Метод наименьших квадратов. Проектирование на подпространство.

Фундаментальная система

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

 

 

LU, LDU-разложение

LU-разложение — представление матрицы в виде , где — нижняя треугольная матрица, а — верхняя треугольная матрица. LU-разложение еще называют LU-факторизацией.

LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений и для обращения матриц. Этот метод является одной из разновидностей метода Гаусса.

 

Один из алгоритмов для вычисления LU-разложения приведён ниже.

Будем использовать следующие обозначения для элементов матриц , , ; причём диагональные элементы матрицы : , . Тогда, если известно LU-разложение матрицы, её определитель можно вычислить по формуле = произведению элементов на диагонали матрицы U.

Найти матрицы и можно следующим образом (выполнять шаги следует строго по порядку, так как следующие элементы находятся с использованием предыдущих):

1.

2.

Для

1.

2.

В итоге мы получим матрицы — и . В программной реализации данного метода (компактная схема Гаусса) для представления матриц и можно обойтись всего одним массивом, в котором совмещаются матрицы и . Например, так (для матрицы размером ):

 

 

Метод наименьших квадратов. Проектирование на подпространство.

Метод наименьших квадратов (МНК, OLS, Ordinary Least Squares) — один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

 

Необходимо отметить, что собственно методом наименьших квадратов можно назвать метод решения задачи в любой области, если решение заключается или удовлетворяет некоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Поэтому метод наименьших квадратов может применяться также для приближённого представления (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т.д.

Квадратичные формы

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Определение

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а — некоторые элементы поля .

Критерий Сильвестра

Жорданова форма матрицы

Матрицы и замены базисов. Примеры

Билинейные формы. Примеры

Эрмитовы билинейные формы

QR-разложение

Понятие группы. Примеры

Абелевы группы

Кольцо. Примеры

Делители нуля

Поле

Фундаментальная система

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

— её расширенная матрица.

 

 

LU, LDU-разложение

LU-разложение — представление матрицы в виде , где — нижняя треугольная матрица, а — верхняя треугольная матрица. LU-разложение еще называют LU-факторизацией.

LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений и для обращения матриц. Этот метод является одной из разновидностей метода Гаусса.

 

Один из алгоритмов для вычисления LU-разложения приведён ниже.

Будем использовать следующие обозначения для элементов матриц , , ; причём диагональные элементы матрицы : , . Тогда, если известно LU-разложение матрицы, её определитель можно вычислить по формуле = произведению элементов на диагонали матрицы U.

Найти матрицы и можно следующим образом (выполнять шаги следует строго по порядку, так как следующие элементы находятся с использованием предыдущих):

1.

2.

Для

1.

2.

В итоге мы получим матрицы — и . В программной реализации данного метода (компактная схема Гаусса) для представления матриц и можно обойтись всего одним массивом, в котором совмещаются матрицы и . Например, так (для матрицы размером ):

 

 

Метод наименьших квадратов. Проектирование на подпространство.

Метод наименьших квадратов (МНК, OLS, Ordinary Least Squares) — один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

 

Необходимо отметить, что собственно методом наименьших квадратов можно назвать метод решения задачи в любой области, если решение заключается или удовлетворяет некоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Поэтому метод наименьших квадратов может применяться также для приближённого представления (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т.д.

Поделиться: