Решение задачи по методу Адамса

Для запуска экстраполяционного метода Адамса требуется 4 начальных значения функции. Одно значение уже задано, а остальные получаются по методу Рунге-Кутта 4 порядка. После вычисления значения в конце отрезка происходит вычисление относительной погрешности (из текущих и ранее полученных с шагом h значений функции) и сравнение её с заданным значением. Если полученная погрешность меньше, чем заданная, то считается, что задача выполнена и происходит возврат в вызывающую программу с полученным значением функции. Если же нет – то уменьшается в 2 раза шаг и весь процесс, начиная с метода Рунге-Кутта, повторяется вновь (для вычисления новых значений функции). Так продолжается до тех пор, пока полученное значение погрешности не станет меньше чем заданное.

Для работы программы необходима функция вычисления правых частей системы дифференциальных уравнений. Это функция func ( double * y, double * ys, double x ). Т. к. в задаче требуется решить уравнение y ⁽³⁾ +2 y ’’+3 y ’+ y =5+ x ², составляем систему дифференциальных уравнений первого порядка. Выглядит она так:

При каждом вычислении левых частей этой системы происходит дифференцирование y, y ’ и y ’’, т. е. вычисление соответственно новых значений y’, y’’, y’’’.

Ну, а если переложить это всё в программу на Си, то получится функция func (смотри листинг 17 задачи).

Блок-схема функции main из программы 17.c

 

Блок-схема функции Adams из программы 17.c

Листинг программы 17.c

 

// Задача 17. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений

// методом Адамса. Программа рассчитана на компиляцию в Micro$oft C 6.00

// или Borland C 3.1+

// (C) 2004 REPNZ. All rights reserved. Release date is 2.04.2004

#include < stdio.h>

#include < stdlib.h>

#include < math.h>

void func (double *y, double *ys, double t)

{                       // функция вычисления правых частей уравнений

ys[0] = y[1];       // ys[1]-первая производная; ys[2]-вторая и т.д.

ys[1] = y[2];       // t-независимый аргумент

ys[2] = 5 + t * t - y[0] - 3. * y[1] - 2. * y[2];

}

void Adams (

void f (double *y, double *ys, double x),

                        // Функция вычиления правых частей системы

double *y,          // Массив размера n значений зависимых переменных

int n,              // Массив размера n значений производных

double tn,          // Начало интервала интегрирования

double tk,          // Конец интервала интегрирования

int m,              // Начальное число разбиений отрезка интегрирования

double eps)        // Относительная погрешность интегрирования

{

double *k1, *k2, *k3, *k4; // Для метода Рунге-Кутта

double *q0, *q1, *q2, *q3; // Значение производных Для метода Адамса

double *ya;   // Временный массив

double *y0, *y1, *y2, *y3; // Значения функции для метода Адамса

double h;     // Шаг интегрирования

double xi;               // Текущее значение независимой переменной

double eps2;             // Для оценки погрешности

double dq2, dq1, dq0, d2q1, d2q0, d3q0; // приращения

int flag = 0;            // 0, пока идёт первый просчёт

int i, j;     // Индексы

     

if (m < 4) m = 4;        // Минимум 4 отрезка

if (tn > = tk)

{ printf (" \nНеправильные аргументы\n" );

       abort (); // Неправильные аргументы

}

// Выделяем память для массивов с переменными

if ((k1 = malloc ((4 + 4 + 4 + 1) * n * sizeof (double))) == 0)

{ printf (" \nОшибка распределения памяти\n" );

       abort ();     // Прервать, если не удалось

}

// Распределяем память между массивами:

// Для метода Рунге-Кутта 4 порядка

k2 = k1 + n; k3 = k2 + n; k4 = k3 + n;

// 4 пердыдущих значения функции

y0 = k4 + n; y1 = y0 + n; y2 = y1 + n; y3 = y2 + n;

// Для временного массива сбора данных

ya = y3 + n;

// Для метода Адамса

q0 = ya + n; q1 = q0 + n; q2 = q1 + n; q3 = q2 + n;

h = (tk - tn) / m; // Шаг

eps = fabs (eps);   // Абсолютное значение погрешности

start:                   // Отсюда начинаются вычисления

xi = tn;      // Начало промежутка

// Вычисляем значения функции y0...y3, т.е. y[i-3]... y[0]

// Первое значение системы уравнений уже дано: y...

 

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

//             - Метод Рунге-Кутта 4 порядка -             //

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

for (j = 0; j < n; j++) y0[j] = y[j]; // Копируем его в y0

f (y0, q0, xi);          // Заполняем q0, основываясь на значениях из y0

for (j = 0; j < n; j++) q0[j] *= h; // Делаем q0

xi += h;            // Следующий шаг

//... а остальные 3 добываем с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка.

for (i = 0; i < 3; i++) // i - КАКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УЖЕ ЕСТЬ

{                       // А ВЫЧИСЛЯЕМ ЗНАЧЕНИЯ Y[i+1]!!!!

       // Сначала нужны коэффициенты k1

       // Элемент y[i, j] = y0 + (i * n) + j = y0[i * n + j]

       f (& y0[i * n], k1, xi); // Вычислим f(xi, yi) = k1 / h

       // И для каждого дифференциального уравнения системы проделываем

       // операции вычисления k1, а также подготовки в ya аргумента для

       // вычисления k2

       for (j = 0; j < n; j++)

       {

             k1[j] *= h;                    // Вычислим наконец-то k1

             ya[j] = y0[i*n+j] + k1[j] / 2.;

       // И один из аргументов для функции

       }                               // вычисления k2

       f (ya, k2, xi + (h / 2.));        // Вычислим f(xi, yi) = k2 / h

       for (j = 0; j < n; j++)

       {                           // Вычислим наконец-то k2

             k2[j] *= h;

             ya[j] = y0[i*n+j] + k2[j] / 2.; // И один из аргументов для функции

       }                               // вычисления k3

       f (ya, k3, xi + h / 2.);        // Вычислим f(xi, yi) = k3 / h

       for (j = 0; j < n; j++)

       {

             k3[j] *= h;                // Вычислим наконец-то k3

             ya[j] = y0[i*n+j] + k3[j]; // И один из аргументов для функции

       }                         // вычисления k4

       f (ya, k4, xi + h);      // Вычислим f(xi, yi) = k4 / h

       for (j = 0; j < n; j++) k4[j] *= h; // Вычислим наконец-то k4

       // Надо вычислить приращение каждой функции из n

       for (j = 0; j < n; j++)       // Вычисляем следующее значение

                                     // функции

                                     // Y[i+1] = Yi +...

y0[(i+1)*n+j] = y0[i*n+j] + (k1[j] + 2. * k2[j] + 2 * k3[j] + k4[j]) / 6.;

                                     // И новое значение q[i+1]

       f (& y0[(i+1)*n], & q0[(i+1)*n], xi); // qi = f (xi, yi);

       for (j = 0; j < n; j++) q0[((i+1)*n)+j] *= h;

       xi += h;                // Следующий шаг }

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

//                    - Метод Адамса -                     //

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Итак, вычислены 4 первых значения. Этого достаточно для начала метода

// Адамса для шага h.

// B y0...y3 лежат 4 значения функций (_НЕ_ПРОИЗВОДНЫХ!!! ).

// A в q0...q3 лежат значения _производных_ этих функций, умноженных на h

// q0..q3, а также y0..y3 представляют собой очереди с 4 элементами

again: // Вычисляем новое значение функции Yi (Это Y[i+1])

for (j = 0; j < n; j++)

{ // Все приращения

       dq2 = q3[j] - q2[j]; dq1 = q2[j] - q1[j]; dq0 = q1[j] - q0[j];

       d2q1 = dq2 - dq1; d2q0 = dq1 - dq0;

       d3q0 = d2q1 - d2q0;

       // новое значение функции (в ya пока что)

ya[j] = y3[j] + (q3[j] + (dq2 / 2.) + (5. * d2q1 / 12.) + (3. * d3q0 / 8.));

       // Сдвигаем все массивы на 1 вперёд и добавляем в очередь новое

       // значение функции

       y0[j] = y1[j]; y1[j] = y2[j]; y2[j] = y3[j]; y3[j] = ya[j];

       // Просто сдвигаем q, ничего пока что не добавляя

       q0[j] = q1[j]; q1[j] = q2[j]; q2[j] = q3[j];

}

// В очередь в качестве q3 ложим новое значение

f (y3, q3, xi);                // q3 = f (xi, y3);

for (j = 0; j < n; j++) q3[j] *= h; // Вычислить q3

 

// Очередное значение функции вычислено. Следующиий шаг

xi += h;

// Продолжить интегрирование?

if (xi < tk) goto again;       // Да.

// Если первый раз здесь, то просчитать ещё раз с шагом h/2

if (flag == 0)

flag = 1;        // Сравнивать уже будет с чем

else

{

       // Не первый раз - оценить погрешность

       // Сейчас в y3 - значение только что вычисленной функции,

       // а в y2 - занчение функции, вычисленной с шагом h * 2

       // по отношению к текущему

       for (j = 0; j < n; j++)

       { eps2 = fabs (((y3[j] - y2[j]) / y2[j]));

             if (eps2 > eps) break; // Если погрешность слишком великА

       }

       if (j == n)        // Если всё ОК

       {                   // Копируем результат

             for (j = 0; j < n; j++) y[j] = y3[j];

             free (k1);          // Освобождаем память

             return;             // Возвращаемся в main

       }

}

// По каким-то причинам выхода из функции не произошло -

// тогда уменьшаем шаг в 2 раза и повторяем

// всё, начиная с метода Рунге-Кутта

h /= 2.;      // Уменьшить шаг

goto start;   // Повторить расчёт сначала, с новыми параметрами

}

int main ()

{

double y[3], xs, xe;

int i;

 

y[0] = 1.; y[1] = 0.1; y[2] = 0.;    // Начальные условия

xs =.0; xe =.1;        // Начало интегрирования

 

printf (" x = %5.3lg, y(%4.2lg) = %10.3lg\n", xs, xs, y[0]);

for (i = 0; i < 20; i++)

{

       Adams (func, y, 3, xs, xe, 10, 1.e-3);

       xs += 0.1; xe += 0.1;

       printf (" x = %5.3lg, y(%4.2lg) = %10.3lg\n", xs, xs, y[0]);

}

return 0;

}

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: