Изучение свойств и признаков четырехугольников

Изучение свойств четырехугольников обычно не вызывают затруднений. При установлении различных свойств и признаков параллелограмма широко используются свойства и признаки равных треугольников, свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третей, признаки параллельности. Материал о параллелограммах и их частных видах очень удобен для формирования и развития логического мышления учащихся. Именно здесь учитель имеет широкие возможности по работе с определениями: например, предложить ученику дать определение прямоугольника через понятие четырехугольника, параллелограмма и т.д. учащимся по силам самим установить, а затем и доказать различные свойства и признаки параллелограмма и трапеции.

Например:

 

Свойства	Признак
Теорема: В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.   Дано:  - параллелограмм Доказать: 1. 2.	Теорема: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.   Дано:  - четырехугольник Доказать:  - параллелограмм

 

При доказательстве теорем ученики, как показывает опыт, часто путают, признаки, свойства определения, не верно строят логические цепочки, умозаключения. Поэтому при работе с понятиями необходимо уже на этой теме формировать дедуктивное мышление, учить построению схем, таблиц, выявлять зависимости; делать правильные классификации, например, используя круги Эйлера.

 

 

В курсе планиметрии основным способом помогающим организовать материал, усвоить всю совокупность свойств фигуры, является создание некоторого образа, связываемого с понятием. В самом деле, что мы представляем себе, когда произносим или читаем слово «параллелограмм». Обычный параллелограмм, с диагоналями, которые в точке пересечения делятся пополам. Создание такого образа помогает многократное выполнение одного и того же чертежа, на котором все свойства видны. Этому способствуют и такие методические приемы, как обзор всех свойств, приводимых учителем, или опрос не по отдельным свойствам или теоремам, а по всей совокупности свойств фигуры: «Что вы знаете о трапеции? », «Перечислите все свойства прямоугольника» и т.д.

Таким образом, обучение учащихся самостоятельному решению задач требует определенной методики изучения теоретического материала курса, основанной на системном усвоении понятий.

Каждое математическое понятие есть некоторая система свойств и отношений, обладающая всеми признаками системы.

В различных учебниках изложение материала рассмотрено по-разному, по этому учителю нужно сочетать свою работу с материалом изложения на страницах других учебников.

 

2.3 Применение методов научного познания при изучении четырехугольников

 

Рассмотрим возможности использования методов научного познания при изучении темы «Четырехугольники».

 

Анализ и синтез

Как было сказано в первой главе, эмпирические методы не являются характерными для математики, поэтому они не применяются для изучения четырехугольников.

Наиболее часто в изучении четырехугольников применяют логические методы познания. Анализ наиболее часто применяется для решения задач на доказательство.

Пример 1. Докажите, что если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.

Дано: ABCD – параллелограмм,

A=90º.

Доказать: ABCD – прямоугольник.

Анализ:

Пример 2. Доказать, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.

Дано: ABCD – параллелограмм,

AC – диагональ.

Доказать: ABCD – ромб.

 

 

 

 

Анализ:

В приведенных примерах видно как после проведения анализа нужно решать задачу. В данных случаях применяется восходящий анализ. Рассмотрим пример применения нисходящего анализа.

Пример 3. Доказать, что в равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату боковой стороны, сложенной с произведением оснований.

Дано: ABCD – трапеция.

Доказать: .

 

 

 

Анализ: Предполагаем, что верно равенство  (1). Пытаемся получить из него верное следствие. Уменьшаем число параметров. Так как ( , ) ( , то из равенства (1) получаем

 

,

,

.

 

что верно.

Приведем пример использования синтетического метода.

Пример 4. Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

 

 

а) рассмотрим ; в нем  (по условию);

б)  (по свойству параллелограмма);

в) – медиана;

г) = высоте в ;

д) .

 

Сравнения и аналогии

Сравнение параллелограмма и трапеции позволяет выявить их общие свойства: они оба четырехугольники, оба имеют параллельные стороны, – и различие: в одном - две пары параллельных сторон, в другом - одна.

Если, например, включили бы в общие свойства параллелограмма и трапеции тот факт, что они оба обозначены одними и теми же буквами АВС D, или считали бы различием обозначение их различными буквами, то это было бы ошибочным подходом к сравнению.

Аналогия может быть использована при изучении свойств прямоугольника, ромба и квадрата. Так как прямоугольник это параллелограмм, у которого все углы прямые, то он обладает свойствами параллелограмма. Аналогично для ромба. Ромб это параллелограмм, у которого все стороны равны, следовательно он обладает свойствами параллелограмма. Квадрат это прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, то есть ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

 

Обобщение

Рассмотрим переход от единого к общему, от общего к более общему.

Формирование понятия «квадрат» на раннем этапе обучения начинается показом множества предметов, отличающихся друг от друга формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны. Дети, после того как им показывают на одну из этих фигур и говорят, что это квадрат, безошибочно отбирают из множества фигур все те, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размеров, окраски, материала. Здесь выделение из множества предметов подмножества производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку - по форме. Дети еще не знают свойств квадрата, они распознают его только по форме. Такое распознавание встречается у детей 4-5 лет. Дальнейшая работа по формированию понятия квадрата состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств. Учащимся предлагается путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных фигур, имеющих форму квадрата, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у всех квадратов 4 вершины и 4 стороны. Но у некоторых фигур, которые мы не отнесли к квадратам, тоже 4 вершины и 4 стороны. Оказывается, у квадрата все стороны равны и все углы прямые. Все отобранные фигуры, обладающие этими свойствами, мы объединяем в один класс - квадраты (переход от единичного к общему).

В дальнейшем обучении этот класс включается в более широкий класс прямоугольников (переход от общего к более общему). При этом переходе к более широкому классу происходит сужение характеристики класса, одно из свойств, характеризующих класс квадратов (равенство всех сторон), опускается.

В нашем примере, если к содержанию понятия «прямоугольник» (к множеству свойств, характеризующих класс прямоугольников) добавить новое свойство (равенство всех сторон), мы получим содержание понятия «квадрат» (множество свойств, характеризующих класс квадратов).

Обобщение так же можно использовать при систематизации знаний по теме. Например, можно разделить класс на группы и каждой группе предложить, используя ранее изученный материал, составить схему отображающею виды многоугольников. А потом всем классом обсуждать данные схемы, тем самым, повторяя изученную тему.

 

Наблюдение и опыт

Наблюдение и опыт можно использовать при открытии свойств параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата. Например, при изучении ромба ученикам можно предложить самим найти свойства данной фигуры и доказать их. На уроке учитель показывает модель, отображающую равенство противоположных сторон и противоположных углов. Учитель может предложить ученикам самостоятельно проверить опытным путем, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

 

Индукция

Рассмотрим применение индукции, а именно метода математической индукции.

Пример 5. Докажите, что n произвольных квадратов можно разрезать на части так, что из полученных частей можно сложить новый квадрат.

Решение. При n=1 утверждение очевидно. Докажем, что из двух квадратов (n=2) можно разрезать один так, что из полученных его частей и второго квадрата можно сложить третий квадрат.

Пусть даны квадраты: ABCD, AB = BC = CD = DA = x и STKZ, ST = TK = KZ = ZS = y и пусть x y.

 

На каждой стороне квадрата ABCD отложим от вершины отрезки AM = BN = CP = DQ = ( x + y ) и разрежем квадрат ABCD по отрезкам MP и NQ на четыре равные части. Ясно, что MP NQ, так как в каждом частном четырехугольнике (например, OMBN) сумма внутренних углов равна 360⁰, сумма тупого и острого углов равна 180⁰ (они смежные равным углам), а один угол прямой (это угол данного квадрата). Эти куски приложим к квадрату STKZ.

 

Полученная фигура является квадратом, так как =90⁰ и . Итак, при n=2 утверждение задачи истинно.

Предположим, что утверждение задачи верно при n = k и докажем, что при этом оно верно и для n = k+1.

Пусть даны k+1 квадратов . Для любых двух квадратов из них верно, как уже доказано, утверждение задачи. Разрезая один из них и прикладывая куски его к другому квадрату, получим квадрат , а вместе с оставшимися k-1 квадратами – всего k квадратов, для которых доказанное утверждение верно по предложению. Таким образом, для k+1 квадратов утверждение задачи истинно.

Поэтому, по аксиоме индукции, n произвольных квадратов можно разрезать на части так, что из полученных частей можно сложить новый квадрат.

Глава III. Опытное преподавание

 

Для того чтобы показать эффективность использования методов научного познания при изучении темы «Четырехугольники» одного теоретического обоснования недостаточно. Любая теория должна быть подтверждена практикой. В связи с этим в Левинской средней общеобразовательной школе проводилась экспериментальная работа. В эксперименте участвовало 42 учащихся восьмых классов (21 – экспериментальный класс (ЭК), 21 – контрольный класс (КК)). Оба класса обучаются у одного преподавателя и по одному и тому же учебнику (одного авторского коллектива [2]). В ЭК, в отличие от КК, были проведены уроки с использованием методов научного познания (см. Приложение 1).

Эксперимент был направлен на проверку гипотезы настоящей дипломной работы, согласно которой, изучение темы «Четырехугольники» будет более эффективным, если применять методы научного познания.

С целью оценки результатов эксперимента посредством применения статистических методов учащимся были предложены две письменные контрольные работы (первая – в начале, вторая – в конце обучающего эксперимента) (см. Приложение 2).

Результаты контрольных работ в восьмых классах в начале и конце эксперимента представлены соответственно в таблицах 1 и 2, а также в диаграммах 1 и 2.

 

                  Таблица 1

Оценка	Число учащихся, получивших эти оценки
	Контрольный класс	Экспериментальный класс
2	2	1
3	6	7
4	10	10
5	3	3

 

 

Таблица 2

Оценка	Число учащихся, получивших эти оценки
	Контрольный класс	Экспериментальный класс
2	1	0
3	5	2
4	12	10
5	3	9

 

 

Анализ результатов выполнения контрольных работ в начале эксперимента позволил нам выдвинуть гипотезу H₀: «выборки, представленные в таблице 1, однородны (распределение учащихся по баллам существенно не различаются)» при конкурирующей гипотезе H₁: «выборки, представленные в таблице 1, неоднородны (распределение учащихся по баллам различаются существенно)». Проверим гипотезу о равенстве средних генеральных значений [3]. Найдена числовая характеристика

 

, где

 

 - средние оценки в КК и ЭК соответственно.

 

,

.

 

 - исправленные дисперсии КК и ЭК соответственно.

 

.

 

По таблице критических точек распределения Стьюдента на уровне значимости =0, 05 и числа степеней свободы . Так как , то гипотеза  принимается на уровне значимости 0, 05. Поэтому можно утверждать, что на начало эксперимента качество знаний учащихся в контрольном и экспериментальном классах существенно не различается.

Для того чтобы убедится в положительном влиянии предложенной методики на качество знаний учащихся, проверим гипотезу о равенстве средних генеральных значений [3].

Выдвинута нулевая гипотеза : (средние оценки в КК и ЭК существенно не различаются) при конкурирующей гипотезе : (средняя оценка в КК существенно меньше средней оценки в ЭК). Вычислена числовая характеристика

 

, где

 

 - средние оценки в КК и ЭК соответственно.

 

,

.

 

 - исправленные дисперсии КК и ЭК соответственно.

 

.

 

По таблице критических точек распределения Стьюдента на уровне значимости =0, 05 и числа степеней свободы . Так как , то гипотеза  отвергается. Следовательно, на уровне значимости 0, 05 можно утверждать, что средняя оценка КК существенно ниже, чем в ЭК.

Полученные результаты позволяют сделать вывод: качество знаний в экспериментальном и контрольном классах различны. Результаты учащихся экспериментального класса имеют тенденцию быть выше, чем результаты контрольных классов. На основании этого можно утверждать, что применение методов научного познания положительно влияет на качество знаний учащихся в восьмом классе.

Представленные результаты педагогического эксперимента свидетельствуют о более высоких показателях у учащихся экспериментальных классов. Статистическая обработка показала значимость наблюдаемых различий.

Таким образом, эксперимент подтвердил предположение о положительном влиянии методики обучения школьников математике с использованием методов научного познания.

Вывод. По данной главе можно сделать вывод, что проведенная экспериментальная работа подтверждает выдвинутую гипотезу: изучение темы «Четырехугольники» будет более эффективно, если применять методы научного познания.

Заключение

 

В теме «Четырехугольники» закладываются понятия основных видов четырехугольников и здесь же учащиеся знакомятся с основными видами задач, с методами их решения, оформления записи. В ходе изучения важно добиться, чтобы каждый ученик овладел всеми знаниями и умениями, необходимыми для дальнейшего успешного изучения новых понятий и теорем. Поэтому при подготовке к урокам геометрии по теме «Четырехугольники» учителю необходимо тщательно подбирать учебный материал, наглядные средства. На уроках больше времени отводить самостоятельной работе, творческой деятельности учащихся, использовать различные методики, формы работы. Также учителю необходимо применять в своей работе разнообразные методы познания. Все это будет наиболее полно способствовать лучшему усвоению геометрии учениками.

При выполнении выпускной квалификационной работы, нами было: раскрыто содержание понятий методов научного познания; изучена учебно-методическая литература по теме исследования; показано применение методов научного познания при изучении математики. Тем самым задачи исследования были выполнены. В ходе опытного преподавания подтверждена гипотеза. Таким образом, считаю, цель исследования достигнута.

 

Библиографический список

 

1. Александров, А. Д. Геометрия [Текст]: учеб. для 8-9 кл. общеобразоват. учреждений / А. Д. Александров, И. С. Вернер, В. И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1991. – 415 с.

2. Атанасян, А. С. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 1995. – 335 с.

3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математической статистика [Текст]: учеб. пособие для ВУЗов / В. Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1999. – 479 с.

4. Горстко, А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием [Текст] / А. Б. Горстко. – М.: Знание, 1991. – 160 с.

5. Грес, П. В. Математика для гуманитариев / П. В. Грес. – М.: Логос, 2005.

6. Груденов, Я. И. совершенствование методики работы учителя математики [Текст]: книга для учителя / Я. И. Груденов. – М.: Просвещение, 1990. – 224с.

7. Математическая энциклопедия. Гл. ред. М. Виноградов. Том 3. Коо - Од. М.: Советская энциклопедия, 1982, 1184 стр., ил.

8. Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / Е. С. Канин, А. Я. Блох [и др.]; под ред. Р. С. Черкасова. – М.: Просвещение, 1985. – 268 с.

9. Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин [и др.] – М.: Просвещение, 1980. – 368 с.

10. Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев [и др.] – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

11. Обойщикова, И. Г. Обучение моделированию учащихся 5 – 6 классов при изучении математики [Текст]: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / И. Г. Обойщикова. – Саранск, 2002.

12. Овечкин, К. А. Использование методов научного познания при изучении темы «Четырехугольники» // Познание процессов обучения физике [Текст]: сборник статей. Вып. девятый / под ред. Ю. А. Саурова. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. – С. 54-59.

13. Петров, Е. С. Теория и методика обучения математике [Текст]: учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец. / Е. С. Петров. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. – 84 с.

14. Погорелов, А. В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-11 Кл. общеобразоват. учреждений / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 1990. – 384 с.

15. Полякова, Т. С. Методика обучения геометрии в основной школе: Учебное пособие для студентов педвузов и пед.колледжей. – Ростов-на-Дону: РЕПУ, 1996. –96 с.

16. Саранцев, Г. И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов мат. специальности Пед. Вузов и университетиов – Саранск: Тип. Красный Октябрь, 1999. – 208 с.

17. Сичивица, О. М. Методы и формы научного познания [Текст] / О. М. Сичивица. – М., Высшая школа, 1993.

18. Смирнова, И. М. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 Кл. общеобразоват. учреждений / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Просвещение, 2001. – 271 с.

19. Смирнова, И. М. Дидактические материалы по геометрии для 7-9 классов / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Просвещение, 2004. – 205 с.

20. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие / Т. А. Иванова, Е. Н. Перевосщикова [и др.] – Н. Новгород: НГПУ, 2003. – 320 с.

21. Фарков, А. В. Контрольные работы, тесты, диктанты по геометрии: книга для учителя / А. В. Фарков. – М.: Экзамен, 2008. – 157 с.

22. Формирование системного мышления в обучении: учеб. пособие для вузов [Текст] / под ред. З. А. Решетовой – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 344с.

23. Шарыгин И. Ф. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 Кл. общеобразоват. учреждений / И. Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 2002. – 368 с.

24. Штофф, В. А. Моделирование и философия [Текст] / В. А. Штофф. – М.: Наука, 1966.

25. Эрдниев, П. М. Укрепление дидактических единиц в обучении математике: книга для учителя / П. М. Эрдниев, Б. П. Эрдниев – М.: Просвещение, 1992. –

26. http: //fmi.asf.ru/library/book/mpm/

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: