Приближённые методы решения СЛАУ

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Лекция 1

Приближённые методы решения СЛАУ

А) Метод простых итераций. (Метод последовательных приближений).

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

или где - заданные числа; .

Задаются произвольно n-чисел – нулевое приближение искомой функции.

Далее подставляем в правую часть системы (1) нулевое приближение и

находим первое приближение.

, (2)

Затем по 1-ому приближению находят 2-ое, 3-е и т.д.

В результате для k-ого приближения получаем формулу:

, (2’)

Таким образом мы получили последовательность векторов

Х⁽⁰⁾, Х⁽¹⁾, …, Х^(К), к=1, 2, …

Если любая из таких последовательностей {Х_i^(к)} сходится некоторому пределу x_i^k = c_i, , то данный вектор с_i, является решением сист. (1)

В равенстве (2’) перейдем к пределу при k→ ∞ при замене х_i на с_i.

Теорема (достаточные условия сходимости простой итерации):

Пусть выполняется хотя бы одно из следующих условий (нормы матрицы):

а) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1:

б) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по столбцам) меньше 1:

в) Если сумма всех элементов в квадрате меньше 1.

Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:

1) система (1) имеет единственное решение (С₁,... С_n);

2) последовательность , где i = определяется по формуле (2), при любом начальном приближении сходится к соответствующим компонентам точного решения. i =

3) для приближенного равенства верны оценки (x₁⁽^k⁾, …x_n⁽^k⁾) (C_{1, …}C_n),

а’) есливыполняется условие а), то

б’) если выполняется условие б), то

в’) если выполняется условие в), то

Замечания :

1)Если нет никакой информации о точном решении СЛАУ, то за начальное приближение выбираем столбец свободных коэффициентов. (из приведенной матрицы);

2)остановка вычислений производной по заданной величине абсолютной погрешности и приведенным в теореме оценкам.

Б) Метод Зейделя.

Этот метод является модификацией МПИ и заключается в том, что при вычислении (к+1) приближения неизвестного х_i (i> 1), используются уже вычисленные ранее (к+1) приближения неизвестных х₁, х₂, …, х_i_-1

Рассмотрим систему: i=1, n

Пусть матрица α удовлетворяет одному из условий теоремы:

Если, а) < 1 (коэффициенты по строкам)

б) < 1 (коэффициенты по столбцам)

в) < 1 (все коэффициенты)

тогда общая формула метода Зейделя имеет вид:

к=1, 2…

Замечание: метод Зейделя обычно, но не всегда сходится к точному решения быстрее, чем МПИ

В) Метод Гаусса. (Метод последовательного исключения переменных)

Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. a_ij=0 при i> j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i< j) равны 0. Матрица называется диагональной, если только на главной диагонали (i=j) стоят ненулевые элементы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода.

Прямой ход.

Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса. Его суть состоит в приведении исходной расширенной матрицы системы к верхнетреугольной матрице с помощью эквивалентных преобразований (добавление к строке любой линейной комбинации других строк и перестановка строк, т.е. уравнений). Формулы прямого хода соответствуют последовательному выражению переменных из уравнений и подстановке их в последующие уравнения, т.е. их фактическому исключению из последующих уравнений системы. При этом шагом считается исключение одной переменной из всех последующих уравнений системы.

Рассмотрим k-ый шаг прямого хода. На k-ом шаге матрица системы имеет вид:

(а₁₁ а₁₂ … а_1k … a_1n | b₁)

(0 a₂₂ … a_2k … a_2n | b₂)

(0 … … … … … )

(0 0 … a_kk … a_kn | b_k)

(0 … … … … … )

(0 0 … a_nk … a_nn | b_n)

Осталось n-k+1 неизвестных. Чтобы удалить х(k) из последней строчки, например, надо из нее вычесть k-ую строчку с таким коэффициентом, чтобы получить на месте а_nk ноль. Для этого коэффициент должен быть равен c_nk=a_nk/a_kk. Элемент а_kk называется разрешающим элементом k-ого шага и должен быть отличен от 0.

Формулы прямого хода

c_mk=a_mk/a_kk где 1< =k< n

b_m=b_m-c_mkb_k, k< m< =n

a_ml=a_ml-c_mka_kl, k< =l< =n

Обратный ход

Последовательное вычисление значения неизвестных x_n, x_n-1,..., х₁ (именно в таком порядке) для полученной после прямого хода верхнетреугольной системы называется обратным ходом.

Формулы обратного хода.

, откуда получаем:

для k=n, n-1, …, 1.

Лекция 2.

Выбор шага

1. Пусть требуется вычислить интеграл с точностью ε. Используя формулу соответствующего остаточного члена R, выбирают h таким образом, чтобы выполнялось неравенство .

2. Двойной пересчёт. ( Правило Рунге).

Лекция 4

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложное, то его корни сравнительно редко удаётся найти точно. Поэтому большое значение приобретают способы приближённого нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Процесс нахождения приближённых значений корней уравнения:

f(x) = 0, (1)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или

бесконечном интервале a < x < b разбивается на два этапа: 1) отделение корней; 2) уточнение корней до заданной степени точности.

Отделение корней.

Всякое значение λ, обращающее функцию f(x) в нуль, т. е. такое, что f(λ ) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулём функции f(x).

Отделить корни − это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами − графическим и аналитическим.

Графический метод отделения корней: a) строят график функции у = f(x) для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графика функции у = f(x) с осью Ох (рис.1);

b) представляют уравнение (1) в виде φ (х) = g(x) и строят графики функций

у = φ (х) и у = g(x). Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций у = φ (х) и у = g(x) (рис.2).

Отрезки, в которых заключено только по одному корню, легко находятся.

Рис.1. Рис.2.

Аналитический метод отделения корней основан на следующей теореме:

если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то внутри этого отрезка находится хотя бы один корень уравнения ; если при этом

производная сохраняет знак внутри отрезка , то корень является единственным.

Рис.3

Вычисляем , выбираем отрезок и т.д. Как только будет выполнено , то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью , можно взять .

После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень уменьшается вдвое, то есть после n итераций он сокращается в 2ⁿ раз. Таким образом, число итераций n в данном методе зависит от предварительно заданной точности ε и от длины исходного отрезка и не зависит от вида функции f(x). Это является важным преимуществом метода половинного деления по сравнению с другими методами. Метод, однако, медленно сходится при задании высокой точности расчёта.

Метод хорд.

Пусть на отрезке [a, b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производные f ′ (x) и f ″ (x) сохраняют постоянный знак на интервале (a, b). Тогда возможны четыре случая расположения дуги кривой (рис.4).

Рис.4.

В методе хорд за очередное приближение берём точку пересечения с осью Х прямой (рис.5), соединяющей точки (a, f(a)) и (b, f(b))

Причём одна из этих точек фиксируется − та, для которой знаки f(x) и f ″ (x) одинаковы.

Для рис.5 неподвижным концом хорды является х =a.

Уравнение хорды АВ:

Точка пересечения хорды с осью Х (у=0): .

Теперь корень находится на отрезке [a, c₁]. Заменяем b на с₁.

Рис.5. Иллюстрация метода хорд.

Применяя метод хорд к этому отрезку, получим:

Продолжим и т.д., получим: (2) Условие окончания вычислений:

│ с_n₊₁ − c_n│ < ε или │ f(c_n)│ < ε ₁.

Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой:

, где

Итак, если f (x)∙ f″ (x) > 0, то приближённое значение корня находят по формуле (2), если f′ (x)∙ f″ (x) < 0 (т.е. фиксируется х = b), то по формуле:

. (3)

Лекция 5.

Приближённое решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть функция у = f(x, y) отражает количественную сторону некоторого явления. Рассматривая это явление, мы можем установить характер зависимости между величинами х и у, а также производными от у по х, т.е. написать дифференциальное уравнение.

Определение: Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x) и её производные.

Запись: F( x, y, y′, y′ ′, …, y⁽ⁿ⁾) = 0 или .

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

у′ -2ху³+5=0----- уравнение первого порядка,

у″ +ky′ -by-sinx=0------ уравнение второго порядка.

Задача Коши (для уравнения первого порядка):

у′ = f(x, y) (1) найти решение y = y(x),

удовлетворяющее начальному условию: у(х₀)=у₀. (1*).

Т.е. найти интегральную кривую, проходящую через точку М(х₀, у₀).

Если f(x, y) непрерывна в области R: |x-x₀| < a, |y-y₀| < b, то существует по меньшей мере одно решение у = у(х), определённое в некоторой окрестности: |х-х₀| < h, где h ― положительное число. Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица: (2)

Где N― постоянная (константа Липшица), зависящая в общем случае от a и b. Если f(x, y) имеет ограниченную производную в R, то можно положить:

Для дифференциального уравнения n-го порядка: у⁽ⁿ⁾=f(x, y, y′, …, y⁽ⁿ^-1)) задача Коши состоит в нахождении решения у = у(х), удовлетворяющего начальным условиям:

у(х₀) = у₀, у′ (х₀) = у′ ₀, …, у⁽ⁿ^-1)(x₀) = y⁽ⁿ^-1)₀ ― заданные числа.

Функция у = f(x, C₁, C₂, …, C_n), где С₁, …, С_n― произвольные постоянные, называется общим решением ОДУ или общим интегралом.

Эти постоянные можно определить с помощью начальных условий. Решение ДУ при заданных начальных условиях называется его частным решением.

Определение: задача называется краевой, если указывается интервал интегрирования [a, b] и ставятся дополнительные условия для значений функции у и её производных на концах этого интервала.

Процесс познания закономерностей и стремление создать детальную картину исследуемых явлений приводит к более сложной количественной оценке, отражающей эти явления, а именно к функции многих переменных, зависящих как от пространственных координат, так и от времени u = f(x₁, x₂, …, x_n, t).

Определение: Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение, связывающее независимую переменные х₁, х₂, …, х_n, t, искомую функцию

u = f (х₁, х₂, …, х_n, t) и её частные производные:

Постановка задачи.

Дано дифференциальное уравнение первого порядка: у′ = f(x, y) (1).

Требуется найти решение этого уравнения на отрезке [x₀, x_max], удовлетворяющее начальным условиям: у(х₀) = у₀ (2).

В вычислительной практике более предпочтительным являются численные методы нахождения приближённого решения в фиксированных точках: х₀< x₁< …< x_n=x_max.

Большинство численных методов решения задачи (1) с начальными условиями (2) можно привести к виду: (3).

― при r = 1, а₁ = 1, b₀ = 0 методы вида (3) называются одношаговыми ( чтобы найти y_i₊₁

требуется информация только о предыдущей точке (x_i, y_i)).

― при r > 1 и b₀ = 0 ― явными многошаговыми.

― при r > 1 и b₀ ≠ 0 ― неявными многошаговыми.

Многошаговость нарушает однородность вычислительного процесса, используя для получения недостающей информации другие вычислительные схемы ( например, одношаговые).

А) Метод Эйлера.

х	x₀	x₁	…	х_n
y	y₀	y₁	…	y_n

Для решение Д.У.(1) с Н.У. (2) на отрезке [x₀, x_max] по методу Эйлера, таблица приближённых значений у(х) для равноотстоящих узлов:

строится по формулам: y_k₊₁ = y_k + h∙ f(x_k, y_k)

x_k₊₁ = x_k + h, k = 0, …, n-1, h=(x_n-x₀)/n (4)

Абсолютная погрешность формулы (4) на каждом шаге имеет порядок h²

(5)

Формула (4) означает, что на отрезке [x_k, x_k₊₁] интегральная кривая y = y(x) приближённо заменяется прямолинейным отрезком, выходящим из точки М(х_k; у_k) с угловым коэффициентом f(х_k; у_k). В качестве приближения искомой интегральной кривой получаем ломаную линию с вершинами в точках М₀(х₀; у₀), М₁(х₁; у₁), …, М_n(х_n; у_n). Первое звено касается истинной интегральной кривой в точке М₀(х₀; у₀).

Метод Эйлера может быть применён к решению системы ОДУ и ДУ высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе ОДУ первого порядка.

Пусть задана система ОДУ первого порядка: (6)

с начальными условиями: у(х₀) = у₀, z(х₀) = z₀(7)

Приближённые значения у(х_i) ≈ y_i_,z(х_i) ≈ z_i вычисляются по формулам:

(8)

Метод Эйлера обладает двумя существенными недостатками:

1) малой точностью (метод первого порядка точности);

2) систематическое накопление ошибок.

В) Модификации метода Эйлера.

1^ый усовершенствованный метод Эйлера .

Сначала вычисляют промежуточные значения:

(9)

А затем полагают: (10)

2^o^й усовершенствованный метод Эйлера.

Сначала определяют «грубые приближения»: (11)

И приближённо полагают: (12)

Локальная погрешность на i-ом шаге: . Оценка погрешности в точке х_n может быть получена с помощью двойного просчёта (с шагом h и h/2):

(13)

С.) Метод Рунге-Кутта. (4^го порядка)

Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод 4^го порядка

(14)

(15)

Грубая оценка погрешности (двойной просчёт): (16)

Где у(х_i) – точное решение, у^*_i – приближённое решение с шагом h/2, y_i – … с шагом h_.

Для оценки правильности выбора шага h используют равенство:

(17)

q должно равняться нескольким сотым, иначе h уменьшается.

D). Метод Рунге–Кутта 3-го порядка

Многошаговые методы.

( используют информацию о нескольких предыдущих точках)

Д ) Алгоритм Адамса.

Пусть дано дифференциальное уравнение: у′ = f(x, y) (1)

с начальными условиями: у(х₀) = у₀ (1*)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a, b].

Разобьём отрезок [a, b] на n равных частей точками х_i = х₀+ ih (i =0, 1, …, n).

1^ый этап: стартовая процедура. Используют какой-либо одношаговый метод того же порядка точности до тех пор, пока не будет получено достаточно значений для работы многошагового метода.

Следовательно, определены: у₁, у₂, …, у_k_-1 в точках: х₀+ h, …, x₀+ h(k-1).

2^ойэтап: рекурсивной процедуры. Определение: у_k, y_k₊₁, …, y_n основано на интегрировании интерполяционного многочлена Ньютона.

Рабочие формулы явных методов Адамса (2-го, 3-го, 4-го порядков).

(2)

(3)

(4)

Формулы (2)-(4) называются экстраполяционными и на практике используются в качестве прогноза.

Для улучшения точности или коррекции результата применяют неявные методы (используют ещё ненайденные значения: у_k₊₁, y_k₊₂, …).

(5)

(6)

(7)

Формулы (5)-(7) называются интерполяционными.

Для грубой оценки точности (двойной просчёт):

Лекция 1

Приближённые методы решения СЛАУ

А) Метод простых итераций. (Метод последовательных приближений).

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

или где - заданные числа; .

Задаются произвольно n-чисел – нулевое приближение искомой функции.

Далее подставляем в правую часть системы (1) нулевое приближение и

находим первое приближение.

, (2)

Затем по 1-ому приближению находят 2-ое, 3-е и т.д.

В результате для k-ого приближения получаем формулу:

, (2’)

Таким образом мы получили последовательность векторов

Х⁽⁰⁾, Х⁽¹⁾, …, Х^(К), к=1, 2, …

В равенстве (2’) перейдем к пределу при k→ ∞ при замене х_i на с_i.

Теорема (достаточные условия сходимости простой итерации):

Пусть выполняется хотя бы одно из следующих условий (нормы матрицы):

а) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1:

б) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по столбцам) меньше 1:

в) Если сумма всех элементов в квадрате меньше 1.

Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:

1) система (1) имеет единственное решение (С₁,... С_n);

3) для приближенного равенства верны оценки (x₁⁽^k⁾, …x_n⁽^k⁾) (C_{1, …}C_n),

а’) есливыполняется условие а), то

б’) если выполняется условие б), то

в’) если выполняется условие в), то

Замечания :

Б) Метод Зейделя.

Рассмотрим систему: i=1, n

Пусть матрица α удовлетворяет одному из условий теоремы:

Если, а) < 1 (коэффициенты по строкам)

б) < 1 (коэффициенты по столбцам)

в) < 1 (все коэффициенты)

тогда общая формула метода Зейделя имеет вид:

к=1, 2…

Замечание: метод Зейделя обычно, но не всегда сходится к точному решения быстрее, чем МПИ

В) Метод Гаусса. (Метод последовательного исключения переменных)

Прямой ход.

Рассмотрим k-ый шаг прямого хода. На k-ом шаге матрица системы имеет вид:

(а₁₁ а₁₂ … а_1k … a_1n | b₁)

(0 a₂₂ … a_2k … a_2n | b₂)

(0 … … … … … )

(0 0 … a_kk … a_kn | b_k)

(0 … … … … … )

(0 0 … a_nk … a_nn | b_n)

Формулы прямого хода

c_mk=a_mk/a_kk где 1< =k< n

b_m=b_m-c_mkb_k, k< m< =n

a_ml=a_ml-c_mka_kl, k< =l< =n

Обратный ход

Формулы обратного хода.

, откуда получаем:

для k=n, n-1, …, 1.

Лекция 2.

12 3 4 Следующая ⇒