Множество свидетельств имеется и в пользу наличия сознания (и самосознания) у человекообразных обезьян, и я почти не сомневаюсь, что феномен сознания присущ и животным формам, значительно менее «высокоорганизованным». Например, в еще одной телевизионной программе103 — рассказывающей о чрезвычайной ловкости, решительности и изобретательности белок (некоторых) — меня особенно поразил фрагмент, в котором белка сообразила, что перекусив проволоку, она сможет освободить контейнер с орехами, подвешенный на некотором расстоянии от нее. Вряд ли этот акт понимания был инстинктивным или вытекал из какого-то прошлого опыта белки. Для того, чтобы оценить, насколько положительным окажется результат ее действия, белка должна была понять хотя бы на элементарном уровне топологию всей конструкции (см. также §1.19). Мне представляется, что в данном случае мы наблюдали проявление подлинного воображения — а для этого, разумеется, необходимо сознание!

Почти не остается сомнений и в том, что сознание может «присутствовать» в разной степени — между «в полном сознании» и «без сознания» возможны и другие состояния. О себе, например, я могу сказать совершенно определенно: иногда я чувствую себя более «в сознании», иногда — менее (скажем, во время сна сознание присутствует в гораздо меньшей степени, чем когда я бодрствую).

Насколько же далеко мы должны зайти в наших поисках? На этот счет существуют самые различные мнения. Что касается меня, то я с трудом представляю себе, что сознанием (в какой бы то ни было степени) могут обладать насекомые — особенно после того, как я увидел документальный фильм о жизни насекомых, где было показано, как некий жук с жадностью пожирает другого жука, совершенно, по всей видимости, не обращая внимания на то, что его самого в это время ест третий. Тем не менее, как упоминалось в §1.15, поведение простого муравья отличается чрезвычайной сложностью и точностью. Надо ли полагать, что замечательно эффективные управляющие системы муравья работают вовсе без участия того принципа (каким бы он ни был), благодаря которому мы сами получаем способность понимать? Управляющие нейроны муравья также не лишены цитоскелетов, и если в этих цитоскелетах имеются микротрубочки, способные поддерживать квантовокогерентные состояния, которые, согласно моему предположению, играют ключевую роль в процессе осознания, то не следует ли из этого, что муравей является счастливым обладателем того же самого неуловимого сознания, что и мы с вами? Если же микротрубочки в человеческом мозге и в самом деле обладают той неимоверной сложностью, что необходима для поддержания коллективных квантовокогерентных процессов, то не совсем понятно, почему естественный отбор развил такую способность только в нас и в наших ближайших многоклеточных родственниках (в некоторых из них, по крайней мере). Такие квантовокогерентные состояния могли оказаться весьма полезными и для первых эукариотических одноклеточных, хотя в чем эта полезность могла бы состоять, мы можем только предполагать.

Одной лишь макроскопической квантовой когерентности для возникновения сознания, разумеется, недостаточно — иначе сознанием обладали бы и сверхпроводники! Однако вполне вероятно, что такая когерентность является частью того, что для сознания необходимо. Мозг обладает чрезвычайно сложной организацией, и поскольку сознание, по-видимому, представляет собой результат глобальной координации всевозможных мыслительных процессов, следует искать когерентность в масштабах, гораздо более крупных, нежели отдельные микротрубочки или даже целые цитоскелеты. Должна существовать существенная квантовая сцепленность между состояниями, поддерживаемыми внутри отдельных цитоскелетов во многих нейронах, — т.е. нечто вроде коллективного квантового состояния, охватывающего обширные области мозга. Однако и этого недостаточно. Для того, чтобы в системе могли происходить какие бы то ни было полезные невычислимые процессы — что я считаю существенной частью сознания, — необходимо, чтобы система была способна специфическим образом задействовать подлинно неслучайные (невычислимые) аспекты OR -процедуры. Предположение, которое я сделал в §6.12, дает нам (по крайней мере) некоторое представление о соответствующих масштабах, начиная с которых можно говорить о каком-то существенном действии точной и математически невычислимой OR -процедуры.

Таким образом, предложенные мною в настоящей книге соображения дают в некотором роде основу для высказывания правдоподобных догадок (пока, во всяком случае) относительно уровня, на котором можно ожидать возникновения способности к осознанию. Процессы, которые могут быть адекватно описаны в рамках вычислимой (или случайной) физики, не могут, согласно моей точке зрения, иметь отношения к сознанию. С другой стороны, даже существенное участие точной невычислимой OR -процедуры само по себе вовсе не обязательно подразумевает наличие сознания — хотя и является, на мой взгляд, необходимым для этого условием. Разумеется, критерию не достает определенности, однако ничего лучшего на данный момент у меня нет. Посмотрим, далеко ли он нас заведет.

Будем исходить из сделанных в §6.12 предположений относительно того, где должна проходить граница между классическим и квантовым уровнями, а также из изложенных в §§7.5-7.7 биологических умопостроений, согласно которым эту границу, возможно, следует искать где-то в области сопряжения внутренних и внешних процессов в системах микротрубочек клетки или совокупности клеток. В качестве существенного дополнения заметим, что если редукция вектора состояния происходит просто потому, что рассматриваемая система оказывается сцеплена с слишком большим объемом окружения, то процедуру OR можно считать эффективно случайным процессом, для описания которого вполне пригодна стандартная FAPP-аргументация (представленная в общих чертах в §6.6); процедура OR в данном случае полностью идентична процедуре R. Необходимо, чтобы эта редукция происходила в точности тогда, когда начинают действовать невычислительные (и пока неизвестные) правила нашей гипотетической OR -теории. Хотя об этих правилах мы ничего не знаем, мы можем (по крайней мере, в принципе) составить некоторое представление о том уровне, на котором теория начинает соответствовать реальности. Таким образом, для того, чтобы упомянутые невычислимые аспекты процедуры OR смогли сыграть свою роль, необходимо, чтобы та или иная квантовая когерентность поддерживалась до тех пор, пока перемещение вещества (вследствие взаимодействия между внутренними и внешними микротрубочковыми процессами) не достигнет определенного предела, как раз достаточного для того, чтобы OR -процедура произошла прежде, чем успеет вмешаться случайное окружение.

Что касается микротрубочек, то я предлагаю следующую картину: внутри трубок происходят «квантовокогерентные колебания», слабо связанные с вычислительной «клеточноавтоматной» активностью, обусловленной конформационными переходами димеров тубулина на внешней поверхности трубок. Пока квантовые колебания остаются изолированными, уровень для OR слишком низок. Однако, поскольку процессы внутри и снаружи связаны, квантовое состояние вскоре захватывает тубулины, и на некотором этапе происходит редукция (OR ). Необходимо, чтобы OR происходила прежде, чем с квантовым состоянием окажется сцеплено микротрубочковое окружение, потому что как только возникает такая сцепленность, невычислимые аспекты OR -процедуры теряются, и она превращается в «обычную» R -процедуру.

Итак, остается лишь выяснить, достаточна ли конформационная активность тубулина в отдельной клетке (в парамеции, например, или в клетке человеческой печени) для того, чтобы обусловленное ею перемещение масс удовлетворило бы критерию из §6.12 и процедура OR произошла бы именно тогда, когда нужно, или же этой активности недостаточно, и OR задержится до тех пор, пока окружение и в самом деле не возмутится, — и игра (призом в которой невычислимость) будет проиграна. Судя по первому впечатлению, так оно и есть — конформационная активность тубулина перемещает слишком малое количество вещества, и на требуемом уровне никакой OR -процедуры не происходит. Если же клеток много, ситуация выглядит гораздо более многообещающей.

Возможно, глядя на такую картину (в ее теперешнем виде) действительно не остается ничего другого, как предположить, что невычислительные условия для появления сознания могут возникнуть только в больших совокупностях клеток, что мы и имеем в случае достаточно большого мозга104. Однако я порекомендовал бы соблюдать (по крайней мере, на данном этапе) известную осторожность. Как физические, так и биологические аспекты предлагаемой картины сформулированы слишком приблизительно, чтобы можно было прямо сейчас делать какие-то однозначные выводы в отношении следствий из той точки зрения, которую я здесь представляю. Очевидно, что даже с учетом рассмотренных выше конкретных предложений потребуется еще немало исследований, как физических, так и биологических, прежде чем мы сможем сделать сколько-нибудь обоснованное предположение относительно места сознания в материальном мире.

Следует обратить внимание и на некоторые другие вопросы. Например, какая часть мозга действительно задействована в поддержании состояния сознания? Вероятнее всего, весь мозг для этого не требуется. Похоже на то, что многие функции мозга с сознанием никак не связаны. Взять хотя бы мозжечок (см. §1.14), который, как это ни поразительно, работает абсолютно бессознательно. Именно мозжечок отвечает за координацию и точность наших действий в тех случаях, когда эти самые действия выполняются без участия сознания (см., например, НРК, с. 379-381). Из-за полной бессознательности его функций мозжечок часто называют «просто компьютером». Было бы, несомненно, весьма поучительно выяснить, есть ли какие-нибудь различия (и если есть, то какие именно) между клеточной или цитоскелетной организациями мозжечка и головного мозга, поскольку именно с последним, по всей видимости, гораздо более тесно связано сознание. Интересно, что если судить лишь по количеству нейронов, то разница между мозгом и мозжечком невелика — в мозге нейронов всего лишь в два раза больше, чем в мозжечке, причем отдельные клетки в мозжечке образуют, в общем случае, значительно больше синаптических связей, чем клетки мозга (см. §1.14 и рис. 1.6). Очевидно, простым подсчетом нейронов тут не обойтись, следует искать глубже[59].

Возможно, что-либо поучительное удастся извлечь и из изучения процесса «научения», посредством которого движения, первоначально осознаваемые мозгом, переходят под бессознательный мозжечковый контроль. Не исключено, что «обучающие процедуры» мозжечка окажутся очень похожими на те, с помощью которых приверженцы коннекционистской философии обучают искусственные нейронные сети. Впрочем, даже если так оно и есть и даже если верно также то, что в терминах таких процедур можно объяснить (хотя бы частично) работу мозжечка — что подразумевается, например, в коннекционистском подходе к исследованию зрительной коры105 — нет никаких оснований полагать, что то же непременно окажется верно и в случае тех аспектов деятельности головного мозга, которые связаны с сознанием. В самом деле, как свидетельствуют представленные в первой части книги доказательства, для объяснения высших когнитивных функций, непосредственно связанных с сознанием, необходимо нечто, в корне отличное от коннекционизма.

Три мира и три загадки

Попробуем свести все вышесказанное вместе. На протяжении всей книги мы пытаемся найти ответ на главный вопрос: как можно соотнести феномен сознания с нашим научным мировоззрением? Надо признать, я мало что могу сказать о сознании вообще. Поэтому я сосредоточился (в первой части) на одном частном ментальном качестве: способности к сознательному пониманию, в частности, к математическому пониманию. Только на примере этого ментального качества я смог достаточно убедительно показать, что возникновение способности к пониманию в результате какой бы то ни было чисто вычислительной активности решительно невозможно, вычислением нельзя даже адекватно моделировать такую способность — особо следует отметить, что ничто в моих рассуждениях не указывает и на то, что математическое понимание в чем бы то ни было принципиально отличается от прочих видов понимания. Отсюда вывод: какая бы активность мозга ни отвечала за сознание (по крайней мере, в этом конкретном его проявлении), она должна основываться на физических процессах, описать которые численное моделирование неспособно. Во второй части мы попытались найти область в науке для соответствующего физического процесса, действительно способного вывести нас за пределы чистой вычислительности. Для того чтобы охватить встающие перед нами при этом фундаментальные проблемы, я воспользуюсь в дальнейшем метафорой трех различных миров и трех «великих загадок», связывающих эти миры вместе. Миры в чем-то похожи на те, что описывал Поппер (см. [309]), однако акценты я расставляю совершенно иначе.

Наиболее близок нам мир наших сознательных восприятий — знание об этом мире мы получаем самым непосредственным образом и о нем же мы знаем меньше всего в смысле точного научного описания. В этом мире есть счастье, боль и цвет. В нем хранятся наши самые ранние детские воспоминания и ждет своего часа страх смерти. В нем — любовь, понимание, знание различных фактов, а также невежество и мстительность. Этот мир содержит образы столов и стульев, здесь запахи, звуки и всевозможные ощущения смешиваются с нашими мыслями и решимостью действовать.

Известны нам и два других мира — не так непосредственно, как мир восприятий, но зато об этих мирах мы знаем довольно много всего. Один из них мы называем физическим миром. В нем находятся настоящие столы и стулья, телевизоры и автомобили, люди, человеческие мозги и импульсы нейронов. В этом мире есть Солнце, Луна и звезды. В нем же — облака, ураганы, скалы, цветы и бабочки, а на более глубоком уровне — молекулы и атомы, электроны и фотоны, время и пространство. Еще там есть цитоскелеты, димеры тубулина и сверхпроводники. Не совсем ясно, почему мир восприятий должен иметь что-то общее с физическим миром, однако, судя по всему, так оно и есть.

Что касается второго мира из упомянутых двух, то само его существование многими ставится под сомнение. Речь идет о платоновском мире математических форм. Здесь обитают натуральные числа 0, 1, 2, 3, … и алгебра комплексных чисел. Здесь мы найдем теорему Лагранжа о том, что любое натуральное число есть сумма четырех квадратов, и самую знаменитую из теорем евклидовой геометрии — теорему Пифагора (о квадратах сторон прямоугольного треугольника). Где-то здесь находится правило a × b = b × a для любых натуральных чисел и тот факт, что означенное правило не работает в случае «чисел» некоторых других типов (например, тех, что участвуют в грассмановом произведении, упомянутом в §5.15). Этот же платоновский мир содержит геометрии, отличные от евклидовой, геометрии, в которых теорема Пифагора неверна. Здесь есть бесконечность и невычислимость, рекурсивные и нерекурсивные ординалы. Здесь — незавершаемое действие машины Тьюринга и машина с оракулом, а также многие классы математических задач, неразрешимые вычислительными методами, такие как задача о замощении плоскости плитками полиомино. В этом мире мы встретим электромагнитные уравнения Максвелла и гравитационные — Эйнштейна, равно как и бесчисленные удовлетворяющие им теоретические пространства-времена, как реалистичные физически, так и совершенно невероятные. Именно здесь пребывают математические модели столов и стульев, которыми можно воспользоваться в «виртуальной реальности», а также модели черных дыр и ураганов.

Имеем ли мы право утверждать, что платоновский мир действительно является «миром» — миром, который «существует» в том же смысле, в каком существуют прочие два мира? Читателю, возможно, покажется, что это вовсе не мир, а просто какой-то пыльный склад для абстрактных концепций, которые понапридумывали математики. Однако существование мира математических идей опирается на фундаментальный, вневременной и универсальный характер этих самых идей и на тот факт, что описываемые ими законы никоим образом не зависят от тех, кто их открыл. Этот «склад» (если это и впрямь склад) построен не нами. Натуральные числа были в этом мире задолго до того, как на Земле появились первые человеческие существа — да и все остальные существа, если уж на то пошло, — и останутся после того, как вся жизнь во Вселенной исчезнет. То, что любое натуральное число есть сумма четырех квадратов, было истиной всегда, а вовсе не стало ею вдруг после того, как Лагранж призвал из небытия соответствующую теорему. Натуральные числа, настолько большие, что оказываются не по зубам любому компьютеру, какой вы можете вообразить, все равно являются суммами четырех квадратов, пусть даже мы никогда и не узнаем, квадратов каких именно чисел. Всегда будет истинным утверждение, что общей вычислительной процедуры для установления факта незавершаемости действия машины Тьюринга не существует, и оно всегда было истинным, задолго до того, как Тьюрингу пришло в голову его определение вычислимости.

Тем не менее, многие возражают, утверждая, что абсолютный характер математической истины никоим образом не является аргументом в пользу реальности «существования» математических концепций и математических истин. (Время от времени я слышу, что математический платонизм якобы устарел. Разумеется, мне известно, что сам Платон умер что-то около 2340 лет назад, однако едва ли это можно считать достаточной причиной! Более серьезную причину могут составить трудности, с которыми порой сталкиваются философы, пытаясь обосновать целиком и полностью абстрактный мир, способный оказывать реальное воздействие на мир физический. Эта фундаментальная проблема, собственно, является частью одной из тех загадок, к которым мы очень скоро перейдем.) На деле же идея реальности математических концепций вполне естественна для математиков, чего нельзя сказать о тех, кто никогда не испытывал радости исследования чудес и тайн того мира. Впрочем, на данном этапе от читателя не требуется соглашаться с тем, что математические концепции действительно образуют «мир», реальность которого сравнима с реальностью физического и ментального миров. Различия во взглядах на природу математических концепций для нас пока существенной роли не играют. Можете, если хотите, рассматривать «платоновский мир математических форм» как риторическую фигуру, введенную для удобства последующих рассуждений. Когда мы доберемся до трех загадок, связывающих эти три «мира», причина именно такого выбора слов, возможно, станет несколько яснее.

Что же это за загадки? Для начала взгляните на рис. 8.1. Первая загадка: почему столь точные и фундаментальные математические законы играют такую важную роль в поведении физического мира? Кажется, что сам мир физической реальности каким-то таинственным образом возникает из платоновского мира математики. Этот процесс проиллюстрирован направленной вниз стрелкой на рисунке справа — от платоновского мира к физическому. Вторая загадка: как физический мир порождает восприятие объектов в сознании? Каким таким таинственным образом сложно организованные материальные объекты производят из самих себя объекты ментальные? Этот процесс представлен на рис. 8.1 стрелкой внизу, направленной от физического к ментальному миру. И наконец, последняя загадка: как мысль «творит» из той или иной ментальной модели математическую концепцию? Эти по виду нечеткие, ненадежные и часто вовсе неподходящие ментальные инструменты, доставшиеся нам, похоже, в комплекте с ментальным миром, каким-то таинственным образом оказываются, тем не менее, способны (по крайней мере, когда они «в ударе») производить из пустоты абстрактные математические формы, открывая нам тем самым доступ, через посредство понимания, в платоновское царство чистой математики. Этот процесс символизирует стрелка слева на рисунке, направленная вверх, от ментального миру к платоновскому.

Рис. 8.1. Кажется, что каждый из трех миров — платоновский математический, физический и ментальный — неким таинственным образом «произрастает» из какой-то малой части своего предшественника (или, по крайней мере, очень тесно с этим предшественником связан).

Сам Платон большое внимание уделял первой из этих стрелок (а также, на свой лад, третьей), и неустанно подчеркивал различие между совершенной математической формой и ее несовершенной «тенью» в физическом мире. Так, сумма углов математического треугольника (евклидова треугольника, обязательно уточним мы сегодня) составляет ровно два прямых угла, тогда как углы физического треугольника, сделанного, скажем, из дерева со всей точностью, на которую мы способны, образуют в сумме угол, величина которого очень близка к требуемой, но все же не равна ей. Эти свои соображения Платон изложил в виде притчи. Он вообразил нескольких граждан, заточенных в пещере и прикованных таким образом, чтобы они не могли видеть находившихся за их спинами совершенных форм, отбрасывающих в свете костра тени на стену пещеры, доступную взорам прикованных граждан. Таким образом, люди непосредственно видели лишь несовершенные тени тех форм, к тому же искаженные неровным светом костра. Совершенные формы символизировали собой математические идеи, а тени на стене — мир «физической реальности».

Со времен Платона основополагающая роль математики в объяснении воспринимаемой структуры и действительного поведения физического мира возросла чрезвычайно. В 1960 году видный физик Юджин Вигнер прочел знаменитую лекцию под названием «Непостижимая эффективность математики в физических науках». В ней он отметил поразительную точность и хитроумную применимость замысловатых математических конструкций, которые физики регулярно и во все больших количествах обнаруживают в своих описаниях реальности.

Для меня наиболее впечатляющим примером эффективности математики является общая теория относительности Эйнштейна. Нередко можно услышать, что физики всего лишь подмечают время от времени, где именно на этот раз математические концепции оказались хорошо применимыми к физическому поведению. Утверждают, соответственно, что физики, как правило, направляют свои интересы в сторону тех областей, где имеющиеся математические описания работают; таким образом, нет ничего удивительного в том, что математические и физические описания так хорошо друг с другом уживаются. Мне, впрочем, представляется, что авторы подобных заявлений, что называется, попадают пальцем в небо. Они просто никак не объясняют то фундаментальное единство, которое, как показывает, в частности, теория Эйнштейна, существует между математикой и устройством мироздания. Когда Эйнштейн разрабатывал свою теорию, никакой действительной необходимости в ней, с экспериментальной точки зрения, не было. Ньютоновская теория тяготения держалась уже почти 250 лет и достигла за это время потрясающей точности (погрешность порядка одной десятимиллионной — одно это является достаточно убедительным доказательством глубинной математической основы физической реальности). Да, в движении планеты Меркурий была замечена аномалия, однако это, разумеется, не послужило поводом для отказа от схемы Ньютона. И все же Эйнштейн счел, что можно добиться лучшего результата, если изменить саму основу теории тяготения. В первые годы после того, как Эйнштейн обнародовал теорию относительности, в поддержку ее можно было привести лишь несколько наблюдаемых эффектов, а преимущество над теорией Ньютона в точности было крайне незначительным. Теперь же, по прошествии 80 лет, общая точность теории относительности возросла в миллионы раз. Эйнштейн не просто «подметил» повторяющиеся особенности поведения физических объектов. Он обнаружил фундаментальную математическую субструктуру, реально существующую и до тех пор скрытую в глубинах мироздания. Более того, он искал вовсе не какие-то физические феномены, которые могли бы подойти под красивую теорию. Он искал и нашел точное математическое соотношение, заложенное в самой структуре пространства и времени, — наиболее фундаментальное из всех физических понятий.

В основе всех других успешных теорий элементарных физических процессов всегда лежит некая математическая структура, которая оказывается не только чрезвычайно точной, но и весьма хитроумной математически. (А чтобы читатель не подумал, что «ниспровержение» прежних физических представлений — например, теории Ньютона — каким-то образом эти представления обесценивает и лишает смысла, спешу уверить, что это ни в коем случае не так. Если прежние идеи были достаточно обоснованны — что можно сказать, например, о теориях Галилея или того же Ньютона, — то они и дальше остаются в добром здравии и находят в новой схеме свое место.) Кроме того, и сама математика, в своем стремлении как можно точнее описать поведение природных объектов, находит для себя немало полезного, порой неочевидного и неожиданного. И квантовая теория (тесные взаимоотношения которой с математикой — через посредство комплексных чисел — очевидны, надеюсь, даже из того краткого обзора предмета, что попал на эти страницы), и общая теория относительности, и электромагнитные уравнения Максвелла — все они дали весьма ощутимый толчок развитию математики. Причем это верно не только для относительно новых теорий, что я перечислил. Не менее верно это и для теорий, куда более отдаленных от нас во времени, — например, для ньютоновской механики (давшей нам математический анализ) или древнегреческого анализа структуры пространства (которому мы обязаны самим понятием геометрии). Необычайная точность математики в описании физического поведения (например, точность квантовой электродинамики, достигающая одиннадцатого или даже двенадцатого знака после запятой) не раз удивляла ученых. Однако на этом загадки не заканчиваются. Концепции, скрывающиеся в физических процессах, обладают чрезвычайной глубиной, тонкостью и математической плодотворностью. Об этом люди зачастую и не подозревают — если, конечно, они не математики, вплотную занимающиеся соответствующей проблемой.

Следует особо подчеркнуть, что эта математическая плодотворность, дающая математикам ценный стимул в их работе, не является всего лишь следствием некоей математической моды (хотя и мода, надо признать, играет во всем этом свою роль). Идеи, которые были разработаны с единственной целью углубить наше понимание устройства физического мира, очень часто дают неожиданные и удивительно эффективные средства для решения других математических задач, которые уже какое-то время интенсивно и безуспешно пытаются решить другие люди совсем для других целей. В качестве одного из наиболее ярких недавних примеров можно привести найденное оксфордским математиком Саймоном Доналдсоном применение теорий типа Янга—Миллса (разработанных физиками в процессе отыскания математического объяснения взаимодействий между субатомными частицами) к исследованию четырехмерных многообразий106, в результате чего были объяснены некоторые совершенно неожиданные их свойства, над которыми ученые бились в течение нескольких предыдущих лет. Что самое интересное, все эти математические средства (несмотря на то, что мы и не подозревали об их существовании, пока нас не посетило соответствующее озарение) вечно пребывают в безвременьи платоновского мира — неизменные истины, ожидающие своего открытия и открывающиеся лишь тем, кто обладает достаточным мастерством, проницательностью и упорством.

Надеюсь, мне удалось убедить читателя в существовании тесной и вполне реальной (хотя и все еще крайне загадочной) взаимосвязи между платоновским математическим миром и миром физических объектов. Надеюсь также, что само наличие такой взаимосвязи поможет скептикам отнестись к платоновскому миру именно как к «миру» несколько более серьезно, нежели они полагали для себя возможным прежде. Может быть, кто-то даже шагнет еще дальше, на что я рамках данного обсуждения не осмелился. Возможно, реальностью в платоновском смысле следует наделить и прочие абстрактные концепции, а не только математические. Сам Платон настаивал, что идеальные понятия «добра» и «красоты» реальны (см. §8.3) ничуть не меньше, чем математические идеи. Лично у меня такая возможность никакого неприятия не вызывает, однако в моих размышлениях здесь она пока не играет сколько-нибудь серьезной роли. Я не уделил вопросам этики, морали и эстетики надлежащего внимания, однако это не повод для того; чтобы напрочь отказывать им в той же «реальности», какая досталась концепциям, которые рассмотрения удостоились. Безусловно, есть множество важных и разнообразных вопросов, которые следует изучить в этой связи, однако цели, что я ставил перед собой при написании этой конкретной книги, несколько уже107.

Не уделил я большого внимания и собственно загадке (стрелка 1 на рис. 8.1) той непостижимой и абсолютной роли, что платоновский математический мир играет в физическом мире, — даже того, что получили другие две, о которых мы имеем еще меньшее представление. В первой части я обращался, по большей части, к вопросам, поднимаемым третьей стрелкой: загадкой нашего восприятия математического мира, т.е. выяснением природы процесса, посредством которого сознательное размышление способно «порождать», словно из ничего, те самые платоновские математические формы. (Как будто совершенные математические формы суть лишь тени наших несовершенных мыслей.) Такой взгляд на платоновский мир — как на продукт нашего сознания — весьма серьезно противоречит воззрениям самого Платона. Для Платона мир совершенных форм первичен, поскольку лежит вне времени и не зависит от человека. В истинно платоновском представлении мою третью стрелку на рис. 8.1 следует, очевидно, направить не вверх, а вниз: от мира совершенных форм к миру нашего сознания. Если же мы рассматриваем математический мир как продукт наших способов мышления, то это будет уже не платоновское представление, которого я здесь придерживаюсь, а самое настоящее кантианство.

Возможно, кому-то захочется аналогичным образом оспорить и направления остальных моих стрелок. Например, епископ Беркли, скорее всего, предпочел бы развернуть вторую стрелку, направить ее от ментального мира к миру физическому, поскольку, согласно его представлениям, «физическая реальность» есть лишь тень нашего ментального существования. Есть и такие (так называемые «номиналисты»), кто выступил бы за разворот первой стрелки, так как, по их мнению, мир математики является не более чем отражением аспектов мира физической реальности. Я сам, как явствует из этой книги, являюсь весьма решительным противником разворота первых двух стрелок; возможно, не менее очевидно и то, что я чувствую себя несколько неловко, будучи вынужден направить третью стрелку на рис. 8.1 в направлении, явно кантианском! Для меня мир совершенных форм первичен (как и для Платона) — существование этого мира является чуть ли не логической необходимостью, — оба же прочих мира суть его тени.

По причине такого расхождения во мнениях относительно того, какой из миров на рис. 8.1 следует считать первичным, а какие вторичными, я порекомендовал бы взглянуть на стрелки несколько иначе. Существенным качеством стрелок на рис. 8.1 является не столько их направление, сколько тот факт, что каждая представляет такое соответствие, при котором лишь малая область одного мира «порождает» весь следующий мир целиком. Что касается первой стрелки: мне много раз указывали на то, что огромная часть мира математики (если судить по результатам деятельности самих математиков) если и имеет какое-то отношение к действительному физическому поведению, то весьма незначительное. Получите: в основе структуры нашей физической Вселенной может лежать лишь крохотная часть платоновского мира. Аналогичным образом, вторая стрелка символизирует тот факт, что существование нашего ментального мира есть продукт очень малой части мира физического — той части, где имеются в точности те условия, что необходимы для возникновения сознания, как, например, в мозге человека. Точно так же третья стрелка захватывает весьма небольшую область мира ментальной активности, а именно ту, что «заведует» абсолютными и вневременными вопросами — в особенности, математической истиной. Наша с вами ментальная жизнь проходит, по большей части, совсем в других местах.

Есть нечто парадоксальное в этих соответствиях: каждый мир, похоже, «возникает» всего лишь из крохотной части того мира, что ему предшествует. На рис. 8.1 я постарался этот парадокс подчеркнуть. Впрочем, я рассматриваю стрелки не как утверждения о каких-то действительных «возникновениях», а просто как символы имеющихся соответствий, поскольку не хочу умножать предрассудки, и без того окружающие вопрос о том, какой из миров следует считать первичным, вторичным или третичным, если там вообще уместно такое «старшинство».

И все же полностью избежать предрассудков (или просто предвзятости) на рис. 8.1 мне не удалось. Если верить рисунку, то следует предположить, что целый мир отражается частью (причем малой) своего предшественника. Возможно, мои предрассудки ошибочны. Возможно, какие-то аспекты поведения физического мира невозможно описать в точных математических терминах; возможно, какая-то ментальная жизнь не связана неразрывно с физическими структурами (такими, как мозг); возможно также, что существуют математические истины, которые принципиально недоступны человеческому пониманию или интуиции. Для того, чтобы учесть все эти альтернативные возможности, рисунок 8.1 следует перерисовать таким образом, чтобы какие-то из миров (или все) охватывались стрелкой из предыдущего мира не полностью.

В первой части я большое внимание уделил некоторым следствиям из знаменитой теоремы Гёделя о неполноте. Кто-то из читателей, возможно, придерживается мнения, что теорема Гёделя как раз и утверждает, что в мире платоновских математических истин имеются области, принципиально недоступные человеческому пониманию или интуиции. Надеюсь, что мои доказательства ясно показали, что это не так108. Те математические предположения, что упоминаются в остроумном доказательстве Гёделя, человеку вполне доступны — при условии, что они построены в рамках математических (формальных) систем, которые уже приняты нами как достоверные средства оценки математической истинности. Из доказательства Гёделя отнюдь не следует, что существуют недоступные математические истины. Из него следует лишь, что человеческая интуиция не укладывается ни в рамки формальной аргументации, ни в рамки вычислительных процедур. Более того, из него недвусмысленно следует само существование платоновского математического мира. Математическая истина не определяется произвольным образом по правилам некоей «искусственной» формальной системы, но имеет абсолютный характер и находится вне любой такой системы устанавливаемых правил. Поддержка платоновского мировоззрения (в противовес формализму) была одной из важных причин, побудивших Гёделя взяться за работу. С другой стороны, рассуждения Гёделя могут служить иллюстрацией глубокой непостижимости нашего математического восприятия. Для того чтобы такое восприятие возникло, мы не просто «вычисляем»; тут на самом глубинном уровне задействовано что-то еще — что-то, что было бы невозможно без собственно осознания, которое, в конечном счете, и формирует мир восприятий.

Во второй части мы занимались в основном вопросами, имеющими отношение ко второй стрелке (хотя их адекватное рассмотрение невозможно без некоторых отсылок к стрелке первой), посредством которой плотный физический мир способен каким-то образом вызывать теневой феномен, называемый нами сознанием. Как же из таких, казалось бы, бесперспективных ингредиентов, как материя, пространство и время, возникает такой тонкий феномен, как сознание? До ответа мы так и не добрались, однако я надеюсь, что читатели смогли составить представление о загадочной природе как самой материи, так и пространства-времени, в рамках структуры которого оперируют теперь физические теории. Мы просто-напросто не располагаем достаточными знаниями ни о природе материи, ни о законах, которые этой материей управляют, — достаточными для того, чтобы понять, какая ее организация (в физическом мире) необходима, чтобы возникло осознающее себя существо. Более того, чем глубже мы исследуем природу материи, тем более эфемерной, таинственной и математической эта материя становится. Мы можем спросить: что же такое материя согласно лучшим теориям, которыми располагает на настоящий момент наука? Ответ мы получим математический, причем не в столько виде системы уравнений (хотя и уравнения тоже важны), сколько в виде тонких математических концепций, для одного лишь правильного понимания которых потребуется некоторое время.

Если общая теория относительности Эйнштейна показала, насколько могут измениться, приняв таинственный и математический вид, наши самые, казалось бы, незыблемые понятия о природе пространства и времени, то с концепцией материи аналогичную шутку сыграла квантовая механика. Глубокое потрясение испытали не только представления о материи, но и наше видение реальности вообще. Как может быть так, что одна лишь контрфактуальная возможность какого-либо события — т.е. что-то, чего в действительности не произошло, — оказывает вполне ощутимое воздействие на то, что в этой самой действительности происходит? При всей непостижимости проявлений квантовой механики в ней есть что-то такое, что по крайней мере кажется куда более близким (чем все, что может предложить классическая физика) к другой непостижимости, — той, за которой скрывается объяснение феномена ментальности в мире физической реальности. Я нисколько не сомневаюсь в том, что с появлением более глубоких теорий сознание наконец займет свое место в физическом мире и перестанет выглядеть на его фоне той «белой вороной», какой оно выглядит сегодня.

В §§7.7 и 8.6 я попытался ответить на вопрос, какие физические условия могут оказаться подходящими для возникновения феномена сознания. Я, однако, никоим образом не рассматриваю сознание исключительно как результат когерентного перемещения надлежащего количества вещества согласно правилам той или иной OR -теории квантово-классического интерфейса. Как я, надеюсь, достаточно ясно показал, все эти вещи всего лишь дают возможность расчистить в пределах современной физической картины мира место для невычислительных процессов. Подлинное сознание предполагает способность осознавать бесконечное разнообразие качественно различных вещей — зеленый цвет травы, запах цветов, пение птиц или мягкость меха, а также течение времени, радость, беспокойство, удивление или отношение к новой идее. Мы имеем идеалы, питаем надежды, выражаем намерения и усилием воли управляем множеством различных движений нашего тела, необходимых для реализации упомянутых намерений. Благодаря исследованиям в области нейроанатомии, неврологических нарушений, психиатрии и психологии, мы многое знаем о тонких взаимосвязях между физическими свойствами мозга и нашими ментальными состояниями. Все это мы, несомненно, вполне способны объяснить в терминах одной лишь физики критических объемов когерентного перемещения вещества. Однако без прорыва в новую физику мы так и останемся связаны смирительной рубашкой полностью вычислительной (или вычислительной вперемешку со случайной) физики. Внутри мы не найдем научного объяснения ни интенциональности, ни субъективному опыту. Вырвавшись же из пут, мы получаем, по крайней мере, шанс когда-нибудь такое объяснение отыскать.

Многие, кто с этим согласится, добавят, что объяснения таким вещам не даст никакая научная картина. Тем, кто придерживается подобных взглядов, я могу лишь пожелать проявить немного терпения: подождем и посмотрим, как продвинется наука в будущем. Я думаю, что уже сейчас имеются некоторые указания (в загадочных процедурах квантовой механики) на то, что ментальные концепции стали ближе к нашим представлениям о физической вселенной, нежели прежде, — пусть и всего лишь чуть ближе. Я убежден, что с обнаружением необходимых новых физических принципов эти указания станут куда более отчетливыми. Науке еще есть куда развиваться; уж в этом-то сомневаться не приходится.

Более того, сама возможность понимания таких вещей человеком многое говорит о тех способностях, что дает нам сознание. Следует признать, что время от времени встречаются люди — например, Ньютон и Эйнштейн, Архимед и Галилей, Максвелл и Дирак; или Дарвин, Леонардо да Винчи, Рембрандт, Пикассо, Бах, Моцарт, Платон или те великие умы, что смогли породить такие шедевры, как «Илиада» или «Гамлет», — которые, по-видимому, наделены способностью «чувствовать» истину или красоту в значительно большей степени, нежели отпущено остальным. Однако единство с этой природной механикой потенциально присутствует во всех нас, проявляясь в способности к сознательному пониманию и ощущениям, на каком бы уровне эти процессы ни происходили. Каждый осознающий себя мозг сплетен из тончайших физических составляющих, неясным пока образом извлекающих сознание из фундаментальной структуры математически обусловленной Вселенной — с тем, чтобы мы, в свою очередь, смогли, вооружившись платоновским «пониманием», получить своего рода прямой доступ к первопричинам функционирования Вселенной на всевозможных уровнях.

Вопросы эти чрезвычайно глубоки и пока еще очень далеки от объяснения. Я утверждаю, что однозначных ответов мы не получим до тех пор, пока не поймем, как именно взаимодействуют между собой все три мира. Не получим мы ответов и в том случае, если будем пытаться разрешить каждый из вопросов отдельно от остальных. Я говорил о трех мирах и трех загадках, связывающих их друг с другом. Разумеется, в действительности миров вовсе не три — мир всего один, и о его истинной природе мы все еще не имеем ни малейшего представления.

Эпилог

Джессика с отцом вышли из пещеры. Снаружи было уже совсем темно и тихо, в прозрачном небе начали появляться звезды. Джессика повернулась к отцу.

— Знаешь, пап, вот я смотрю в небо, и мне все равно не верится, что Земля и вправду движется — и не только сама крутится вокруг оси, так еще и летит куда-то со скоростью сто тысяч километров в час, — хоть на самом деле я и знаю, что все это должно быть правдой.

Она замолчала и некоторое время просто стояла, глядя на звезды.

— Пап, расскажи мне о звездах…

Комментарии

См., в частности, [162], [263], [267].

Моравек [267] основывает свои доводы в пользу такого срока на том, какая, по его мнению, часть коры головного мозга успешно реализована в виде модели (речь, в основном, идет о нейронах, расположенных в сетчатке), и на оценке темпов развития компьютерной технологии в ближайшем будущем. Любопытно, что к началу 1994 года он своего мнения не изменил; см. [268].

Эти четыре точки зрения были подробно описаны, например, в [215], с. 252 (следует, впрочем, отметить, что условие, называемое автором статьи «тезисом Черча—Тьюринга», является, по своей сути, скорее «тезисом Тьюринга» (в том смысле, в каком я употребляю этот термин в §1.6), нежели «тезисом Черча»).

Например, Д.Деннет, Д.Хофштадтер, М.Мински, X.Моравек, Г.Саймон; подробнее о терминах можно прочесть в [340], [243].

См. [267].

[369]; см. также НРК, с. 5-14.

См. [340], [341].

Вопрос осложняется тем, что современная физика рассматривает, по большей части, непрерывные, а не дискретные (цифровые) процессы. Самый смысл термина «вычислимость» в данном контексте можно трактовать по-разному. С некоторыми рассуждениями на данную тему можно ознакомиться в [312], [346], [313], [314], [315], [316], [29], [327], [328]. К этому вопросу я еще вернусь в §1.8.

Этой замечательной фразой я обязан диктору ВВС Radio 4, ведущему программу «Мысль дня».

Исследования в области создания ИИ начались в 1950-е годы с весьма успешного применения сравнительно элементарных нисходящих процедур (например, Грей Уолтер, 1953). Распознающий образы «перцептрон» Фрэнка Розенблатта [323] стал в 1959 году первым удачным «связным» устройством (искусственной нейронной сетью), вызвав тем самым значительный интерес к схемам восходящего типа. В 1969 году Марвин Мински и Сеймур Пейперт указали на некоторые существенные ограничения, присущие данному типу восходящей организации (см. [264]). Способ обойти эти ограничения предложил некоторое время спустя Хопфилд [207], и в настоящий момент искусственными устройствами, функционирующими по типу нейронной сети, активно занимаются ученые всего мира. (О применении таких устройств, например, в физике высоких энергий см. [19] и [142].) Что касается ИИ нисходящего типа, то здесь важными вехами стали работы Джона Маккарти [248] и Алана Ньюэлла в сотрудничестве с Гербертом Саймоном [272]. Впечатляющее изложение истории исследований проблемы ИИ можно найти в [124]. Из прочей литературы порекомендую [175], [15] (относительно недавние размышления о процедурах и перспективах ИИ); [98] (классическая критика идеи ИИ); [140] (свежий взгляд на проблему от пионера ИИ); также см. статьи в сборниках [40] и [221].

Описание λ -исчисления см. в [52] и [223].

Из различных публикаций, посвященных данной проблематике, могу порекомендовать, например, [312], [346], [316], [29]. Вопрос о функционировании мозга в связи с упомянутыми проблемами рассмотрен, в частности, в [326].

В действительности Роберт Бергер доказал, что общего алгоритмического решения не имеет лишь задача о замощении плоскости плитками Вана. Плитки Вана (названные так в честь математика Хао Вана) представляют собой единичные квадраты с окрашенными краями; при замощении цвета соседних плиток должны совпадать, сами же плитки при этом нельзя ни вращать, ни переворачивать. Впрочем, для любого набора плиток Вана несложно составить такой набор полиомино, которым можно будет замостить плоскость тогда и только тогда, когда ее можно замостить соответствующим набором плиток Вана. Таким образом, неразрешимость вычислительными методами задачи о замощении плоскости набором полиомино непосредственноследует из неразрешимости задачи о замощении плоскости набором плиток Вана.

В связи с задачей о замощении плоскости полиомино следует отметить, что если каким-либо набором полиомино не удается замостить плоскость, то этот факт вполне возможно установить вычислительным путем (точно так же, как мы можем предсказать остановку машины Тьюринга или убедиться в наличии решения у системы диофантовых уравнений), нужно лишь попытаться замостить плитками данного набора квадратную область размера n × n (последовательно увеличивая значение n ); замостить всю плоскость не удастся уже при некотором конечном значении n. Алгоритмическим путем невозможно установить как раз те случаи, когда данным набором плиток можно-таки замостить плоскость.

О некоторых чересчур оптимистичных прогнозах относительно ИИ можно прочесть в [124].

Своим знакомством с этими вопросами я обязан очень многим людям, среди которых хочу особо поблагодарить Ли Левингера. Замечательное исследование связи современной физики и вычислительных методов с проблемами человеческого поведения можно найти в книге [200].

Сломен [344], например, пеняет мне на то, что в НРК я слишком часто прибегаю к такому неопределенному термину, как «сознание», в то время как сам он весьма свободно оперирует еще более неопределенным (на мой взгляд) термином «разум»!

См. [340], [341].

См. статью Серла [340] (ее также можно найти в сборнике [203], с. 372). Мне, правда, не совсем ясно, к какой точке зрения Серл склонился бы сейчас, к B или все же к C.

Занимательное рассмотрение подобного предположения представлено в [202]; см. также НРК, с. 21-22.

Суть понятия «алгоритмической сложности» доступным языком изложена в [45].

См. [208].

См. [124].

См., например, [268].

О доказательстве Лукаса см. [320], [345], [24], [163], [164], [236], [237], [202], [37]; см. также [247]. Что касается моей версии, кратко представленной в НРК, с. 416-418, то где только ее не критиковали: см., в особенности, [344] и многочисленные статьи в Behavioral and Brain Sciences: [36], [42], [46], [73], [74], [80], [97], [154], [199], [220], [251], [250], [253], [269], [307], [324], [366], [386]; мои ответы на критику см. в [292], [298] и [178]; см. также [95], [294].

Примеры взяты из какой-то английской телевизионной программы; возможно, из «Машины мечты» (The Dream Machine, декабрь 1991 г.) — четвертой из цикла программ ВВС «Мыслящая машина» (The Thinking Machine). О последних достижениях в области «искусственного понимания», а в особенности о захватывающем проекте Дугласа Лената «CYC» можно прочесть в [124].

Весьма живо и популярно все это описано в [389].

Подобное предположение выдвинул, например, Ричард Доукинс в своих «Рождественских лекциях» (ВВС, 1992 г.).

См., например, рассказ Фридмена [124] о работе Лената и других исследователей в этом направлении.

Кому-то, возможно, покажется, что это совершенно «очевидно» и уж никак не может служить предметом спора среди математиков! Проблема, однако, существует, и возникает она в связи с понятием «существования» применительно к большим бесконечным множествам. (См., например, [350], [329], [266].) На примере парадокса Рассела мы уже убедились, что в таких вопросах необходимо проявлять особую осторожность.

Согласно одной точке зрения, множество не считается необходимо существующим, если нет четкого правила (не обязательно вычислимого), устанавливающего, какие элементы в это множество следует включать, а какие — нет. Как раз этого правила аксиома выбора нам и не предоставляет, поскольку в ней нет правила, определяющего, какой элемент следует взять из каждого множества совокупности. (Некоторые из следствий аксиомы выбора интуитивно не понятны и почти парадоксальны. Вероятно, в этом и состоит одна из причин возникновения разногласий по данному вопросу. Более того, я не совсем уверен, что знаю, какой позиции придерживаюсь в этом отношении я сам! )

В заключительной главе своей книги, написанной в 1966 году, Коэн подчеркивает, что, хотя он и показал, что континуум-гипотеза является НЕРАЗРЕШИМОЙ в рамках процедур системы ZF, вопрос о том, является ли она действительно истинной, был оставлен им без внимания, — и выдвигает некоторые предположения относительно того, каким образом этот вопрос можно действительно решить! То есть Коэн, со всей очевидностью, не считает, что выбор между принятием или непринятием континуум-гипотезы есть предмет абсолютно произвольный. Это расходится с нередко высказываемым относительно следствий из результатов Гёделя—Коэна мнением, суть которого сводится к тому, что существуют многочисленные «альтернативные теории множеств», для математики в равной степени «справедливые». Такие замечания свидетельствуют о том, что Коэн, подобно Гёделю, является подлинным платонистом, для которого вопросы математической истины ни в коем случае не произвольны, но абсолютны. Очень похожих взглядов придерживаюсь и я, см. §8.7.

См., например, [202], [37].

См., например, различные комментарии, приведенные в Behavioral and Brain Sciences, 13 (1990), 643-705.

Терминология была предложена Хофштадтером в [202]. Согласно «другой» теореме Гёделя — так называемой теореме о полноте, — подобные нестандартные модели существуют всегда.

Вообще говоря, это зависит от того, какие именно утверждения считать частью так называемой «евклидовой геометрии». Если пользоваться обычной терминологией логиков, то система «евклидовой геометрии» включает только утверждения некоторого частного вида, причем оказывается, что истинность или ложность этих утверждений можно определить с помощью алгоритмической процедуры; отсюда и утверждение, что евклидову геометрию можно описать с помощью формальной системы. Однако в других интерпретациях обычная «арифметика» тоже могла бы считаться частью «евклидовой геометрии», что допустило бы классы утверждений, которые невозможно разрешить алгоритмическим путем. То же самое произошло бы, если бы мы рассмотрели задачу о замощении плоскости полиомино как составляющую евклидовой геометрии, что, казалось бы, вполне естественно. В этом смысле описать геометрию Евклида формально ничуть не проще, чем арифметику!

См. комментарий М. Дэвиса в [74].

См. также [231], [232] и [163].

О некоторых проблемах, с которыми сталкивались компьютерные системы, пытавшиеся самостоятельно «делать математику», можно прочесть у Д. Фридмана [124]. Отметим, что в общем случае такие системы не слишком преуспели. Они по-прежнему остро нуждаются в помощи человека.

Цитата приводится по [329] и [376]. Она, судя по всему, является частью Гиббсовских лекций Гёделя, прочитанных в 1951 году; полный текст имеется в Собрании сочинений Гёделя, том 3 [160]. См. также [377], с. 118.

См. [198], с. 361. Цитата взята из лекции Тьюринга, прочитанной в 1947 году перед Лондонским математическим обществом и приводится по изданию [370].

Упомянутая процедура заключается во вложении системы ZF в систему Гёделя—Бернайса; см. [56], глава 2.

См. [181], с. 74.

Это самое количество состояний Вселенной (число порядка 1010123 или около того) представляет собой объем доступного фазового пространства (измеренный в абсолютных единицах из §6.11) некоторой области, содержащей в себе такое количество вещества, какое заключено внутри наблюдаемой нами в настоящий момент Вселенной. Величину этого объема можно оценить, применив формулу Бекенштейна—Хокинга для энтропии черной дыры с массой, равной массе упомянутого количества вещества, и найдя экспоненту от этой энтропии (в абсолютных единицах из §6.11). См. НРК, с. 340-344.

См. [267], [268].

См., напр., [102] (и НРК, глава 9).

Популярно об этих исследованиях рассказано в [153] и [337].

Из классической теории фон Неймана и Моргенштерна (1944).

См. [153], [337].

Популярное изложение этих вопросов можно найти в [350], [351] и [329].

Гипотеза Тебо — это весьма занимательная (и даже не слишком сложная) теорема из плоской евклидовой геометрии, которую, тем не менее, не так-то просто доказать непосредственно. Как выяснилось, единственный способ ее доказательства заключается в том, чтобы отыскать подходящее обобщение (что сделать не в пример легче), а уже затем выводить требуемый результат в виде особого случая. Такая процедура довольно широко распространена в математике, однако для компьютеров она, как правило, совершенно не годится, поскольку отыскание необходимого обобщения требует немалой изобретательности и способности разбираться в сути проблемы. Компьютерное же доказательство подразумевает наличие некоей четкой системы нисходящих правил, которым машина в дальнейшем и следует неуклонно с поражающей воображение скоростью. В данном случае львиная доля человеческой изобретательности как раз и пошла в первую очередь на разработку эффективной системы таких нисходящих правил.

Исторический обзор некоторых таких попыток можно найти у Д. Фридмана [124].

Это заявление следует рассматривать с учетом сказанного в §1.8; оно опирается на общепринятое допущение, согласно которому аналоговые системы можно без особого ущерба для точности рассматривать с помощью численных методов. См. также источники, указанные в примечании 12.

Предположение о том, что нейроны представляют собой нечто большее, чем просто «двухпозиционные переключатели», как считалось раньше, похоже, находит поддержку в самых широких научных кругах. См., например, книги Скотта [339], Хамероффа [183], Эдельмана [111] и Прибрама [319]. Как мы увидим в главе 7, некоторые идеи Хамероффа оказываются в нашем контексте чрезвычайно значимыми.

См. статьи Г.Фрелиха [129], [130], [131], [132], [133]; дальнейшее развитие эти идеи получили в работах Маршалла [258], Локвуда [243], Зохара [397] и др. В нашем исследовании они также сыграют немаловажную роль; см. §7.5 и [18].

См., например, [346], [316], [29] и [328].

Замечательные описания игры Конуэя «Жизнь» можно найти в [137], [311] и [391].

Подробное описание этих экспериментов приведено в [40].

См., напр., [81], с. 49.

Одно из таких соотношений — «первый закон термодинамики»: dE = dS - pdV. Буквами E, T, S, p и V здесь обозначены, соответственно, энергия, температура, энтропия, давление и объем газа.

См., напр., [81].

[333]; см. также [265], с. 428.

Весьма живописное, но не очень детальное изложение сути второго закона термодинамики имеется в НРК (глава 6). Интересующихся подробностями отсылаю к [69], а тех, кто не боится трудностей, — к [288].

См. [296], [299] и [396].

Первый проект конкретного эксперимента такого рода был предложен Клаузером, Хорном и Шимони (см. [54] и [55]).

Первые эксперименты, результаты которых указывали на подтверждение предсказания квантовой нелокальности, были проведены Фридманом и Клаузером [125]; несколькими годами позже Аспект, Гранжье и Роже [14] получили существенно более полные и однозначные результаты (см. также [13]).

Известно еще одно «классическое» объяснение тех ЭПР-эффектов, что наблюдались Аспектом и прочими экспериментаторами. Объяснение это (так называемый «коллапс с запаздыванием ») предложил Юэн Сквайре [356], исходя из допущения, что реальные моменты выполнения измерения детекторами в двух удаленных друг от друга точках может разделять довольно существенный промежуток времени. Это допущение рассматривается в контексте некоей теории — само собой, нетрадиционной, вроде тех, что встретятся нам в §§6.9 или 6.12, — где делаются вполне конкретные предсказания относительно вероятного момента времени, в который реально выполняется каждое из двух квантовых измерений. Поскольку оба эти момента подвержены влиянию всевозможных случайных факторов, ничто не мешает предположить, что один из детекторов выполнит измерение существенно раньше, чем другой, — настолько раньше, что этого времени вполне хватит на то, чтобы сигнал от первого детектора, распространяясь со скоростью света, достиг второго детектора и передал ему информацию о результате выполненного измерения.

Согласно такой точке зрения, всякое квантовое измерение сопровождается «информационной волной», распространяющейся со скоростью света в направлении от события измерения. Это представление полностью согласуется с классической теорией относительности (см. §4.4), однако противоречит, на достаточно больших расстояниях, квантовой теории. В частности, коллапсом с запаздыванием невозможно объяснить описанные в §5.3 свойства магических додекаэдров. Разумеется, соответствующего «эксперимента» пока еще никто не проводил, и можно вполне безнаказанно уверять себя в том, что уж в этом-то случае предсказания квантовой теории нипочем не подтвердятся. У меня, однако, имеется и более серьезное возражение: попытка применения теории «коллапса с запаздыванием» к другим квантовым измерениям сталкивается с серьезными трудностями, приводящими в конечном итоге к нарушению всех стандартных законов сохранения. Например, два достаточно разнесенных детектора смогут при таком раскладе уловить одну и ту же, скажем, α -частицу, испускаемую при распаде радиоактивного атома, что разом нарушает законы сохранения энергии, электрического заряда и барионного числа! (При достаточно большом расстоянии между детекторами «информационной волне» от первого детектора просто-напросто не хватит времени для того, чтобы успеть «предупредить» второй детектор, запретив ему тем самым принимать ту же α -частицу.) Впрочем, «статистически» законы сохранения в данном случае все равно действуют, и мне не известно ни об одном реальном измерении, опровергающем это допущение. Одну из последних оценок статуса соответствующей теории можно найти в [204].

Как сообщил мне Абнер Шимони, Кохен и Спекер к тому времени уже самостоятельно пришли к соответствующей переформулировке.

Примеры с другими геометрическими конфигурациями можно найти в [305], [260] и [299].

Для того чтобы получить самое эффективное «полусеребрёное зеркало», никакого серебра не требуется вовсе, достаточно взять пластину любого прозрачного материала соответствующей толщины, определяемой длиной волны падающего света. Нужный эффект будет достигнут посредством сложной комбинации многократных внутренних отражений и пропусканий, окончательным результатом чего станут два равных по интенсивности луча света — отраженный и прошедший сквозь. Фазовый сдвиг на четверть длины волны (обусловливающий появление того самого коэффициента i ) возникает вследствие «унитарности» окончательного разделения исходного луча света на прошедший и отраженный лучи. Более подробное обсуждение имеется в [224].

См., например, [94] или [70].

Фазовый коэффициент для отраженного состояния я выбрал здесь, в некотором смысле, произвольно. Он частично зависит от того, какого рода зеркало используется. В данном случае, кстати, зеркала могут быть и в самом деле серебрёными, в отличие от «полусеребрёного зеркала» (прекрасно обходящегося вовсе без серебра) в Примечании 68. Выбранный мною коэффициент i представляет собой своего рода компромисс с целью достижения внешнего согласия с коэффициентом, получаемым для «полусеребрёных зеркал». Вообще говоря, до тех пор пока мы остаемся последовательными в отношении обоих типов участвующих в эксперименте зеркал, не так уж и важно, какой именно коэффициент выбирается для описания отражения от зеркал непрозрачных.

См., например, [225], а также ссылки, перечисленные в примечании 67.

Упомянутое в §5.16 «бозонное» свойство фотонов можно (в некотором смысле) рассматривать как пример проявления квантовой сцепленности, в каковом случае у нас имеется экспериментальное подтверждение и для взаимодействия на сверхбольших расстояниях — результаты наблюдений, полученные Хэнбери Брауном и Твиссом [187, 188] (см. примечание [40]).

См. [116], [382], [90] и [143].

См. [355] и [357].

См. [23].

В [3] приводится другой весьма серьезный довод в пользу объективной реальности волновой функции.

См., например, [82].

См. [82], [399], [400] и [283].

Именно к этому, похоже, сводятся результаты программы SETI[60], у истоков которой стоял Ф.Дрейк.

Мое собственное предположение безоговорочно принадлежит к «гравитационному» лагерю, хотя сколько-нибудь конкретный вид оно обрело лишь недавно (см. [295] и [300]). С оригинальным предположением Гирарди—Римини—Вебера его объединяет идея о том, что редукция должна представлять собой внезапный, дискретный процесс. Большинство же современных исследователей, вслед за Перлом [284], склонны рассматривать редукцию состояний как процесс непрерывный (стохастический). См. [93], [148] и [303]. Аналогичные рассуждения, но с попыткой сохранения совместимости предлагаемой схемы с теорией относительности, представлены в [149], [151] и [152].

[334], также см. НРК, с. 290-296.

См. также [92], [147] и [295].

См. [392].

См. [379], [39].

Впрочем, похоже, что предложенный здесь критерий отвечает общим требованиям, изложенным в НРК (глава 7), гораздо лучше (как я, собственно, и предполагал в [295]), нежели сформулированный все в том же НРК «одногравитонный критерий». Для того, чтобы составить об этом соответствии более конкретное представление, необходимы дополнительные исследования.

См. [293]; а также НРК, с. 220-221.

См., напр., [242].

См. [128], [139], [11] и [134].

Напр., [101].

См. [184], [183] и [186]. В недавней работе [371] указывается, что такая обработка информации может осуществляться только в микротрубочках, организованных в виде так называемых «A-решеток» (именно эта структура и показана на рис. 7.4, 7.8 и 7.9), тогда как более распространенная организация в виде «B-решетки» (с характерным «швом», проходящим вдоль трубки, см. [254]), для обработки информации не годится.

См. [229] (доступно о клатринах) и [66] (популярное описание фуллеренов).

См. [363].

Например, полученное Хамероффом время переключения димеров тубулина, по-видимому, согласуется с частотой, предсказанной Фрёлихом (~ 5 × 1010 Гц).

См., напр., [211, 212] и [348, 349].

Эта идея описана в одном из черновых вариантов статьи Дэвида Дойча «Квантовая механика вблизи замкнутых времениподобных линий» [85], однако в опубликованную статью она не попала. Дэвид уверил меня в том, что он убрал этот кусок из окончательного варианта статьи не потому, что счел идею «ошибочной», а потому лишь, что она не имела непосредственного отношения к теме статьи. Как бы то ни было, в рамках моей собственной «темы» ценность идеи заключается не в том, чтобы она была «корректной» по меркам той или иной системы взглядов на квантовую гравитацию — поскольку такой системы взглядов (непротиворечивой) в настоящий момент все равно нет, — но в том, чтобы она содержала в себе потенциал для дальнейших исследований, а этого в идее Дойча с избытком!

Во всяком случае, в рамках наших обычных физических представлений о времени «течение» времени в будущее ничем не отличается от «течения» времени в прошлое. (Однако, благодаря второму закону термодинамики, осуществить эффективное «после сказанне» прошлого с помощью временной эволюции уравнений динамики невозможно.)

См. также [81].

У людей, видевших фильм «Краткая история времени», в котором рассказывается о Стивене Хокинге и его работе, могло создаться весьма занятное представление о моих взглядах на связь сознания с течением времени. Пользуясь предоставившейся возможностью, заявляю, что все это — чистое недоразумение, вызванное ошибками при монтаже фильма.

Для получения более подробных сведений о твисторах см. также [302], [378] и [16].

См., напр., [242].

100

Эту идею мне описал Жоэль де Роснэ.

101

«Слоны» (Echo of the elephants, ВВС, январь 1993).

102

«Если не пойдут дожди» (If the rains don't come, ВВС, сентябрь 1993).

103

«Грабеж среди бела дня» (Daylight robbery, ВВС, август 1993).

104

Здесь можно поразмышлять на тему отсутствия (как правило) центриолей в нейронах (см. §7.4). Цитоскелеты клеток других типов, похоже, нуждаются в наличии центросом — с тем, чтобы те выполняли функции «управляющего центра» (необходимого для деления клетки), — цитоскелеты же нейронов, по всей вероятности, полагаются на власти более глобальные!

105

См. [257] и, напр., [38].

106

[96]; неплохое изложение вопроса для нематематиков имеется в [89] (гл. 10).

107

Объекты, которые разместились бы в таком расширенном платоновском мире, несколько напоминают те ментальные конструкции, что содержит попперовский «Мир 3»; см. [309]. Однако «Мир 3» не претендует ни на вневременное, независимое от нас существование, ни на то, чтобы служить основой для физической реальности. Соответственно, статус его существенно отличается от статуса того «платоновского мира», что рассматриваем мы с вами.

108

Во введении в свою книгу [270] Мостовски ясно показывает, что аргументы, подобные гёделевским, не имеют никакого отношения к вопросу о возможности существования абсолютно неразрешимых математических задач. На настоящий момент вопрос следует считать полностью открытым — нет ни доказательства, ни опровержения. Как и в случае с двумя другими стрелками, нам остается лишь верить или не верить.

Литература

[1] Aharonov, Y., Albert, D. Z. (1981). Can we make sense out of the measurement process in relativistic quantum mechanics? Phys. Rev., D24, 359-370.

[2] Aharonov, Y., Vaidman, L. (1990). Properties of a quantum system during the time interval between two measurements. Phys. Rev., A41, 11.

[3] Aharonov, Y., Anandan, J., Vaidman, L. (1993). Meaning of the wave function. Phys. Rev., A47, 4616-4626.

[4] Aharonov, Y., Bergmann, P. G., Liebowitz, J. L. (1964). Time symmetry in the quantum process of measurement. В сб. Quantum theory and measurement (ed. J.A.Wheeler, W. H. Zurek). Princeton University Press, 1983; первоначально в Phys. Rev., B134, 1410-1416.

[5] Aharonov, Y, Albert, D.Z., Vaidman, L. (1986). Measurement process in relativistic quantum theory. Phys. Rev., D34, 1805-1813.

[6] Albert, D. Z. (1983). On quantum-mechanical automata. Phys. Lett., 98A (5, 6), 249-252.

[7] Albrecht-Buehler, G. (1981). Does the geometric design of centrioles imply their function? Cell Motility, 1, 237-245.

[8] Albrecht-Buehler, G. (1985). Is the cytoplasm intelligent too? Cell and Muscle Motility, 6, 1-21.

[9] Albrecht-Buehler, G. (1991). Surface extensions of 3T3 cells towards distant infrared light sources. J. Cell Biol., 114, 493-502.

[10] Anthony, M., Biggs, N. (1992). Computational learning theory, an introduction. Cambridge University Press.

[11] Applewhite, P. В. (1979). Learning in protozoa. В сб. Biochemistry and physiology of protozoa. Vol. 1 (ed. M. Levandowsky, S.H. Hunter), 341-355. Academic Press, New York.

[12] Arhem, P., Lindahl, B.I.B. (ed.) (1993). Neuroscience and the problem of consciousness: theoretical and empirical approaches. В сб. Theoretical medicine, 14, Number 2. Kluwer Academic Publishers.

[13] Aspect, A., Grangier, P. (1986). Experiments on Einstein-Podolsky-Rosen-type correlations with pairs of visible photons. В сб. Quantum concepts in space and time (ed. R. Penrose, C. J. Isham). Oxford University Press.

[14] Aspect, A., Grangier, P., Roger, G. (1982). Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedanken-experiment: a new violation of Bell's inequalities. Phys. Rev. Lett., 48, 91-94.

[15] Baars, B.J. (1988). A cognitive theory of consciousness. Cambridge University Press.

[16] Bailey, T.N., Baston, R.J. (ed.) (1990). Twistors in mathematics and physics. London Mathematical Society Lecture Notes Series, 156. Cambridge University Press.

[17] Baylor, D. A., Lamb, T.D., Yau, K.-W. (1979). Responses of retinal rods to single photons. J. Physiol., 288, 613-634.

[18] Beck, F., Eccles, J. С (1992). Quantum aspects of consciousness and the role of consciousness. Proc. Nat. Acad. Sci., 89, 11357-11361.

[19] Becks, K.-H., Hemker, A. (1992). An artificial intelligence approach to data analysis. В сб. Proceedings of 1991 CERN School of Computing (ed. C. Verkerk). CERN, Switzerland.

[20] Bell, J. S. (1964). On the Einstein Podolsky Rosen paradox. Physics, 1, 195-200.

[21] Bell, J. S. (1966). On the problem of hidden variables in quantum theory. Revs. Mod. Phys., 38, 447-452.

[22] Bell, J. S. (1987). Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Cambridge University Press.

[23] Bell, J. S. (1990). Against measurement. Physics World, 3, 33-40.

[24] Benacerraf, P. (1967). God, the Devil and Godel. The Monist, 51, 9-32.

[25] Benioff, P. (1982). Quantum mechanical Hamiltonian models of Turing Machines. J. Stat. Phys., 29, 515-546.

[26] Bennett, C.H., Brassard, G., Breidbart, S., Wiesner, S. (1983). Quantum cryptography, or unforgettable subway tokens. В сб. Advances in cryptography. Plenum, New York.

[27] Bernard, C. (1875). Lecons sur les anesthesiques et sur I'asphyxie. J. B. Bailliere, Paris.

[28] Blakemore, C., Greenfield, S. (ed.) (1987). Mind-waves: thoughts on intelligence, identity and consciousness. Blackwell, Oxford.

[29] Blum, L., Shub, M., Smale, S. (1989). On a theory of computation and complexity over the real numbers: NP completeness, recursive functions and universal machines. Bull. Amer. Math. Soc, 21, 1-46.

[30] Bock, G. R., Marsh, J. (1993). Experimental and theoretical studies of consciousness. Wiley.

[31] Boden, M. (1977). Artificial intelligence and natural man. The Harvester Press, Hassocks.

[32] Boden, M. A. (1990). The creative mind: myths and mechanisms. Wiedenfeld and Nicolson, London.

[33] Bohm, D. (1952). A suggested interpretation of the quantum theory in terms of " hidden'Variabies, I and II. В сб. Quantum theory and measurement (ed. J.A.Wheeler, W.H.Zurek). Princeton University Press 1983. Первоначально в Phys. Rev., 85. 166-193.

[34] Bohm, D., Hiley, B. (1994). The undivided universe. Routledge, London.

[35] Boole, G. (1854). An investigation of the laws of thought. 1958, Dover, New York.

[36] Boolos, G. (1990). On seeing the truth of the Godel sentence. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 655.

[37] Bowie, G.L. (1982). Lucas' number is finally up. J. of Philosophical Logic, 11, 279-285.

[38] Brady, M. (1993). Computational vision. В сб. The simulation of human intelligence (ed. D. Broadbent). Blackwell, Oxford.

[39] Braginsky, V. B. (1977). The detection of gravitational waves and quantum non-disturbative measurements. В сб. Topics in theoretical and experimental gravitation physics (ed. V. de Sabbata, J. Weber), 105. Plenum, London.

[40] Broadbent, D. (1993). Comparison with human experiments. В сб. The simulation of human intelligence (ed. D. Broadbent). Blackwell, Oxford.

[41] Brown, H. R. (1993). Bell's other theorem and its connection with nonlocality. Part I. В сб. Bell's Theorem and the foundations of physics (ed. A. VanderMerwe, F. Selleri). World Scientific, Singapore.

[42] Butter-field, J. (1990). Lucas revived? An undefended flank. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 658.

[43] Castagnoli, G., Rasetti, M., Vincenti, A. (1992). Steady, simultaneous quantum computation: a paradigm for the investigation of nondeterministic and non-recursive computation. Int. J. Mod. Phys. C, 3, 661-689.

[44] Caudill, M. (1992). In our own image. Building an artificial person. Oxford University Press.

[45] Chaitin, G. J- (1975). Randomness and mathematical proof. Scientific American (May 1975), 47.

[46] Chalmers, D.J. (1990). Computing the thinkable. Behavioural and Brain Sciences, 13(4), 658.

[47] Chandrasekhar, S. (1987). Truth and beauty. Aesthetics and motivations in science. The University of Chicago Press.

[48] Chang, C.-L., Lee, R.C.-T. (1987). Symbolic logic and mechanical theorem proving, 2nd edn (1st edn 1973). Academic Press, New York.

[49] Chou, S.-C. (1988). Mechanical geometry theorem proving. Ridel.

[50] Christian, J.J. (1994). On definite events in a generally covariant quantum world. Unpublished preprint.

[51] Church, A. (1936). An unsolvable problem of elementary number theory. Am. Jour, of Math., 58, 345-363.

[52] Church, A. (1941). The calculi of lambda-conversion. Annals of Mathematics Studies, No. 6. Princeton University Press.

[53] Churchland, P.M. (1984). Matter and consciousness. Bradford Books, MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

[54] Clauser, J.F., Home, M.A. (1974). Experimental consequences of objective local theories. Phys. Rev., D10, 526-535.

[55] Clauser, J.F., Home, M.A., Shimony, A. (1978). Bell's theorem: experimental tests and implications. Rpts. on Prog, in Phys., 41, 1881-1927.

[56] Cohen, P. C. (1966). Set theory and the continuum hypothesis. Benjamin, Menlo Park, CA.

[57] Conrad, M. (1990). Molecular computing. В сб. Advances in computers (ed. M. C.Yovits), Vol. 31. Academic Press, London.

[58] Conrad, M. (1992). Molecular computing: the lock-key paradigm. Computer (November 1992), 11-20.

[59] Conrad, M. (1993). The fluctuon model of Force, Life, and computation: a constructive analysis. Appl. Math, and Сотр., 56, 203-259.

[60] Cooke, 1988.

[61] Costa de Beauregard, O. (1989). В сб. Bell's theorem, quantum theory, and conceptions of the universe (ed. M. Kafatos). Kluwer, Dordrecht.

[62] Craik, К. (1943). The nature of explanation. Cambridge University Press.

[63] Crick, F. (1994). The astonishing hypothesis. The scientific search for the soul. Charles Scribner's Sons, New York, and Maxwell Macmillan International.

[64] Crick, E, Koch, C. (1990). Towards a neurobiological theory of consciousness. Seminars in the Neurosciences, 2, 263-275.

[65] Crick, F., Koch, C. (1992). The problem of consciousness. Scientific American, 267, 110.

[66] Curl, R.F., Smalley, R.E. (1991). Fullerenes. Scientific American, 265, No. 4, 32-41.

[67] Cutland N.J. (1980). Computability. An introduction to recursive function theory. Cambridge University Press.

[68] Davenport, H. (1952). The higher arithmetic. Hutchinson's University Library.

[69] Davies, P. С W. (1974). The physics of time asymmetry. Surrey University Press, Belfast.

[70] Davies, P. C. W. (1984). Quantum mechanics. Routledge, London.

[71] Davis, M. (ed.) (1965). The undecidable — basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions. Raven Press, Hewlett, New York.

[72] Davis, M. (1978). What is a computation? В сб. Mathematics today; twelve informal essays (ed. L. A. Steen). Springer-Verlag, New York.

[73] Davis M. (1990). Is mathematical insight algorithmic? Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 659.

[74] Davis, M. (1993). How subtle is Godel's theorem? Behavioural and Brain Sciences, 16, 611-612.

[75] Davis, M., Hersch, R. (1975). Hilbert's tenth problem. Scientific American (Nov. 1973), 84.

[76] Davis, P. J., Hersch, R. (1982). The mathematical experience. Harvester Press.

[77] de Broglie, L. (1956). Tentative a" interpretation causale et nonlineaire de la mecanique ondulatoire. Gauthier-Villars, Paris.

[78] Deeke, L., Grotzinger, В., Kornhuber, H. H. (1976). Voluntary finger movements in man: cerebral potentials and theory. iol. Cybernetics, 23, 99.

[79] del Giudice, E., Doglia, S., Milani, M. (1983). Self-focusing and ponderomotive forces of coherent electric waves — a mechanism for cytoskeleton formation and dynamics. В сб. Coherent excitations in biological systems (ed. H. Frohlich, F. Kremer). Springer-Verlag, Berlin.

[80] Dennett, D. (1990). Betting your life on an algorithm. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 660.

[81] Dennett, D. C. (1991). Consciousness explained. Little, Brown and Company.

[82] d'Espagnat, B. (1989). Conceptual foundations of quantum mechanics, 2nd edn. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts.

[83] Deutsch, D. (1985). Quantum theory, the Church—Turing principle and the universal quantum computer. Proc. Roy. Soc. (Lond.), A400, 97-117.

[84] Deutsch, D. (1989). Quantum computational networks. Proc. Roy. Soc. (Lond.), A425, 73-90.

[85] Deutsch, D. (1991). Quantum mechanics near closed timelike lines. Phys. Rev., D44, 3197-3217.

[86] Deutsch, D. (1992). Quantum computation. Phys. World, 5, 57-61.

[87] Deutsch, D., Ekert, A. (1993). Quantum communication moves into the unknown. Phys. World, 6, 22-23.

[88] Deutsch, D., Jozsa, R. (1992). Rapid solution of problems by quantum computation. Proc. R. Soc. Lond., A439, 553-558.

[89] Devlin, K. (1988). Mathematics: the New Golden Age. Penguin Books, London.

[90] DeWitt, В. S., Graham, R. D. (ed.) (1973). The many-worlds interpretation of quantum mechanics. Princeton University Press.

[91] Dicke, R.H. (1981). Interaction-free quantum measurements: a paradox? Am. J. Phys., 49, 925-930.

[92] Diosi, L. (1989). Models for universal reduction of macroscopic quantum fluctuations. Phys. Rev., A40, 1165-1174.

[93] Diosi, L. (1992). Quantum measurement and gravity for each other. В сб. Quantum chaos, quantum measurement; NATO AS1 Series С Math. Phys. Sci 357 (ed. P. Cvitanovic, I. C. Percival, A. Wirzba). Kluwer, Dordrecht.

[94] Dirac, P.A.M. (1947). The principles of quantum mechanics, 3rd edn. Oxford University Press.

[95] Dodd, A. (1991). Godel, Penrose, and the possibility of AI. Artificial Intelligence Review, 5.

[96] Donaldson, S.K. (1983). An application of gauge theory to four dimensional topology. J. Diff. Geom., 18, 279-315.

[97] Doyle, J. (1990). Perceptive questions about computation and cognition. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 661.

[98] Dreyfus, H. L. (J 972). What computers can't do. Harper and Row, New York.

[99] Dummett, M. (1973). Frege: philosophy of language. Duckworth, London.

[100] Dustin, P. (1984). Microtubules, 2nd revised edn. Springer-Verlag, Berlin.

[101] Dryl, S. (1974). Behaviour and motor responses in Paramecium. В сб. Paramecium — a current survey (ed. W. J. Van Wagtendonk), 165-218. Elsevier, Amsterdam.

[102] Eccles, J. С (1973). The understanding of the brain. McGraw-Hill, New York.

[103] Eccles, J. C. (1989). Evolution of the brain: creation of the self. Routledge, London.

[104] Eccles, J. C. (1992). Evolution of consciousness. Proc. Natl. Acad. Sci., 89, 7320-7324.

[105] Eccles, J. C. (1994). How the self controls its brain. Springer-Verlag, Berlin.

[106] Eckert, R., Randall, D., Augustine, G. (1988). Animal physiology. Mechanisms and adaptations, Chapter 11. Freeman, New York.

[107] Eckhorn, R., Bauer, R., Jordan, W., Brosch, M., Kruse, W., Munk, M., Reitboeck, H.J. (1988). Coherent oscillations: a mechanism of feature linking in the visual cortex? Biol. Cybern., 60, 121-130.

[108] Edelman, G.M. (1976). Surface modulation and cell recognition on cell growth. Science, 192, 218-226.

[109] Edelman, G.M. (1987). Neural Darwinism, the theory of neuronal group selection. Basic Books, New York.

[110] Edelman, G.M. (1988). Topobiology, an introduction to molecular embryology. Basic Books, New York.

[111] Edelman, G.M. (1989). The remembered present. A biological theory of consciousness. Basic Books, New York.

[112] Edelman, G.M. (1992). Bright air, brilliant fire: on the matter of the mind. Allen Lane, The Penguin Press, London.

[113] Einstein, A., Podolsky, P., Rosen, N. (1935). Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? В сб. Quantum theory and measurement (ed. J. A. Wheeler, W. H. Zurek). Princeton University Press, 1983. Первоначально в Phys. Rev., 47, 777-780.

[114] Elitzur, A. C, Vaidman, L. (1993). Quantum-mechanical interaction-free measurements. Found, of Phys., 23, 987-997.

115] Elkies, Noam G. (1988). On A4 + B4 + C4 = D4. Maths, of Computation, 51, (No. 184), 825-835.

[116] Everett, H. (1957). " Relative State" formulation of quantum mechanics. В сб. Quantum theory and measurement (ed. J. A. Wheeler, W H. Zurek). Princeton University Press, 1983; первоначально в Rev. of Modern Physics, 29, 454-462.

[117] Feferman, S. (1988). Turing in the Land of O(z). В сб. The universal Turing machine: a half-century survey (ed. R. Herken). Kammererand Unverzagt, Hamburg.

[118] Feynman, R. P. (1948). Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics. Revs. Mod. Phys., 20, 367-387.

[119] Feynman, R. P. (1982). Simulating physics with computers. Int. J. Theor. Phys., 21 (6/7), 467-488.

[120] Feynman, R.P. (1985). Quantum mechanical computers. Optics News, Feb., 11-20.

[121] Feynman, R.P. (1986). Quantum mechanical computers. Foundations of Physics, 16 (6), 507-531.

[122] Fodor, J. A. (1983). The modularity of mind. MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

[123] Franks, N.P., Lieb, W.R. (1982). Molecular mechanics of general anaesthesia. Nature, 300, 487-493.

[124] Freedman, D. H. (1994). Brainmakers. Simon and Schuster, New York.

[125] Freedman, S.J., Clauser, J. F. (1972). Experimental test of local hidden-variable theories. В сб. Quantum theory and measurement (ed. J.A.Wheeler, W.H.Zurek). Princeton University Press, 1983; первоначально в Phys. Rev. Lett., 28, 938-941.6

[126] Frege, G. (1893). Grundgesetze der Arithmetik, begrif-fsschriftlich abelgeleitet, Vol. 1. H. Pohle, Jena.

[127] Frege, G. (1964). The basic laws of arithmetic, translated and edited with an introduction by Montgomery Firth. University of California Press, Berkeley.

[128] French, J. W. (1940). Trial and error learning in paramecium. J. Exp. Psychol., 26, 609-613.

[129] Frohlich, H. (1968). Long-range coherence and energy storage in biological systems. Int. Jour, of Quantum. Chem., 11, 641-649.

[130] Frohlich, H. (1970). Long range coherence and the actions of enzymes. Nature, 228, 1093.

[131] Frohlich, H. (1975). The extraordinary dielectric properties of biological materials and the action of enzymes, Proc. Natl. Acad. ScL, 72 (11), 4211-4215.

[132] Frohlich, H. (1984). General theory of coherent excitations on biological systems. В сб. Nonlinear electrodynamics in biological systems (ed. W. R. Adey, A. F. Lawrence). Plenum Press, New York.

[133] Frohlich, H. (1986). Coherent excitations in active biological systems. В сб. Modern bioelectrochemistry (ed. F. Gutmann, H. Keyzer). Plenum Press, New York.

[134] Fukui, K., Asai, H. (1976). Spiral motion of Paramecium caudatum in small capillary glass tube. /. Protozoal., 23, 559-563.

[135] Gandy, R. (1988). The confluence of ideas in 1936. В сб. The universal Turing machine: a half-century survey (ed. R. Herken). Kammererand Unverzagt, Hamburg.

[136] Gardner, M. (1965). Mathematical magic show. Alfred Knopf, New York; Random House, Toronto.

[137] Gardner, M. (1970). Mathematical games: the fantastic combinations of John Conway's new solitaire game " Life". Scientific American, 223, 120-123.

[138] Gardner, M. (1989). Penrose tiles to trapdoor ciphers. Freeman, New York.

[139] Gelber, B. (1958). Retention in paramecium aurelia. J. Сотр. Physiol. Psych., 51, 110-115.

[140] Gelernter, D. (1994). The muse in the machine. The Free Press, Macmillan Inc., New York; Collier Macmillan, London.

[141] Gell-Mann, M., Hartle, J.B. (1993). Classical equations for quantum systems. Phys. Rev., D47, 3345-3382.

[142] Gernoth, K.A., Clark, J.W., Prater, J.S., Bohr, H. (1993). Neural network models of nuclear systematics. Phys. Lett., B300, 1-7.

[143] Geroch, R. (1984). The Everett interpretation. Nous, 4 (специальный выпуск, посвященный основным принципам квантовой механики), 617-633.

[144] Geroch, R., Hartle, J. В. (1986). Computability and physical theories. Found. Phys., 16, 533.

[145] Ghirardi, G.C., Rimini, A., Weber, T. (1980). A general argument against superluminal transmission through the quantum mechanical measurement process. Lett. Nuovo Cirri., 21, 293-298.

[146] Ghirardi, G.C., Rimini, A., Weber, T. (1986). Unified dynamics for microscopic and macroscopic systems. Phys. Rev., D34, 470.

[147] Ghirardi, G. C., Grassi, R., Rimini, A. (1990). Continuous-spontaneous-reduction model involving gravity. Phys. Rev., A42, 1057-1064.

[148] Ghirardi, G.C., Grassi, R., Pearle, P. (1990). Relativistic dynamical reduction models: general framework and examples. Foundations of Physics, 20, 1271-1316.

[149] Ghirardi, G.C., Grassi, R., Pearle, P. (1992). Comment on " Explicit collapse and superluminal signals". Phys. Lett., A166, 435-438.

[150] Ghirardi, G.C., Grassi, R., Pearle, P. (1993). Negotiating the tricky border between quantum and classical. Physics Today, 46, 13.

[151] Gisin, N.(1989). Stochastic quantum dynamics and relativity. Helv. Phys. Acta, 62, 363-371.

[152] Gisin, N., Percival, I. C. (1993). Stochastic wave equations versus parallel world components. Phys. Lett., A175, 144-145.

[153] Gleick, J. (1987). Chaos. Making a new science. Penguin Books.

[154] Glymour, C, Kelly, K.. (1990). Why you'll never know whether Roger Penrose is a computer. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 666.

[155] Godel, К. (1931). Uber formal unentscheidbare Satze per Principia Mathematica und verwandter Systeme 1. Monatshefte fur Mathematik und Physik, 38, 173-198.

[156] Godel, K- (1940). The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory. Princeton University Press, Oxford University Press.

[157] Godel, K. (1949). An example of a new type of cosmological solution of Einstein's field equations of gravitation. Rev. of Mod.Phys., 21, 447.

[158] Godel, K. (1986). Kurt Godel, collected works, Vol. I (publications 1929-1936) (ed. S.Feferman et al.). Oxford University Press.

[159] Godel, K. (1990). Kurt Godel, collected works. Vol. II (publications 1938-1974) (ed. S.Feferman et al.). Oxford University Press.

[160] Godel, K. (1995). Kurt Godel, collected works, Vol. Ill (ed. S. Feferman et al.). Oxford University Press.

[161] Golomb, S. W. (1965). Polyominoes. Scribner and Sons.

[162] Good, I.J. (1965). Speculations concerning the first ultraintelligent machine. Advances in Computers, 6, 31-88.

[163] Good, I. J. (1967). Human and machine logic. Brit. J. Philos. ScL, 18, 144-147.

[164] Good, I.J. (1969). Godel's theorem is a red herring. Brit. J. Philos. ScL, 18, 359-373.

[165] Graham, R.L., Rothschild, B.L. (1971). Ramsey's theorem for n-parameter sets. Trans. Am. Math. Soc, 59, 290.

[166] Grant, P.M. (1994). Another December revolution? Nature, 367, 16.

[167] Gray, СМ., Singer, W. (1989). Stimulus-specific neuronal oscillations in orientation columns of cat visual cortex. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 86, 1689-1702.

[168] Grangier, P., Roger, G., Aspect, A. (1986). Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: a new light on single-photon interferences. Europhysics Letters, 1, 173-179.

[169] Green, D. G., Bossomaier, T. (ed.)( 1993). Complex systems: from biology to computation. IOS Press.

[170] Greenberger, D.M., Home, M.A., Zeilinger, A. (1989). Going beyond Bell's theorem. В сб. Bell's theorem, quantum theory, and conceptions of the universe (ed. M. Kafatos), 73-76. Kluwer Academic, Dordrecht, The Netherlands.

[171] Greenberger, D. M., Home, M. A., Shimony, A., Zeilinger, A. (1990). Bell's theorem without inequalities. Am. J. Phys., 58, 1131-1143.

[172] Gregory, R.L. (1981). Mind in science: a history of explanations in psychology and physics. Weidenfeld and Nicholson Ltd. (также Penguin, 1984).

[173] Grey Walter, W. (1953). The living brain. Gerald Duckworth and Co. Ltd.

[174] Griffiths, R. (1984). Consistent histories and the interpretation of quantum mechanics. J. Stat. Phys., 36, 219.

[175] Grossberg, S. (ed.) (1987). The adaptive brain I: Cognition, learning, reinforcement and rhythm и The adaptive brain II: Vision, speech, language and motor control. North-Holland, Amsterdam.

[176] Grunbaum, В., Shephard, G.C. (1987). Tilings and Patterns. Freeman, New York.

[177] Grundler, W., Keilmann, F. (1983). Sharp resonances in yeast growth proved nonthermal sensitivity to microwaves. Phys. Rev. Letts., 51, 1214-1216.

[178] Guccione, S. (1993). Mind the truth: Penrose's new step in the Godelian argument. Behavioural and Brain Sciences, 16, 612-613.

[179] Haag, R. (1992). Local quantum physics: fields, particles, algebras. Springer-Verlag, Berlin.

[180] Hadamard, J. (1945). The psychology of invention in the mathematical field. Princeton University Press.

[181] Hallett, M. (1984). Cantorian set theory and limitation of size. Clarendon Press, Oxford.

[182] Hameroff, S. R. (1974). Chi: a neural hologram? Am. J. Clin. Med., 2(2), 163-170.

[183] Hameroff, S. R. (1987). Ultimate computing. Biomolecular consciousness and nano-technology. North-Holland, Amsterdam.

[184] Hameroff, S. R., Watt, R. С (1982). Information in processing in microtubules. /. Theor. Biol., 98, 549-561.

[185] Hameroff, S.R., Watt, R.C. (1983). Do anesthetics act by altering electron mobility? Anesth. Analg., 62, 936-940.

[186] Hameroff, S.R., Rasmussen, S., Mansson, B. (1988). Molecular automata in microtubles: basic computational logic of the living state? В сб. Artificial Life, SFI studies in the sciences of complexity (ed. C. Langton). Addison-Wesley, New York.

[187] Hanbury Brown, R., Twiss, R.Q. (1954). A new type of interferometer for use in radio astronomy. Phil. Mag., 45, 663-682.

[188] Hanbury Brown, R., Twiss, R.Q. (1956). The question of correlation between photons in coherent beams of light. Nature, 177, 27-29.

[189] Harel, D. (1987). Algorithmics. The spirit of computing. Addison-Wesley, New York.

[190] Hawking, S.W. (1975). Particle creation by Black Holes. Commun. Math. Phys., 43, 199-220.

[191] Hawking, S.W. (1982). Unpredictability of quantum gravity. Commun. Math. Phys., 87, 395-415.

[192] Hawking, S.W., Israel, W. (ed.) (1987). 300 years of gravitation. Cambridge University Press.

[193] Hebb, D. O. (1949). The organization of behaviour. Wiley, New York.

[194] Hecht, S., Shlaer, S., Pirenne, M.H. (1941). Energy, quanta and vision. Journal of General Physiology, 25, 821-840.

[195] Herbert, N. (1993). Elemental mind. Human consciousness and the new physics. Dutton Books, Penguin Publishing.

[196] Heyting, A. (1956). Intuitionism: an introduction. North-Holland, Amsterdam.

[197] Heywood, P., Redhead, M.L. G. (1983). Nonlocality and the Kochen—Specker Paradox. Found. Phys., 13, 481-499.

[198] Hodges, A. P. (1983). Alan Turing: the enigma. Burnett Books and Hutchinson, London; Simon and Schuster, New York.

[199] Hodgkin, D., Houston, A. I. (1990). Selecting for the con in consciousness. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 668.

[200] Hodgson, D. (1991). Mind matters: consciousness and choice in a quantum world. Clarendon Press, Oxford.

[201] Hofstadter, D.R. (1979). Godel, Escher, Bach: an eternal golden braid. Harvester Press, Hassocks, Essex.

[202] Hofstadter, D.R. (1981). A conversation with Einstein's brain. В сб. The mind's / (ed. D. R. Hofstadter, D. Dennett). Basic Books; Penguin, Harmondsworth, Middlesex.

[203] Hofstadter, D.R., Dennett, D. С (ed.)(1981). The mind's I. Basic Books; Penguin, Harmondsworth, Middlesex.

[204] Home, D. (1994). A proposed new test of collapse-induced quantum nonlocality. Preprint.

[205] Home, D., Nair, R. (1994). Wave function collapse as a nonlocal quantum effect. Phys. Lett., A187, 224-226.

[206] Home, D., Selleri, F. (1991). Bell's Theorem and the EPR Paradox. Rivista del Nuovo Cimento, 14, N. 9.

[207] Hopfield, J.J. (1982). Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities. Proc. Natl. Acad. Sci., 79, 2554-2558.

[208] Hsu, F.-H., Anantharaman, Т., Campbell, M., Nowatzyk, A. (1990). A grandmaster chess machine. Scientific American, 263.

[209] Huggett, S.A., Tod, K.P. (1985). An introduction to twistor theory. London Math. Soc. student texts. Cambridge University Press.

[210] Hughston, L.P., Jozsa, R., Wootters, W. K. (1993). A complete classification of quantum ensembles having a given density matrix. Phys. Letters, A183, 14-18.

[211] Isham, С J. (1989). Quantum gravity. В сб. The new physics (ed. P. C. W. Davies), 70-93. Cambridge University Press.

[212] Isham, С J. (1994). Prima facie questions in quantum gravity. В сб. Canonical relativity: classical and quantum (ed. J. Ehlers, H. Friedrich). Springer-Veriag, Berlin.

[213] Jibu, M, Hagan, S., Pribram, K.., Hameroff, S.R., Yasue, K. (1994). Quantum optical coherence in cytoskeletal microtubules: implications for brain function. Bio. Systems (готовится к печати).

[214] Johnson-Laird, P.N. (1983). Mental models. Cambridge University Press.

[215] Johnson-Laird, P.N. (1987). How could consciousness arise from the computations of the brain? В сб. Mindwaves: thoughts on intelligence, identity and consciousness (ed. C. Blakemore, S. Greenfield). Blackwell, Oxford.

[216] Karolyhazy, F. (1966). Gravitation and quantum mechanics of macroscopic bodies. Nuo. Cim. A, 42, 390-402.

[217] Karolyhazy, F. (1974). Gravitation and quantum mechanics of macroscopic bodies. Magyar Fizikai Polyoirat, 12, 24.

[218] Karolyhazy, F, Frenkel, A., Lukacs, B. (1986). On the possible role of gravity on the reduction of the wave function. В сб. Quantum concepts in space and time (ed. R. Penrose, C.J. Isham). Oxford University Press.

[219] Kasumov, A.Y., Kislov, N.A., Khodos, I.I. (1993). Can the observed vibration of a cantilever of supersmall mass be explained by quantum theory? Microsc. Microanal. Microstruct., 4, 401-406.

[220] Kentridge, R. W. (1990). Parallelism and patterns of thought. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 670.

[221] Khalfa, J. (ed.) (1994). What is intelligence? The Darwin College lectures. Cambridge University Press.

[222] Klarner, D.A. (1981). My life among the Polyominoes. В сб. The mathematical gardner (ed. D. A. Klarner). Prindle, Weber and Schmidt, Boston, MA; Wadsworth Int., Belmont, CA.

[223] Kleene, S. C. (1952). Introduction to metamathematics. North-Holland, Amsterdam, van Nostrand, New York.

[224] Klein, M.V., Furtak, Т.Е. (1986). Optics, 2nd edn. Wiley, New York.

[225] Kochen, S., Specker, E.R (1967). The problem of hidden variables in quantum mechanics. /. Math. Mech., 17, 59-88.

[226] Kohonen, T. (1984). Self-organization and associative memory. Springer-Verlag, New York.

[227] Komar, A.B. (1969). Qualitative features of quantized gravitation. Int. J. Theor. Phys., 2, 157-160.

[228] Koruga, D. (1974). Microtubule screw symmetry: packing of spheres as a latent bioinformation code. Ann. NY Acad. Sci., 466, 953-955.

[229] Koruga, D., Hameroff, S., Withers, J., Loutfy, R., Sundareshan, M. (1993). Fullerene C6o- History, physics, nanobiology, nanotechnology. North-Holland, Amsterdam.

[230] Kosko, B. (1994). Fuzzy thinking: the new science of fuzzy logic. Harper Collins, London.

[231] Kreisel, G. (1960). Ordinal logics and the characterization of informal concepts of proof. Proc. of the Internal. Cong, of Mathematics, Aug. 1958. Cambridge University Press.

[232] Kreisel, G. (1967). Informal rigour and completeness proofs. В сб. Problems in the philosophy of mathematics (ed. I. Lakatos), 138-186. North-Holland, Amsterdam.

[233] Lagues, M., Xiao Ming Xie, Tebbji, H., Xiang Zhen Xu, Mairet, V, Hatterer, C, et al. (1993). Evidence suggesting superconductivity at 250 К in a sequentially deposited cuprate film. Science, 262, 1850-1851.

[234] Lander, L. J., Parkin, T. R. (1966). Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc, 72, 1079.

[235] Leggett, A.J. (1984). Schrodinger's cat and her laboratory cousins. Contemp. Phys., 25 (6), 583.

[236] Lewis, D. (1969). Lucas against mechanism. Philosophy, 44, 231-233.

[237] Lewis, D. (1989). Lucas against mechanism II. Can. J. Philos., 9, 373-376.

[238] Libet, B. (1990). Cerebral processes that distinguish conscious experience from unconscious mental functions. В сб. The principles of design and operation of the brain (ed. J. C. Eccles, O. D. Creutzfeldt), Experimental Brain research series 21, 185-205. Springer-Verlag, Berlin.

[239] Libet, B. (1992). The neural time-factor in perception, volition and freewill. Revue de Metaphysique et de Morale, 2, 255-272.

[240] Libet, В., Wright, E. W. Jr., Feinstein, В., Pearl, D. K. (1979). Subjective referral of the timing for a conscious sensory experience. Brain, 102, 193-224.

[241] Linden, E. (1993). Can animals think? Time Magazine (March), 13.

[242] Lisboa, P.G.J, (ed.) (1992). Neural networks: current applications. Chapman Hall, London.

[243] Lockwood, M. (1989). Mind, brain and the quantum. Blackwell, Oxford.

[244] Longair, M.S. (1993). Modern cosmology — a critical assessment. Q. J. R. Astr. Soc, 34, 157-199.

[245] Longuet-Higgins, H. С (1987). Mental processes: studies in cognitive science, Part II. MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

[246] Lucas, J.R. (1961). Minds, machines and Godel. Philosophy, 36, 120-124; также в Alan Ross Anderson (ed.) (1964) Minds and Machines. Englewood Cliffs.

[247] Lucas, J.R. (1970). The freedom of the will. Oxford University Press.

[248] McCarthy, J. (1979). Ascribing mental qualities to machines. В сб. Philosophical perspectives in artificial intelligence (ed. M. Ringle). Humanities Press, New York.

[249] McCulloch, W.S., Pitts, W.H. (1943). A logical calculus of the idea immanent in nervous activity. Bull. Math. Biophys., 5, 115-133. (Также в McCulloch, W. S., Embodiments of mind, MIT Press, 1965.)

[250] McDermott, D. (1990). Computation and consciousness. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 676.

[251] MacLennan, B. (1990). The discomforts of dualism. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 673.

[252] Majorana, E. (1932). Atomi orientati in campo magnetico variabile. Nuovo Cimento, 9, 43-50.

[253] Manaster-Ramer, A., Savitch, W.J., Zadrozny, W. (1990). Godel redux. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 675.

[254] Mandelkow, E.-M., Mandelkow, F. (1994). Microtubule structure. Curr. Opinions Structural Biology, 4, 171-179.

[255] Margulis, L. (1975). Origins of eukaryotic cells. Yale University Press, New Haven, CT.

[256] Markov, A. A. (1958). The insolubility of the problem of homeomorphy. Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 121, 218-220.

[257] Marr, D.E. (1982). Vision: a computational investigation into the human representation and processing of visual information. Freeman, San Francisco.

[258] Marshall, I.N. (1989). Consciousness and Bose-Einstein condensates. New Ideas in Psychology, 7.

[259] Mermin, D. (1985). Is the moon there when nobody looks? Reality and the quantum theory. Physics Today, 38, 38-47.

[260] Mermin, D. (1990). Simple unified form of the major no-hidden-variables theorems. Phys. Rev. Lett, 65, 3373-3376.

[261] Michie, D., Johnston, JR. (1984). The creative computer. Machine intelligence and human knowledge. Viking Penguin.

[262] Minsky, M. (1968). Matter, mind and models. В сб. Semantic information processing (ed. M. Minsky). MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

[263] Minsky, M. (1986). The society of mind. Simon and Schuster, New York.

[264] Minsky, M., Papert, S. (1972). Perceptrons: an introduction to computational geometry. MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

[265] Misner, C.W., Thorne, K. S., Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. Freeman, New York.

[266] Moore, A. W. (1990). The infinite. Routledge, London.

[267] Moravec, H. (1988). Mind children: the future of robot and human intelligence. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts.

[268] Moravec, H. (1994). The Age of Mind: transcending the human condition through robots. Готовится к печати.

[269] Mortensen, C. (1990). The powers of machines and minds. Behavioural and Brain Sciences', 13(4), 678.

[270] Mostowski, A. (1957). Sentences undecidable in formalized arithmetic: an exposition of the theory of Kurt Godel. North-Holland, Amsterdam.

[271] Nagel, E., Newman, J. R. (1958). Godel's proof. Routledge and Kegan Paul.

[272] Newell, A., Simon, H.A. (1976). Computer science as empirical enquiry: symbols and search. Communications of the ACM, 19, 113-126.

[273] Newell, A., Young, R., Polk, T. (1993). The approach through symbols. В сб. The simulation of human intelligence (ed. D. Broadbent). Blackwell, Oxford.

[274] Newton, I. (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Репринт: Cambridge University Press.

[275] Newton, Г. (1730). Opticks. 1952, Dover, New York.

[276] Oakley, D.A. (ed.) (1985). Brain and mind. Methuen, London.

[277] Obermayer, K., Teich, W.G., Mahler, G. (1988). Structural basis of multistationary quantum systems. I. Effective single-particle dynamics. Phys. Rev., B37, 8096-8110.

[278] Obermayer, K., Teich, W.G., Mahler, G. (1988). Structural basis of multistationary quantum systems. II. Effective few-particle dynamics. Phys. Rev., B37, 8111-8121.

[279] Omnes, R. (1992). Consistent interpretations of quantum mechanics. Rev. Mod. Phys., 64, 339-382.

[280] Pais, A. (1991). Niels Bohr's times. Clarendon Press, Oxford.

[281] Pauling L. (1964). The hydrate microcrystal theory of general anesthesia. Anesth. Analg., 43, 1.

[282] Paz, J. P., Zurek, W.H. (1993). Environment-induced decoherence, classicality and consistency of quantum histories. Phys. Rev., D48 (6), 2728-2738.

[283] Paz, J.P., Habib, S., Zurek, W.H. (1993). Reduction of the wave packet: preferred observable and decoherence time scale. Phys. Rev., D47 (2), 3rd Series, 488-501.

[284] Pearie, P. (1976). Reduction of the state-vector by a nonlinear Schrodinger equation. Phys. Rev., D13, 857-868.

[285] Pearte, P. (1989). Combining stochastic dynamical state-vector reduction with spontaneous localization. Phys. Rev., A39, 2277-2289.

[286] Pearie, P. (1992). Relativistic model state-vector reduction. В сб. Quantum chaos — Quantum measurement, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. С Math. Phys. Sci. 358 (Copenhagen 1991). Kluwer, Dordrecht.

[287] Peat, F.D. (1988). Superstrings and the search for the theory of everything. Contemporary Books, Chicago.

[288] Penrose, О. (1970). Foundations of statistical mechanics: a deductive treatment. Pergamon, Oxford.

[289] Penrose, O., Onsager, L. (1956). Bose-Einstein condensation and liquid helium. Phys. Rev., 104, 576-584.

[290] Penrose, R. (1980). On Schwarzschild causality — a problem for " Lorentz covariant" general relativity. В сб. Essays in general relativity (A. Taub Festschrift) (ed. F. J.Tipler), 1-12. Academic Press, New York.

[291] Penrose, R. (1987). Newton, quantum theory and reality. В сб. 300 Years of gravity (ed. S. W. Hawking, W. Israel). Cambridge University Press.

[292] Penrose, R. (1990). Author's response, Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 692.

[293] Penrose, R. (1991). The mass of the classical vacuum. В сб. The philosophy of vacuum (ed. S. Saunders, H. R. Brown). Clarendon Press, Oxford.

[294] Penrose, R. (1991). Response to Tony Dodd's " Godel, Penrose, and the possibility of AI". Artificial Intelligence Review, 5, 235.

[295] Penrose, R. (1993). Gravity and quantum mechanics. В сб. General relativity and gravitation 1992. Proceedings of the Thirteenth International Conference on General Relativity and Gravitation held at Cordoba, Argentina 28 June-4 July 1992. Part I: Plenary lectures (ed. R. J. Gleiser, C. N. Kozameh, O. M.Moreschi). Institute of Physics Publications, Bristol.

[296] Penrose, R. (1993). Quantum non-locality and complex reality. В сб. The Renaissance of general relativity (in honour of D.W.Sciama) (ed. G.Ellis, A.Lanza, J.Miller). Cambridge University Press.

[297] Penrose, R. (1993). Setting the scene: the claim and the issues. В сб. The simulation of human intelligence (ed. D. Broadbent). Blackwell, Oxford.

[298] Penrose, R. (1993). An emperor still without mind. Behavioural and Brain Sciences, 16, 616-622.

[299] Penrose, R. (1994). On Bell non-locality without probabilities: some curious geometry. В сб. Quantum reflections (in honour of J.S.Bell) (ed. J.Ellis, A.Amati). Cambridge University Press.

[300] Penrose, R. (1994). Non-locality and objectivity in quantum state reduction. В сб. Fundamental aspects of quantum theory (ed. J. Anandan, J. L. Safko). World Scientific, Singapore.

[301] Penrose, R., Rindler, W. (1984). Spinors and space-time, Vol. 1: Two-spinor calculus and relative fields. Cambridge University Press.

[302] Penrose, R., Rindler, W. (1986). Spinors and space-time, Vol. 2: Spinor and twistor methods in space-time geometry. Cambridge University Press.

[303] Percival, I. C. (1994). Primary state diffusion. Proc. R. Soc. Lond., А (статья отправлена в журнал).

[304] Peres, A. (1985). Reversible logic and quantum computers. Phys. Rev., A32 (6), 3266-3276.

[305] Peres, A. (1990). Incompatible results of quantum measurements. Phys. Lett., A151, 107-108.

[306] Peres, A. (1991). Two simple proofs of the Kochen—Specker theorem. /. Phys. A: Math. Gen., 24, L175-L178.

[307] Pedis, D. (1990). The emperor's old hat. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 680.

[308] Planck, M. (1906). The theory of heat radiation (пер. на англ.: М. Masius, основана на лекциях, прочитанных в Берлине в 1906/1907 годах). 1959, Dover, New York.

[309] Popper, K.R., Eccles, J.R. (1977). The self and its brain. Springer International.

[310] Post, E. L. (1936). Finite combinatory processes-formulation I, Jour. Symbolic Logic, 1, 103-105.

[311] Poundstone, W. (1985). The recursive universe: cosmic complexity and the limits of scientific knowledge. Oxford University Press.

[312] Pour-El, М. В. (1974). Abstract computability and its relation to the general purpose analog computer. (Some connections between logic, differential equations and analog computers.) Trans. Amer. Math. Soc, 119, 1-28.

[313] Pour-El, M.B., Richards, I. (1979). A computable ordinary differential equation which possesses no computable solution. Ann. Math. Logic, 17, 61-90.

[314] Pour-El, M.B., Richards, I. (1981). The wave equation with computable initial data such that its unique solution is not computable. Adv. in Math., 39, 215-239.

[315] Pour-El, M.B., Richards, I. (1982). Noncomputability in models of physical phenomena. Int. J. Theor. Phys., 21, 553-555.

[316] Pour-El, M.B., Richards, I. (1989). Computability in analysis and physics. Springer-Verlag, Berlin.

[317] Pribram, К. Н. (1966). Some dimensions of remembering: steps toward a neuropsychological model of memory. В сб. Macromolecules and behaviour (ed. J. Gaito), 165-187. Academic Press, New York.

[318] Pribram, К. Н. (1975). Toward a holonomic theory of perception. В сб. Gestalttheorie in der modern psychologie (ed. S. Ertel), 161-184. Erich Wengenroth, Kohl.

[319] Pribram, К. Н. (1991). Brain and perception: holonomy and structure in figural processing. Lawrence Erlbaum Assoc, New Jersey.

[320] Putnam, H. (1960). Minds and machines. В сб. Dimensions of mind (ed. S. Hook), New York Symposium. Также в Minds and. machines (ed. A. R. Anderson), 43-59, Prentice-Hall, 1964; и в Dimensions of mind: a symposium (Proceedings of the third annual NYU Institute of Philosophy), 148-179, NYU Press, 1964.

[321] Ramon у Cajal, S. (1955). Studies on the cerebral cortex (пер. на англ.: L.M. Kroft). Lloyd-Luke, London.

[322] Redhead, M. L. G. (1987). Incompleteness, nonlocality, and realism. Clarendon Press, Oxford.

[323] Rosenblatt, F. (1962). Principles of neurodynamics. Spartan Books, New York.

[324] Roskies, A. (1990). Seeing truth or just seeming true? Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 682.

[325] Rosser, J.B. (1936). Extensions of some theorems of Godel and Church. Jour. Symbolic Logic, 1, 87-91.

[326] Rubel, L. A. (1985). The brain as an analog computer. /. Theoret. Neurobiol., 4, 73-81.

[327] Rubel, L.A. (1988). Some mathematical limitations of the general-purpose analog computer. Adv. in Appl. Math., 9, 22-34.

[328] Rubel, L. A. (1989). Digital simulation of analog computation and Church's thesis. Jour. Symb. Logic, 54 (3), 1011-1017.

[329] Rucker, R. (1984). Infinity and the mind: the science and philosophy of the infinite. Paladin Books, Granada Publishing Ltd., London. (Первое издание: Harvester Press Ltd., 1982.)

[330] Sacks, O. (1973). Awakenings. Duckworth, London.

[331] Sacks, O. (1985). The man who mistook his wife for a hat. Duckworth, London.

[332] Sagan, L. (1967). On the origin of mitosing cells. J. Theor. Biol., 14, 225-274.

[333] Сахаров А. Д. (1967). Квантовые флуктуации вакуума в искривленном пространстве и теория гравитации (Saharov A. D. Vacuum quantum fluctuations in curved space and the theory of gravitation). Доклады Акад. наук СССР, 177, 70-71. Пер. на англ. в Sou. Phys. Doklady, 12, 1040-1041 (1968).

[334] Schrodinger, E. (1935). " Die gegenwartige Situation in der Quantenmechanik". Naturwissenschaften, 23, 807-812, 823-828, 844-849. (Пер. на англ.: J. Т. Trimmer (1980) в Proc. Amer. Phil. Soc, 124, 323-338.) Также в сб. Quantum theory and measurement (ed. J.A.Wheeler, W. H. Zurek). Princeton University Press, 1983.

[335] Schrodinger, E. (1935). Probability relations between separated systems. Proc. Camb. Phil. Soc, 31, 555-563.

[336] Schrodinger, E. (1967). " What is Life? " and " Mind and Matter". Cambridge University Press.

[337] Schroeder, M. (1991). Fractals, chaos, power laws. Minutes from an infinite paradise. Freeman, New York.

[338] Scott, A. C. (1973). Information processing in dendritic trees. Math. Bio. Sci., 18, 153-160.

[339] Scott, A. C. (1977). Neurophysics. Wiley Interscience, New York.

[340] Searle, J. R. (1980). Minds, brains and programs. В сб. The behavioral and brain sciences. Vol. 3. Cambridge University Press. (Также в сб. The mind's I (ed. D. R. Hofstadter, D.C.Dennett). Basic Books, Inc.; Penguin Books Ltd., Harmondsworth, Middlesex, 1981.)

[341] Searle, J.R. (1992). The rediscovery of the mind. MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

[342] Seymore, J., Norwood, D. (1993). A game for life. New Scientist, 139, No. 1889, 23-26.

[343] Sheng, D., Yang, J., Gong, C, Holz, A. (1988). A new mechanism of high Tc superconductivity. Phys. Lett., A133, 193-196.

[344] Sloman, A. (1992). The emperor's real mind: review of Roger Penrose's The Emperor's New Mind. Artificial Intelligence, 56, 355-396.

[345] Smart, J. J. С (1961). Godel's theorem, Church's theorem and mechanism. Synthese, 13, 105-110.

[346] Smith, R.J.O., Stephenson, J. (1975). Computer simulation of continuous systems. Cambridge University Press.

[347] Smith, S., Watt, R.C., Hameroff, S.R. (1984). Cellular automata in cytoskeletal lattice proteins. Physica D, 10, 168-174.

[348] Smolin, L. (1993). What have we learned from non-pertubative quantum gravity? В сб. General relativity and gravitation 1992. Proceedings of the thirteenth international conference on GRG, Cordoba, Argentina (ed. R.J.Gleiser, C. N.Kozameh, O.M.Moreschi). Institute of Physics Publications, Bristol.

[349] Smolin, L. (1994). Time, structure and evolution in cosmology. В сб. Temponelle scienziae filosofia (ed. E. Agazzi). Word Scientific, Singapore.

[350] Smorynski, C. (1975). Handbook of mathematical logic. North-Holland, Amsterdam.

[351] Smorynski, C, (1983). " Big" news from Archimedes to Friedman. Notices Amer. Math. Soc, 30, 251-256.

[352] Smullyan, R. (1961). Theory of Formal Systems. Princeton University Press.

[353] Smullyan, R. (1992). Godel's incompleteness theorem. Oxford Logic Guide No. 19. Oxford University Press.

[354] Squires, E.J. (1986). The mystery of the quantum world. Adam Hilger Ltd., Bristol.

[355] Squires, E.J. (1990). On an alleged proof of the quantum probability law. Phys. Lett., A145, 67-68.

[356] Squires, E.J. (1992). Explicit collapse and superluminal signals. Phys. Lett., A163, 356-358.

[357] Squires, E.J. (1992). History and many-worlds quantum theory. Found. Phys. Lett., 5, 279-290.

[358] Stairs, A. (1983). Quantum logic, realism and value-definiteness. Phil. ScL, 50 (4), 578-602.

[359] Stapp, H.P. (1979). Whiteheadian approach to quantum theory and the generalized Bell's theorem. Found. Phys., 9, 1-25.

[360] Stapp, H.P. (1993). Mind, matter, and quantum mechanics. Springer-Verlag, Berlin.

[361] Steen, L.A. (ed.) (1978). Mathematics today: twelve informal essays. Springer-Verlag, Berlin.

[362] Stoney, G.J. (1881). On the physical units of nature. Phil. Afag. (Series 5), 11, 381.

[363] Stretton, A. O. W., Davis, R. E., Angstadt, J. D., Donmoyer, J.E., Johnson, CD., Meade, J.A. (1987). Nematode neurobiology using Ascaris as a model system. J. Cellular Blochem., 511 A, 144.

[364] Thorne, K. S. (1994). Black holes & amp; time warps: Einstein's outrageous legacy. W. W. Norton and Company, New York.

[365] Torrence, J. (1992). The concept of nature. The Herbert Spencer lectures. Clarendon Press, Oxford.

[366] Tsotsos, J.K.. (1990). Exactly which emperor is Penrose talking about? Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 686.

[367] Turing, A.M. (1937). On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem. Proc. Land. Math. Soc. (ser. 2), 42, 230-265; исправления в 43, 544-546.

[368] Turing, A.M. (1939). Systems of logic based on ordinals. Proc. bond. Math. Soc, 45, 161-228.

[369] Turing, A.M. (1950). Computing machinery and intelligence. Mind, 59, No. 236; также в The mind's I (ed. D. R. Hofstadter, D. С Dennett), Basic Books; Penguin, Harmondsworth, Middlesex, 1981.

[370] Turing, A.M. (1986). Lecture to the London Mathematical Society on 20 February 1947. В сб. A.M.Turing's ACE report of 1946 and other papers (ed. В. Е. Carpenter, R. W. Doran). The Charles Babbage Institute, vol. 10, MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

[371] Tusznyski, J., Trpisova, В., Sept, D., Sataric, M. V. (1996). Microtubular self-organization and information processing capabilities. В сб. Toward a science of consciousness: contributions from the 1994 Tucson conference (ed. S. Hameroff, A. Kaszniak, A. Scott). MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

[372] von Neumann, J. (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer-Verlag, Berlin. Пер. на англ.: Mathematical foundations of quantum mechanics. Princeton University Press, 1955.

[373] von Neumann, J., Morgenstern, O. (1944). Theory of games and economic behaviour. Princeton University Press.

[374] Waltz, D.L. (1982). Artificial intelligence. Scientific American, 247 (4), 101-122.

[375] Wang, Hao (1974). From mathematics to philosophy. Routledge, London.

[376] Wang, Hao (1987). Reflections on Kurt Godel. MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

[377] Wang, Hao (1993). On physicalism and algorithmism: can machines think? Philosophia mathematica (Sen III), 97-138.

[378] Ward, R.S., Wells, R.O.Jr. (1990). Twistor geometry and field theory. Cambridge University Press.

[379] Weber, J. (1960). Detection and generation of gravitational waves. Phys. Rev., 117, 306.

[380] Weinberg, S. (1977). The first three minutes: a modern view of the origin of the universe. Andre Deutsch, London.

[381] Werbos, P. (1989). Bell's theorem; the forgotten loophole and how to exploit it. В сб. Bell's theorem, quantum theory, and conceptions of the universe (ed. M. Kafatos). Kluwer, Dordrecht.

[382] Wheeler, J. A. (1957). Assessment of Everett's " relative state" formulation of quantum theory. Revs. Mod. Phys., 29, 463-465.

[383] Wheeler, J. A. (1975). On the nature of quantum geometrodynamics. Annals of Phys., 2, 604-614.

[384] Wigner, E. P. (1960). The unreasonable effectiveness of mathematics. Commun. Pure Appl. Math., 13, 1-14.

[385] Wigner, E. P. (1961). Remarks on the mind-body question. В сб. The scientist speculates (ed. I. J. Good). Heinemann, London. (Также в Е. Wigner (1967), Symmetries and reflections. Indiana University Press, Bloomington; и в Quantum theory and measurement (ed. J.A.Wheeler, W. H. Zurek) Princeton University Press, 1983.)

[386] Wilensky, R. (1990). Computability, consciousness and algorithms. Behavioural and Brain Sciences, 13 (4), 690.

[387] Will, С (1988). Was Einstein right? Putting general relativity to the test. Oxford University Press.

[388] Wolpert, L. (1992). The unnatural nature of science. Faber and Faber, London.

[389] Woolley, B. (1992). Virtual worlds. Blackwell, Oxford.

[390] Wykes, A. (1969). Doctor Cardano. Physician extraordinary. Frederick Muller.

[391] Young, A.M. (1990). Mathematics, physics and reality. Robert Briggs Associates, Portland, Oregon.

[392] Zeilinger, A., Gaehler, R., Shull, C.G., Mampe, W. (1988). Single and double slit diffraction of neutrons. Revs. Mod. Phys., 60, 1067.

[393] Zeilinger, A., Home, M.A., Greenberger, D.M. (1992). Higher-order quantum entanglement. В сб. Squeezed states and quantum uncertainty (ed. D. Han, Y. S. Kirn, WW.Zachary), NASA Conf. Publ. 3135. NASA, Washington, DC.

[394] Zeilinger, A., Zukowski, M., Home, M.A., Bernstein, H. J., Greenberger, D. M. (1994). Einstein—Podolsky—Rosen correlations in higher dimensions. В сб. Fundamental aspects of quantum theory (ed. J.Anandan, J.L. Safko). World Scientific, Singapore.

[395] Zimba, J. (1993). Finitary proofs of contextuality and nonlocality using Majorana representation of spin-3/2 states, M. Sc. thesis, Oxford.

[396] Zimba, J., Penrose, R. (1993). On Bell non-locality without probabilities: more curious geometry. Stud. Hist. Phil. Sci., 24 (5), 697-720.

[397] Zohar, D. (1990). The quantum self. Human nature and consciousness defined by the New Physics. William Morrow and Company, Inc., New York.

[398] Zohar, D., Marshall, I. (1994). The quantum society. Mind, physics and a new social vision. Bloomsbury, London.

[399] Zurek, W. H. (1991). Decoherence and the transition from quantum to classical. Physics Today, 44 (No. 10), 36-44.

[400] Zurek, W.H. (1993). Preferred states, predictability, classicality and the environment-induced decoherence. Prog, of Theo. Phys., 89 (2), 281-302.

[401] Zurek, W. H., Habib, S., Paz, J. P. (1993). Coherent states via decoherence. Phys. Rev. Lett., 70 (9), 1187-1190.

[1] The Emperor's New Mind. (He так давно книга была переведена на русский язык: Пенроуз Р. Новый ум короля, М.: Едиториал УРСС. 2003.) — Прим. перев.

[2] В оригинале «it» — местоимение третьего лица единственного числа, которым в английском языке называют животных и неодушевленные предметы, независимо от их пола и/или рода. — Прим. перев.

[3] Микросхема Intel Pentium содержит более трех миллионов транзисторов на «кремниевой пластине» размером с ноготь большого пальца, причем каждый из этих транзисторов способен на 113 миллионов полных циклов в секунду.

[4] Эпифеномен — побочное явление, сопутствующее другим явлениям (феноменам), но не оказывающее на них никакого влияния. — Прим. перев.

[5] Напомним, что здесь и далее приводятся страницы оригинального английского издания. — Прим. перев.

[6] Время от времени математики натыкаются на процедуру, которая «очевидно» алгоритмична по своей природе, пусть даже порой не всегда бывает ясно, как эту процедуру можно сформулировать в виде операций машины Тьюринга или лямбда-исчисления. В таких случаях можно утверждать, что, «согласно тезису Черча», такая операция и в самом деле должна существовать. См., например, [67]. В этом пути нет ничего зазорного, и, уж конечно, не возникает никакого противоречия с C. Более того, на таком толковании тезиса Черча основывается большая часть рассуждений главы 3.

[7] В черновом варианте книги слова «извилистой» здесь не было. Если шары расположены точно на прямой линии, этот трюк оказывается достаточно простым: я узнал об этом, к своему удивлению, когда попробовал проделать это сам. При расстановке шаров по прямой возникает неожиданная устойчивость, отсутствующая в общем случае.

[8] Необходимо отметить, что это равенство не является истинным для различных странных «чисел», встречающихся порой в математике, — например, для трансфинитных чисел, о которых упоминается в пояснении к Q19, §2.10. Однако для натуральных чисел, о которых здесь, собственно, и идет речь, оно всегда справедливо.

[9] Здесь я предполагаю, что если процедура А вообще завершается, то это свидетельствует об успешном установлении факта незавершаемости C (n ). Если же А «застревает» по какой-либо иной, нежели достижение «успеха», причине, то это означает, что в данном случае процедура A корректно завершиться не может. См. далее по тексту возражения Q3 и Q4, а также Приложение А.

[10] Собственно, точно такой же результат достигается посредством процедуры, выполняемой универсальной машиной Тьюринга над парой чисел q, n; см. Приложение А и НРК, с. 51-57.

[11] Термин «алгоритмизм», который (по своей сути) прекрасно подходит для обозначения «точки зрения A » в моей классификации, был предложен Хао Ваном [377].

[12] Приведение к абсурду (лат.), доказательство от противного. — Прим. перев.

[13] Чтобы подчеркнуть, что я принимаю это обстоятельство во внимание, я отсылаю читателя к Приложению А, где представлена явная вычислительная процедура (выполненная в соответствии с правилами, подробно описанными в НРК, глава 2) для получения операции Ck (k ) машины Тьюринга посредством алгоритма A. Здесь предполагается, что алгоритм A задан в виде машины Тьюринга Ta. определение же вычисления Cq (n ) кодируется как операция машины Ta над числом q, а затем над числом n.

[14] Представление некоторых формальных систем включает в себя бесконечное количество аксиом (они описываются через посредство структур, называемых «схемами аксиом»), однако, чтобы оставаться «формальной» в том смысле, какой вкладываю в это понятие я, система должна быть выразима в каком-то конечном виде — например, упомянутая система с бесконечным количеством аксиом должна порождаться конечным набором вычислительных правил. Это вполне возможно, и именно так и обстоит дело со стандартными формальными системами, которые применяются в математических доказательствах, — одной из таких систем является, например, знаменитая «формальная система Цермело—Френкеля» ZF, описывающая традиционную теорию множеств.

[15] Пояснение к используемым здесь обозначениям можно найти в §2.8. Впрочем, G (F ) без ущерба для смысла рассуждения можно было бы везде заменить на Ω (F ), в чем мы убедимся ниже.

[16] Источник цитаты мне, к сожалению, обнаружить не удалось. Однако, как справедливо заметил Рихард Иожа, точная формулировка слов Фейнмана не имеет никакого значения, поскольку послание, которое они несут, применимо и к ним самим!

[17] Как и ранее, обозначение G (F ) можно без каких бы то ни было последствий заменить на Ω (F ). То же справедливо и для комментариев к Q15 -Q20.

[18] Это означает, что при кодировании машины Тьюринга каждую последовательность …110011 … можно заменить на …11011 …. В спецификации универсальной машины Тьюринга, описанной в НРК (см. примечание 7 после главы 2), имеется пятнадцать мест, где я этого не сделал. Чрезвычайно досадная оплошность с моей стороны, и это после того, как я приложил столько усилий, чтобы добиться (в рамках моих же собственных правил) по возможности наименьшего номера, определяющего эту универсальную машину. Упомянутая простая замена позволяет уменьшить мой номер более чем в 30 000 раз! Я благодарен Стивену Ганхаусу за то, что он указал мне на этот недосмотр, а также за то, что он самостоятельно проверил всю представленную в НРК спецификацию и подтвердил, что она действительно определяет универсальную машину Тьюринга.

[19] Более того, сам Тьюринг первоначально предполагал вообще останавливать машину всякий раз, когда она повторно переходит во внутреннее состояние «0» из любого другого состояния. В этом случае нам не только не понадобилось бы вышеупомянутое ограничение, мы спокойно могли бы обойтись и без команды STOP. Тем самым мы достигли бы существенного упрощения, поскольку последовательность 11110 в качестве команды нам была бы уже не нужна, и ее можно было бы использовать как разделитель, что позволило бы избавиться от последовательности 111110. Это значительно сократило бы длину предписания K, и, кроме того, вместо пятеричной системы счисления мы обошлись бы четверичной.

[20] Одним из достаточно тривиальных «подходов», с помощью которых можно осуществить упомянутое переформулирование, является следующий: нужно просто принять за набор правил действия требуемой системы последовательность операций машины Тьюринга, корректно реализующей алгоритм F.

[21] Эвристический принцип такого рода может принять форму гипотезы — в качестве примера укажем весьма значительную гипотезу Таиямы (обобщенную позднее в так называемую «философскую теорию Лэнгленда»), в виде следствия из которой можно представить самое, пожалуй, знаменитое из Π 1-высказываний, известное широкой публике как «последняя теорема Ферма» (см. также примечание [28]). Однако рассуждение, предложенное Эндрю Уайлзом в качестве доказательства утверждения Ферма, представляет собой не рассуждение, независимое от гипотезы Таиямы, — каким оно неизбежно оказалось бы, будь эта гипотеза правилом системы «R », — но рассуждение, доказывающее (в соответствующем случае) саму гипотезу Таиямы!

[22] Мне, разумеется, могут возразить, и не без оснований, что создание робота-математика отнюдь не входит в перечень ближайших задач исследований в области искусственного интеллекта; соответственно, попытки отыскания упомянутого алгоритма F следует полагать преждевременными либо вовсе ненужными. Такое возражение, однако, может означать лишь то, что возражающий не совсем ясно представляет себе цели и суть настоящего обсуждения. Те точки зрения, согласно которым человеческий интеллект в целом объясним посредством алгоритмических процессов, неявно подразумевают, что алгоритм F — познаваемый или нет — потенциально существует; к нашему же выводу мы пришли, всего лишь применив свой интеллект. Математические способности не являются в этом отношении чем-то особенным; см.. в частности, §§1.18, 1.19.

[23] На сегодняшний день мы располагаем вполне строгой математической теорией обучения; см. [10]. Однако эта теория имеет отношение больше к сложности, нежели к вычислимости — иными словами, рассматривает вопросы, связанные с производительностью вычислительных машин и объемом их памяти, необходимыми для решения тех или иных проблем; см. НРК, с. 140-145. Создатели теории не делают никаких предположений о том, что такие математически определенные системы обучения могут оказаться способными моделировать процесс приобретения математиком-человеком собственного понятия о «неопровержимой истине».

[24] В ранних изданиях этой книги вместо обозначения G (F ) в оставшейся части главы 3 использовалось обозначение Ω (F ). Однако G (F ), на мой взгляд, представляется в данном случае более уместным (см. также §2.8 и комментарии к возражению Q10, §2.10).

[25] Само собой разумеется, что вариант (d) мы в данном случае даже не рассматриваем, так как набор механизмов M был роботу в явном виде предъявлен, кроме того, мы на время допускаем, что механизмы M не включают в себя никаких случайных элементов, вследствие чего вариант (c) также отпадает.

[26] Строго говоря, обозначение G ( ) было зарезервировано в §2.8 для формальных систем, а не для алгоритмов, однако, полагаю, уважаемый А. И. может позволить себе некоторую вольность в обозначениях.

[27] В оригинале речь идет лишь об английском языке, однако, как нам представляется, английский язык в этом отношении отнюдь не одинок. — Прим. перев.

[28] Многие читатели, должно быть, уже слышали, что «последняя теорема Ферма» после 350 лет неудачных попыток наконец-то доказана; доказательство представил 23 июня 1993 года в Кембридже Эндрю Уайлз. Как раз когда я писал эти строки, мне сообщили, что в доказательстве все еще имеются несколько досадных неувязок, так что радоваться пока рано, однако вполне возможно, что в ближайшее время Уайлз предоставит достаточные для устранения этих неувязок аргументы.

[29] На рисунках в НРК изображены только «будущие» части световых конусов.

[30] Забавно, что сам Ньютон тоже высказывал подобную идею. (См. «Вопросы» 18-22 в третьей книге «Оптики» (1730).)

[31] Cosmic Background Explorer (англ.) — букв. «Исследователь космического фонового излучения». — Прим. перев.

[32] Головоломка (англ.). — Прим. перев.

[33] Парадокс (англ.). — Прим. перев.

[34] «Великое искусство» (лат.) — Прим. перев.

[35] Неприводимый случай (лат.). — Прим. перев.

[36] Из соображений удобства я использую здесь предложенную Дираком стандартную систему обозначений для квантовых состояний (в данном случае, скобку «кет»). Читатели, незнакомые с квантовомеханическими обозначениями, могут пока не обращать на эти скобки внимания.

Поль Дирак был одним из наиболее выдающихся физиков двадцатого столетия. Среди его достижений — общая формулировка законов квантовой теории, а также ее релятивистское обобщение, включающее в себя знаменитое «уравнение Дирака» для электрона. Дирак обладал удивительной способностью «чуять» истину — свои уравнения он оценивал в значительной степени по их эстетическим качествам!

[37] Shabbos-ключ, или Субботний выключатель . Тот факт, что и Элитцур, и Вайдман работают в университетах Израиля, натолкнул нас с Артуром Экертом однажды во время беседы на идею создания устройства для помощи тем евреям, кто строго соблюдает все установления иудаизма и кому, следовательно, запрещается включать или выключать электрические приборы в субботу. Мы могли бы запатентовать соответствующее устройство и заработать тем самым целое состояние, однако вместо этого решили сделать нашу эпохальную идею достоянием общественности, дабы ею мог воспользоваться любой еврей, у которого возникнет в таком устройстве потребность. Для создания устройства понадобится источник, способный испускать непрерывную последовательность фотонов, два полупрозрачных и два непрозрачных зеркала и фотоэлемент, соединенный с прибором, который необходимо включать/выключать. Схема аналогична изображенной на рис. 5.13, фотоэлемент помещается в точке G. Для того чтобы включить или выключить прибор, следует поместить палец на пути луча D, приблизительно там же, где на рис. 5.13 находится препятствие. Если фотон падает на палец, то ничего не происходит — разумеется, никакого греха в этом нет. (Фотоны и без того постоянно бомбардируют наши пальцы, и по субботам с ничуть не меньшим усердием.) Если же палец с фотоном не встретится, то имеется 50%-я вероятность (буде на то воля Божия), что обслуживаемый устройством электроприбор включится. Несомненно, не будет греха и в том, что фотон упадет не на ваш палец, а на выключатель прибора. (Тут имеется, правда, одно возражение практического свойства: источники, способные испускать по одному фотону, весьма сложны — и дороги. Однако особой необходимости в них, в сущности, нет. Сгодится любой источник фотонов, поскольку приведенное выше рассуждение применимо и к каждому отдельному фотону из пучка.)

[38] Английское spin как раз и означает, среди прочего, «вращение». — Прим. перев.

[39] Вещественное число e называется «основанием натурального логарифма»: e = 2, 7182818285 Запись ez означает «число e в степени z »; для вычисления значения такого выражения используют следующее разложение:

[40] Любопытно, что такого рода феномены находят недвусмысленное подтверждение в реальных физических наблюдениях. Описанный Хэнбери Брауном и Твиссом [187, 188] эффект, в соответствии с которым были измерены диаметры некоторых близлежащих звезд, основывается как раз на таком «бозонном» свойстве взаимодействия достигающих Земли фотонов, испущенных с противоположных краев звезды.

[41] Можно привести примеры [393], когда сцепленность пары частиц сама может оказаться компонентом сцепленной пары!

[42] С практической точки зрения (англ.). — Прим. перев.

[43] Эта идея была предложена в 1932 году выдающимся венгерско-американским математиком Джоном фон Нейманом. Ему же, главным образом, мы обязаны теорией, опиравшейся на первопроходческие труды Алана Тьюринга и положившей начало развитию электронных компьютеров. Кроме того, фон Нейман стоял у истоков теории игр (см. ссылку в примечании 46) и, что ближе к теме нашего разговора, первым четко определил две квантовые процедуры, которые я обозначил здесь буквами «U » и «R ».

[44] Созвучно английскому bracket «скобка». — Прим. перев.

[45] См. обращение к читателю в начале книги.

[46] Нельзя, разумеется, забывать и о сознании кошки! На эту сторону дела обратил наше самое пристальное внимание Юджин П. Вигнер, предложив свой вариант парадокса шрёдингеровой кошки [385]. «Друг Вигнера» разделяет с шрёдингеровой кошкой некоторые из ее лишений, однако в каждом из состояний суперпозиции остается в полном сознании!

[47] Эти причины я уже изложил весьма подробно в НРК(главы 7 и 8) и не вижу необходимости повторять свои рассуждения здесь. Достаточно будет сказать, что все они до сих пор остаются в силе — хотя критерий редукции из §6.12 существенно отличается от того, что был представлен в НРК (на с. 367—371).

[48] Двадцатью пятью годами раньше очень похожую идею выдвинул ирландский физик Джордж Джонстон Стоуни [362]; правда, в качестве одной из основных единиц он выбрал не постоянную Планка (о существовании которой тогда никто и не подозревал), а заряд электрона. (На это мое упущение мне указал Джон Барроу, за что я ему чрезвычайно благодарен.)

[49] Ничто, впрочем, не мешает нам выразить время редукции в более привычных, нежели введенные выше абсолютные, единицах. В этом случае время редукции определяется просто как ħ /E, где E — все та же гравитационная энергия разделения, a ħ — единственная постоянная, которая нам понадобится. То обстоятельство, что в выражении никак не участвует скорость света с, наводит на мысль о целесообразности рассмотрения теории «ньютоновской» модели такого рода (см., напр., [50]).

[50] В НРК я использовал для обозначения такого процесса термин «корректная квантовая гравитация» (ККГ[50][50] Англ. CQG, correct quantum gravity. — Прим. перев.

). Здесь же акцент несколько иной. Сейчас я не хочу указывать на связь рассматриваемой процедуры с фундаментальной задачей построения непротиворечивой теории квантовой гравитации. Я хочу, скорее, подчеркнуть, что в основе этой процедуры лежат те же предположения, что я сделал в §6.12, плюс некий фундаментальный неизвестный и невычислимый компонент. Использование сокращения OR [50][50] Англ. or переводится как «или». — Прим. перев.

имеет еще и дополнительный смысл: физическим результатом объективной редукции и в самом деле является одно состояние — или то, или другое, — в отличие от комплексной суперпозиции, с которой мы имели дело прежде.

[51] По крайней мере, таково традиционное представление. Сегодня у нас есть некоторые основания полагать, что эта простая «аддитивная» модель слишком упрощена и определенная «обработка информации» может осуществляться уже в дендритах отдельных нейронов. На возможность такой обработки указывал, среди прочих. Карл Прибрам (см. [319]). Сходные в общих чертах предположения были сделаны ранее Алвином Скоттом [338, 339] (а о возможности наличия «интеллекта» в отдельно взятой клетке можно прочесть, например, у Альбрехта-Бюлера [8]). Возможность сложной «дендритной» обработки информации внутри отдельных нейронов мы подробнее обсудим в §7.4.

[52] Nanobiology.

[53] Белки, ассоциированные с микротрубочками (англ.) — Прим. перев.

[54] Англ. bucky balls. — Прим. перев.

[55] Убежденным сторонником идеи, согласно которой конденсация Бозе—Эйнштейна способна привести к формированию того «отдельного самоощущения», которое можно счесть характерной особенностью сознания, является Иэн Маршалл [258], см. также [397], [398] и [243]. Ранее идею глобальных (существенно квантовых) макроскопических когерентных «голографических» процессов в мозге активно поддерживал Карл Прибрам [317, 318, 319].

[56] Гораздо менее понятно, впрочем, существует ли сколько-нибудь прямая связь между упомянутыми сравнительно высокочастотными процессами и более привычной «волновой» активностью мозга (например, альфа-ритмом с частотой 8-12 ГЦ). Предполагается лишь, что такие низкие частоты могут возникать как «частоты биений», однако никакой связи пока не установлено. Особо примечательными в этой связи представляются не так давно обнаруженные колебания с частотой 35-75 Гц, ассоциирующиеся, по-видимому, с областями мозга, ответственными за сознательное внимание. Колебания эти, похоже, обладают какими-то загадочными нелокальными свойствами. (См. [107], [167], [64], [65] и [63]).

[57] См. обращение к читателю в начале книги.

[58] Есть некий математический смысл в том, что эволюционирующий в обратном направлении вектор состояния обозначается как «бра-вектор», 〈 φ |, тогда как вектор, эволюционирующий нормально, получает стандартное обозначение «кет-вектора», |ψ 〉. Такую пару векторов состояний можно рассматривать как произведение |ψ 〉 〈 φ |. Это обозначение фигурирует также в формализме матриц плотности из §6.4.

[59] Поскольку в нейроанатомии я человек вполне посторонний, меня не мог не поразить факт наличия в организации мозга одной особенности (похоже, так и не нашедшей до сих пор объяснения), которой мозжечок не обладает. Большая часть сенсорных и двигательных нервов «идут наперекрест», т.е. левая сторона мозга отвечает в основном за правую сторону тела, и наоборот. И не только это — та область мозга, что обрабатывает зрительные образы, находится сзади, а та, что заведует ногами, находится вверху; так же обстоит дело и с ушами: сигналы из правого уха обрабатываются слева, а из левого — справа. Нельзя сказать, что эта особенность мозга носит абсолютно универсальный характер, но я не могу отделаться от ощущения, что это не случайно. Потому что мозжечок устроен иначе. Может ли быть так, что сознание каким-то образом выигрывает от того, что нервным сигналам приходится идти «длинной дорогой»?

[60] Search for Extraterrestrial Intelligence — Поиск внеземного разума (англ.) — Прим. перев.

⇐ Предыдущая 61 62 63 64 65 66 67 68 6970

Последнее изменение этой страницы: 2019-06-19; Просмотров: 133; Нарушение авторского права страницы