Исследование системы векторов на линейную зависимость.

Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов .

Логичный вопрос: «как ее решать? »

Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:

когда хотя бы один из векторов системы является нулевым;

когда система векторов содержит два или более равных вектора;

когда система векторов содержит пропорциональные векторы ( и );

когда достаточно очевидно, что один из векторов системы линейно выражается через несколько других.

Как же быть в остальных случаях, которых большинство?

Разберемся с этим.

Напомним формулировку теоремы о ранге матрицы, которую мы приводили в статье ранг матрицы: определение, методы нахождения.

Теорема.

Пусть r – ранг матрицы А порядка p на n, . Пусть М – базисный минор матрицы А. Все строки (все столбцы) матрицы А, которые не участвуют в образовании базисного минора М, линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы, порождающие базисный минор М.

А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.

Составим матрицу A, строками которой будут векторы исследуемой системы :

Что будет означать линейная независимость системы векторов ?

Из четвертого свойства линейной независимости системы векторов мы знаем, что ни один из векторов системы не выражается через остальные. Иными словами, ни одна строка матрицы A не будет линейно выражаться через другие строки, следовательно, линейная независимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)=p.

Что же будет означать линейная зависимость системы векторов ?

Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)< p.

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p> n система векторов будет линейно зависимой.

Замечание: при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.

Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.

Сначала следует убедиться, что число векторов исследуемой системы не превосходит числа координат векторов. Если же p> n, то можно делать вывод о линейной зависимости.

Проверяем, не содержит ли система векторов нулевого вектора, равных векторов, пропорциональных векторов ( и ). Если такие имеются, то также делается вывод о линейной зависимости системы.

Если два предыдущих пункта алгоритма не привели к результату, то составляем матрицу A, строками которой являются векторы исследуемой системы векторов и находим ее ранг. Если Rank(A)< p, то система векторов линейно зависима. Если Rank(A)=p, то система векторов линейно независима.

Разберем алгоритм на примерах.

Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.

Пример.

Дана система векторов . Исследуйте ее на линейную зависимость.

Решение.

Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.

Ответ:

система векторов линейно зависима.

Пример.

Исследуйте систему векторов на линейную зависимость.

Решение.

Не сложно заметить, что координаты вектора c равны соответствующим координатам вектора , умноженным на 3, то есть, . Поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Ответ:

система векторов линейно зависима.

Пример.

Является ли система векторов линейно зависимой?

Решение.

Эта система векторов является линейно зависимой, так как количество векторов в системе равно 4, а сами векторы двумерные.

Ответ:

да, является.

Пример.

Является ли система векторов линейно независимой?

Решение.

Примем эти векторы столбцами матрицы А и найдем ранг полученной матрицы методом Гаусса:

Следовательно, Rank(A)=2< 3, поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Ответ:

нет, не является.

Пример.

Докажите, что система векторов

линейно независима.

Решение.

Составим матрицу, строками которой будут векторы данной системы:

Покажем, что ранг этой матрицы равен количеству векторов исходной системы, то есть, четырем.

Ранг найдем методом окаймляющих миноров.

В качестве минора первого порядка, отличного от нуля, возьмем элемент a₁₁=1 матрицы А. Окаймляющий его минор второго порядка также отличен от нуля.

Переходим к поиску окаймляющего минора третьего порядка:

Осталось найти минор четвертого порядка, отличный от нуля. Вычислим определитель

Прибавим к первому столбцу третий, далее разложим определитель по элементам первого столбца:

Таким образом, ранг матрицы А равен четырем что доказывает линейную независимость исходной системы векторов.

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: