Анализ кинематических пар механизма

Анализ кинематических пар механизма

Кинематич. пара	О	А	А₁	О₁	В	С	Д
Звенья, Образующие пару	0-1	1-2	2-3	3-0	3-4	4-5	5-0
Класс пары	5	5	5	5	5	5	5
Название	вращ.	вращ.	пост.	вращ.	вращ.	вращ.	пост.

Таким образом, n = 5, р₅ = 7, р₄ = 0

Степень подвижности механизма определяется по формуле Чебышева:

W = 3 n – 2 p ₅ – p ₄,

где n – число подвижных звеньев,

р₅ – число кинематических пар 5-го класса,

р₄ – число кинематических пар 4-го класса

Следовательно, степень подвижности механизма будет равна: W = 3*5-2*7-0 = 1

Вывод: рассматриваемый механизм содержит один механизм первого класса, состоящий из входного звена (кривошипа) и стойки.

Разложение механизма на структурные составляющие (группы Ассура и механизм I класса)

Структурные составляющие механизма

а – группа Ассура II класса 2-го вида

б – группа Ассура II класса 3-го вида

в – механизм I класса

В итоге получаем следующую структурную формулу механизма:

I -> II ₃ -> II ₂

Т.е. механизм образован присоединением к механизму I класса группы Ассура II класса 2-го вида.

Следовательно, делаем вывод: рассматриваемый механизм является механизмом II класса.

Построение плана положений механизма

План положений механизма строится с использованием масштабного коэффициента, начиная с разметки положения неподвижных шарниров и направляющих. Под масштабным коэффициентом понимают отношение какой-либо физической величины к отрезку, изображающему эту физическую величину на плане.

μ _L =Фактическая длина звена (м)/Длина отрезка на плане (мм)

Построение плана положений необходимо начинать с положения, в котором начинается рабочий ход механизма (одно из двух крайних положений, которое в дальнейшем будем называть нулевым ). Крайнее положение определяют по траектории движения исполнительного (выходного) звена, совершающего возвратное движение: скорость его в крайних положениях равна нулю, так как меняется направление движения.

В том случае, когда цикл движения механизма включает рабочий и холостой ход, положения рабочего хода определяются по заданному направлению силы полезного сопротивления, которая действует против движения выходного звена.

Если механизм не имеет холостого хода, т.е. при прямом и при обратном движениях выходного звена совершается полезная работа, то за нулевое можно принять любое из крайних положений.

Для определенных механизмов крайнее положение определяется легко: когда кривошип составляет с кулисой прямой угол или когда кривошип и шатун располагаются на одной прямой, для других - крайние положения следует определять подбором, контролируя определением скорости выходного звена.

Построив нулевое положение механизма, строят еще как минимум пять промежуточных положений. Для этого круговую траекторию конца кривошипа делят на шесть частей и нумеруют соответствующие положения в направлении вращения кривошипа. Остальные звенья в каждом из положений механизма строят последовательно засечками их длин, учитывая принятый масштабный коэффициент.

Следует учесть, что план положений должен включать оба крайних положения механизма, поэтому, если второе крайнее положение не вошло в число построенных шести, его строят дополнительно.

Одно из положений механизма, как правило, на рабочем ходу (лучше то, для которого будет проводиться силовой анализ) выделяется основными линиями, остальные изображаются контурными.

На плане положений при необходимости может быть определена траектория движения любой точки механизма, для чего последовательные положения выбранной точки соединяются плавной кривой.

Для механизма построен план семи положений. Масштабный коэффициент плана положений μ _L =0, 0038м/мм. Размеры звеньев механизма равны

L_OA =0, 15м, L_BC =0, 65м, L_BO ₁ =0, 65м.

Точки О и В расположены на одной горизонтали на расстоянии 0, 4м, и расстояние от точки О до оси ползуна также равно 0, 4м.

Сила полезного сопротивления направлена вверх, следовательно, рабочий ход ползуна механизма соответствует его движению вниз, поэтому нулевым будем считать верхнее крайнее положение ползуна. Второе крайнее положение механизма (нижнее), обозначено индексом k.

Размещая нагрузочную диаграмму F _ПС= f ( S _D ) такимобразом, чтобы перемещения ползуна ( S_D ) на диаграмме и плане положений соответствовали друг другу, мы сможем легко определить значение силы полезного сопротивления ( F _ПС ) для любого положения механизма. Эти силы будут учитываться в расчете приведенного момента сил, при проектировании маховика в разделе «Динамика механизмов».

Для выполнения силового анализа следует выбрать одно из положений механизма, в котором сила сопротивления имеет наибольшее значение. Поэтому и план ускорений строится именно для этого положения. Максимальное значение силы полезного сопротивления F_max для нашего примера приходится на первое положение механизма.

Силовой анализ механизма

Целью силового анализа является определение реакций в кинематических парах, т.е. тех сил, которые передаются в кинематической цепи от одного звена к другому. При решении этой задачи методом кинетостатики (или методом Н.Г. Бруевича) появляется возможность определить и уравновешивающую силу – силу, которую должен сообщить двигатель для нормального функционирования механизма технологической машины, или ту силу полезного сопротивления, которую может преодолеть двигатель.

Метод кинетостатики основан на применении принципа Даламбера, который формулируется следующим образом: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме действующих на нее внешних сил приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики. Это позволяет вести расчет неравномерно движущихся звеньев по уравнениям статики.

В общем случае, когда звено совершает плоское движение, силы инерции приводятся к главному вектору сил инерции F _И, приложенному к центру масс звена и главному моменту пар сил инерции М_И, определяемый по соотношениям:

→

F _И = -m * a_S

→

M _И = -J_S * ε

где m – масса звена, кг;

a_S – ускорение центра масс звена, м/с²

J_S – осевой момент инерции звена относительно центра масс, кг*м²

ε – угловое ускорение звена, с²

Отметим, что реакция в кинематической паре 5-го класса всегда содержит две неизвестные составляющие (в поступательной – точку приложения и величину силы, во вращательной – величину и направление силы), и механизм без избыточных связей является статически определимым. Для упрощения расчетов значительно удобнее разложить его на группы Ассура, которые также являются статически определимым (доказательства этого утверждения см. в (3) или (4)).

Таким образом, силовой анализ механизма следует проводить по структурным группам, начиная с группы, наиболее удаленной от механизма I класса, и заканчивая сомим механизмом I класса.

Иными словами, силовой анализ механизма проводится в порядке, обратном кинематическому.

Рассмотрим проведение силового анализа для первого положения механизма, структурный и кинематический анализ которого приведены в работе (1). Решение этой задачи выполним графоаналитическим методом.

Для проведения силового анализа необходимо знать все внешние силы, в том числе силы инерции, действующие на механизм, поэтому необходимо задаться массами и моментами инерциизвеньев, а также координатами центров масс звеньев.

Массы звеньев, совершающих вращательное и плоскопараллельное движение, определяются по эмпирической формуле:

m_i = q * l_i

где m_i – масса i-го звена, кг;

q – массовый коэффициент, принимаемый 15кг/м.

l_i – длина i-го звена, м.

Массы звеньев округляются до целых величин кратных 5.

Массы звеньев, совершающих поступательное движение, принимают равными: для строгальных, долбежных станков, пуансонов, прессов – 80…150кг, для камней кулисных механизмов – массе кривошипов.

Моменты инерции стержневых звеньев механизма принимать расчетом по формуле:

J_i = ( m_i * l_i ² ) / 10,

где J_i – момент инерции массы i-го звена, кг*м²;

m_i – масса i-го звена, кг;

l_i – длина i-го звена, м.

Где J- момент инерции массы i-го звена, кг·м²;

m_i- масса i-го звена, кг;

l_i- длина i-го звена, м.

Моменты инерции массы округлить до двух значащих цифр кратных 5.

Центры тяжести звеньев расположены посередине звеньев, если в заданиях нет дополнительных указаний относительно их расположения. Центры масс треугольных звеньев лежат в точке пересечения медиан треугольника.

Максимальная величина силы полезного сопротивления принимается в 5…10 раз больше, чем сумма сил тяжести всех звеньев механизма.

F_п.с.= 5…10·∑ G_i

ⁱ⁼¹

где G_i – сила тяжести i-го звена, Н.

Для простоты укажем только значения выбранных инерционных параметров:

m_1,m_2,m_3,m_4,m_5,J_S_4,J_S₅

Моменты инерции остальных звеньев будем считать пренебрежимо малыми.

Выделим последнюю группу Ассура, состоящую из звеньев 4 и 5. Вычертим в масштабе μ _L= 0, 0038 м/мм план группы в соответствующем положении и определим все силы, действующие на звенья этой группы.

Сила полезного сопротивления определяется заданием, в данном случае приложена в точке D, направлена вверх. Величина определена по диаграмме F_п.с.= f(S_D), которая вычерчивается в пределах величины хода 5-го звена; масштабный коэффициент силы F_п.с.на диаграмме выбираем произвольно, с учетом свободного места рядом с планом положений.

Силы тяжести приложены в центрах масс звеньев (S₄ иD), направлены вертикально вниз, по величине равны:

G₄=294 Н

G₅= 980 Н

Где g – ускорение свободного падения, g =9, 8 м/с².

Силы инерции приложены также в центрах масс звеньев, направлены противоположно направлению ускорений центров масс и равны:

F_И4 = m₄·a_S₄= 30*6, 58=197, 4 Н

F_И5= m₅·a_D=100*6, 44=644 Н

Кроме того, на звено 4 будет действовать момент пар сил инерции:

М_И4= J_S₄·ε ₄=7, 5*4, 5= 33, 75 Нм

направленный против углового ускорения звена 4, т.е. по часовой стрелке.

Любая сила (вектор) характеризуется величиной, направлением и точкой приложения ( центр шарнира), в поступательных известно направление ( перпендикуляр к оси движения).

Реакция F₃₄ в кинематической паре С (воздействие отсоединенного третьего звена на четвертое) – известна точка приложения – центр шарнира, т.е. точка С, но неизвестны величина и направление силы. Для удобства расчета разложим неизвестную реакцию F₃₄ на две составляющие: F₃₄ⁿ, действующую вдоль звена CD, и F₃₄^τ, ей перпендикулярную. Направление векторов этих реакций – произвольное.

Реакция F₀₅ в кинематической паре (реакция отсоединенной стойки 0 на ползун 5) – неизвестны величина силы, направленной перпендикулярно направляющей и приложенной в центре ползуна, и величина момента пар сил. Для удобства расчета силу и момент заменим одной силой F₀₅, смещенной от оси ползуна на неизвестное расстояние х.

Реакция F₄₅ (или F₅₄) в кинематической паре D внутренняя для данной группы асура реакция между звеньями 5 и 4 (между шатуном и ползуном) также содержит две неизвестные составляющие: величину и направление, которые необходимо найти в результате силового анализа. На плане группы эти реакции не показаны, так как они являются внутренними силами, следовательно, взаимно уравновешены.

Под действием всех вышеперечисленных сил группа Асура (и любое из ее звеньев) находятся в равновесии, т.е. интересующие нас неизвестные составляющие реакции в кинематических парах могут быть определены из уравнений статики.

Ориентируясь на применение метода плана сил, который позволяет найти не более двух неизвестных составляющих из одного векторного уравнения статики, рекомендуется следующий порядок силового анализа данной группы.

Величину составляющей F^τ ₃₄ найдем из условия равновесия звена 4:

∑ ⁿ _i ₌₁ M_D ( F_i ) =0

где M_D ( F_i ) – момент i-ой силы относительно точки D

Для нашего примера

F^τ ₃₄ * l_CD + M и₄ + F и₄ * h ₁ * μ _L – G ₄ * h ₂ * μ _L = 0.

где h ₁ и h ₂ – плечи сил F и₄ и G ₄, соответственно, относительно точки D, определяемые непосредственно на плане группы в мм.

Из полученного уравнения можно определить величину F^τ ₃₄:

F^τ ₃₄ = ( G ₄ * h ₂ * μ _L – Fμ ₄ * h ₁ * μ _L – M и₄) / l_CD =

= (294 * 14 * 0, 0038 – 197, 4 * 33 * 0, 0038 – 33, 75) / 1, 71 = 25, 08Н.

Для построения плана сил составим векторное уравнение равновесия группы Ассура (сумма всех сил, действующих на группу, равна нулю), при этом соблюдая условие, впоследствии облегчающие решение нашей задачи:

- неизвестные составляющие (в нашем случае Fⁿ ₃₄ и F ₀₅ ), будем располагать по краям уравнений;

- в уравнение сначала включим все силы, принадлежащие одному звену, затем все силы, принадлежащие другому;

- составляющие одной и той же силы, например F^τ₃₄и Fⁿ₃₄, не будем отрывать друг от друга.

Таким образом,

→ → → → → → → →

F ₀₅ + F_n _. _c _. + G ₅ + F _И5 + F _И4 + G ₄ + F^τ ₃₄ + Fⁿ ₃₄ =0.

Построение плана сил группы CD – D и есть решение этого уравнения. Последовательность решения (см. рис.: план сил группы CD – D):

- выберем масштабный коэффициент μ _F равный 16Н/мм;

- проведем известное направление силы F₀₅ – горизонтальную линию;

- выберем на ней произвольную точку и из нее отложим вектор F_n_._c_. в принятом масштабе (при μ _F =85, 3 Н/мм, F_n_._c_. =12794/85, 3 = 150мм) и в соответствующем направлении (в нашем примере – вверх);

- из конца вектора F_n_._c_. отложим в соответствии с направлением действия вектор силы G₅ в том же масштабе, т.е. G₅ =980/85, 3 = 11, 5мм (на построенном плане для наглядности вектор G₅ сдвинут вправо);

- далее в последовательности, соответствующей порядку суммирования векторов в решаемом уравнении, в том же масштабе и соответствующих направлениях откладываем все известные векторы, т.е. F_И, F_И4, G₄, F^τ₃₄ (в данном случае векторы F_И5, F_И4, изображаются точкой ввиду их малости);

- из конца вектора F^τ₃₄ проведем направление вектора Fⁿ₃₄до пересечения с проведенным в начале решения направлением вектора F₀₅ .

Равенство нулю суммы сил на плане сил равнозначно замкнутости многоугольника сил, следовательно, из полученного решения можно определить величины и направление действия искомых сил: F₀₅ = и направлена влево, как это было предварительно принято при составлении расчетной схемы группы CD-D.

Вектор силы F₃₄имеет смысл определить полностью, а не по составляющим. Для этого сложим составляющие прямо на плане, т.е. соединим начало вектора F^τ₃₄ и конец Fⁿ₃₄. Итак реакция F₃₄= 65, 75 Н

С помощью этого же плана может быть определена и реакция в шарнире D. Действительно, из равновесия звена 5 можем записать (сумма всех сил, действующих на звено 5, равна нулю):

→ → → → → → →

F ₀₅ + F_n _. _c _. + G ₅ + F _И5 + F _И + G ₄ + F ₄₅ =0.

План сил звена 5 можно построить отдельно, а можно выделить силы, действующие на 5-е звено на плане сил группы звеньев 4-5.

Все эти векторы (кроме F₄₅ ) уже просуммированы на построенном плане сил, следовательно, вектор F₄₅ будет их замыкающим вектором: соединим конец вектора F_И, а так как он представлен точкой, то конец вектора G₅, с началом вектора F₀₅ . Это и будет F₄₅ =

Оставшуюся неизвестную (координату х точки приложения силы F₀₅ ) можно определить из другого уравнения равновесия звена 5. Если взять сумму моментов сил, которая могла бы составить момент – сила F₀₅, следовательно,

F₀₅· х = 0,

А так как F₀₅ не равна нулю, то х=0.

Это значит, что реакция F ₀₅ также проходит через точку D.

Далее рассмотрим силовой анализ следующей группы Ассура, состоящей из звеньев 3 и 2. Вычертим план группы в соответствующем положении механизма (см. рис.: группа Ассура II класса 3-го вида). Прикладываем все внешние силы, действующие на звенья группы (для лучшего представления внутренней реакции ( F ₃₂ =- F ₂₃ ) на построенной расчетной схеме группа разделена на два звена).

Реакция со стороны ранее анализированной группы F ₄₃ действует на звено 3 механизма (кулису) в точке С. Величина и направление ее были определены при анализе предыдущей группы: реакция F ₄₃ равна по величине и противоположна по направления реакции F ₃₄.

Сила тяжести приложена в центрах масс звеньев (в точках S ₃ и A ), направлены вертикально вниз и равны:

G ₃ = m ₃ * g = 30 * 9, 8 = 294 H,

G ₂ = m ₂ * g = 10 * 9, 8 = 98 H.

Силы инерции приложены также в центрах масс звеньев, направлены противоположно направлениям ускорений центров масс (см. план ускорений) и равны:

F _И ₃ = m₃ * a_S3 = m₃ * π s₃ * μ _a = 30 * 26 * 0, 14 = 109, 2 H,

F _И2 = m ₂ * a_A = 10 * 0, 9 = 4, 5 H.

Кроме того, на звено 3 будет действовать момент пар сил инерции:

M _И3 = J_S ₃ * ε ₃ = 7, 5 * 9, 3 = 69, 75 Н*м,

направленный против углового ускорения звена 3 (против часовой стрелки).

Реакции в кинематических парах и являются целью анализа, т.е. в каждой реакции необходимо определить по две неизвестные составляющие.

Реакция F ₀₃ в кинематической паре В (реакция отсоединенной стойки 0 на кулисе 3) неизвестна по величине и направлению, но известна точка приложения – центр шарнира В. В данном случае раскладывать ее на две составляющие нецелесообразно, поэтому просто покажем эту реакцию пунктиром на плане групп.

Реакция F ₂₃ в кинематической паре А' (реакция со стороны кулисного камня 2, на кулису 3) известна по направлению – перпендикулярно направляющей, но известны ее величина и точка приложения (как для любой поступательной пары 5-го класса).

Реакция F ₃₂ действует на второе звено, равна по величине и противоположна по направлению реакции F ₂₃.

Реакция F ₁₂ в кинематической паре А (отсоединенного кривошипа 1, на звено 2) неизвестна по величине и направлению; известна точка приложения – центр шарнира А (на плане положений группы также показана пунктиром).

Наиболее просто поставленная задача может быть решена следующим образом:

Из равновесия звена 2 (камня кулисы) можно определить точку приложения реакции F ₃₂: так как сумма моментов всех сил относительно точки А должна быть равна нулю, то, следовательно, реакция F ₃₂ проходит через точку А, как и все остальные силы, действующие на звено 2. На третьем звене, следовательно, точкой приложения реакции F ₂₃ будет точка А'.

Из условий равновесия звена 3 составим уравнение моментов всех сил относительно точки В:

F ₂₃ * l_BA _' + G ₃ * h ₃ * μ _L – M _И3 – F _И3 * h ₄ *μ _L – F ₄₃ * h ₅ * μ _L = 0,

где h_i – плечи соответствующих сил, измеряемых на плане группы.

Из приведенного уравнения можно найти величину реакции F ₂₃ как единственную неизвестную величину:

F ₂₃ = ( M _И3 + F _И3 * h ₄ * μ _L + F ₄₃ * h ₅ * μ _L – G ₃ * h ₃ * μ _L ) / l_BA _'

F ₂₃ = (69, 75 + 93, 2 * 65 * 0, 0038 + 167 * 159 * 0, 0038 – 294 *85 * 0, 0038) / 151* 0, 0038 = 15020 Н

Величина реакции получилась положительной, следовательно, на плане положений направление силы было выбрано верно.

Далее составим и решим векторное уравнение равновесия звена 3 (неизвестную реакцию в уравнении запишем последней):

→ → → → →

F ₄₃ + F ₂₃ + F _И3 + G ₃ + F ₀₃ = 0.

Выбрав масштабный коэффициент (для данного плана также μ _F = 16 Н/мм ) на плане сил звена 3 суммируем силы, откладывая их по порядку, начиная с F ₄₃ и замыкая многоугольник вектором F ₀₃. Измерив полученный вектор на плане и умножив его на масштабный коэффициент, получим:

F ₀₃ = 84 мм * 85, 3 Н/мм = 7165, 2 Н.

Аналогично построим план сил звена 2:

→ → → →

G ₂ + F _И2 + F ₃₂ + F ₁₂ = 0

По правилу сложения векторов в масштабе ( μ _F = 85, 3 Н/мм ) откладываем векторы сил, входящих в уравнение. Замыкающим вектором будет искомая F ₁₂, величина которой определяется также произведением длины соответствующего вектора на плане сил на масштабный коэффициент:

F ₁₂ = 176мм * 85, 3Н/мм = 15012, 8Н

Осталось провести силовой анализ начального механизма – механизма 1-го класса. Будем считать, что механизм приводится в движение от двигателя через зубчатую передачу, последнее зубчатое колесо которой с числом зубьев Z ₂ = 30 находится на одном валу с кривошипом ОА. В зацеплении с ним находится колесо с числом зубьев Z ₁ = 20, модуль передачи m = 6мм. Вычертим план механизма 1 класса в соответствующем положении совместно с указанной парой зубчатых колес (см. рис.: механизм 1 класса). Для этого необходимо определить диаметры делительных окружностей колес:

D ₂ = m * Z ₂ = 6мм * 19 * 10^-3 м/мм = 0, 114м;

D ₁ = m * Z ₁ = 6мм * 20 * 10^-3м/мм = 0, 08м.

Диаметры делительных окружностей вычерчиваем в принятом ранее масштабе μ _L =

=0, 0038 м/мм.

Список литературы

1. Методические указания по выполнению курсового проекта по ТММ (Раздел: Структурный и кинематический анализ). Екатеринбург: Изд-во Рос.гос.проф.-пед.ун-та, 2004. 38с.

2. Методические указания к выполнению курсового проекта по дисциплине «Теория механизмов и машин» (Раздел: Силовой анализ). Екатеринбург: Рос.гос.проф.-пед.ун-та, 2004. 24с.

3. Методические указания по выполнению курсового проекта по ТММ (Раздел: Динамика механизмов). Екатеринбург: ГОУ ВПО Рос.гос.проф.-пед.ун-та, 2007. 17с.