Поиск рациональных корней многочлена с целыми (рациональными) коэффициентами.

Пусть

Доказательство.1), 2) Так как f(p/q) = 0, то

Домножая обе части полученного равенства на qⁿ, получаем

Слагаемые в левой части равенства со второго до последнего делятся на q, следовательно, первое слагаемое a₀pⁿ также делится на q, но так как НОД(p, q) = 1, то a₀:q.

Аналогично, слагаемые с первого до предпоследнего в левой части равенства делятся на p, следовательно, последнее слагаемое a_nqⁿ также делится на p, но так как

НОД(p, q) = 1, то a_n:p.

3) Разделим f на x − m. Получим в частном q, а в остатке f(m):

f = (x − m)g + f(m).

Заметим, что g ∈ Z[x] при x = p/q получаем 0 = (p/q − m)g(p/q) + f(m).

Домножаем обе части этого равенства на qⁿ

Для всех делителей p коэффициента an и всех делителей q коэффициента a₀, если НОД(p, q) = 1, проверим (например, с помощью схемы Горнера) равенство f(p/q) = 0. Проверку целесообразно начать с q = 1 и всех p, делящих a_n: полученные в результате них значения f(m), где m = p/q ∈ Z, можно использовать для отсеивания дальнейших пробных p и q с помощью условия f(m):(p − mq). Как только один из корней p/q найден, многочлен f можно разделить на x − p/q и применим ту же процедуру к частному.

Примитивные многочлены. Лемма Гаусса. Эквивалентность неприводимости многочленов над полемрациональных и кольцом целых чисел.

Ненулевой многочлен f = a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+. . .+a_n−1x+a_n ∈ Z[x] называется примитивным,если его коэффициенты a₀, a₁, . . . , a_n взаимно просты в совокупности.

Лемма Гаусса. Произведение примитивных многочленов является примитивным многочленом.

Доказательство. Пусть

и многочлены g и h примитивны. Поэтому для любого простого p найдутся такие s и t, что

b_i:p (i = 0, 1, . . . , s − 1), b_s<:>p, c_j;p (j = 0, 1, . . . , t − 1), c_t<:>p.

Докажем, что a_s+t<:>p, что докажет примитивность многочлена f. Имеем

Каждое из слагаемых b_s−1c_t+1, b_s−2c_t+2 и т. д. делится на p, так как b_i:p при i < s. Каждое из слагаемых b_s+1c_t−1, b_s+2c_t−2 и т. д. делится на p, так как c_j:p при j < t. Но b_sc_t<:>p.

Теорема. Если многочлен f э Z[x] допускает разложение на многочлены g э Q[x] и h э Q[x], то f допускает также разложение на многочлены cg э Z[x] и c1h э Z[x], где c, c1— некоторые константы.

Доказательство.

НОД(p, q) = 1, НОД(p₁, q₁) = 1

Так как f ∈ Z[x], то qq1 должно сократиться с pp1^g^h. Но многочлен ^g^h примитивен, поэтому знаменатель qq₁ должен сократиться с pp₁, т. е. (pp₁)/(qq₁) ∈ Z. Полагая,

например, c = p₁/q₁, c₁ = q₁/p₁, получаем f = (cg)(c₁h),

 причем

Следствие. Многочлен f э Z[x] неприводим над Q тогда и только тогда, когда он неприводим над Z, т. е. не допускает разложения на многочлены ненулевой степени из Z[x].

Приведенное следствие существенно облегчает доказательство неприводимости многочленов над полем Q. Приведем одно из известных достаточных условий неприводимости многочлена над Q.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: