Замена переменной в неопределенном интеграле.

 

Свойство III, описанное в разделе 4, является частным случаем общего метода замены переменной в неопределенном интеграле. Основой метода является следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть известно, что

, т.е. . (5.1)

Тогда (5.2)

Доказательство. Продифференцируем правую часть формулы (5.2), учитывая, что является сложной функцией аргумента x, а по условию (5.1) теоремы. Тогда получаем

Следовательно, производная правой части (5.2) равна подынтегральной функции, стоящей в левой части (5.2). Это доказывает теорему 6.

Формулу (5.2) можно переписать так

(5.3)

Таким образом, переменная, по которой ведется интегрирование, не обязательно является независимой переменной. Она может быть функцией другой переменной. Метод замены переменной как раз в том и состоит, что вводится новая переменная интегрирования.

Этот метод эффективен, прежде всего тогда, когда подынтегральное выражение можно представить в виде , а первообразная функции уже известна. Далеко не все подынтегральные выражения допускают такое представление. С другой стороны, не всегда легко увидеть, что это представление возможно. В умении вводить замену переменной состоит, пожалуй, основная трудность при вычислении неопределенного интеграла.

Приведем примеры, в которых замена множителя на позволяет представить все подынтегральное выражение как выражение, зависящее от одной и той же функции .

Пример 5.1. . Введем . Тогда

Пример 5.2.

Пример 5.3. . Введем . Тогда

.

Пример 5.4.. Введем . Тогда

.

Пример 5.5. . Введем . Тогда .

Пример 5.6.

Пример 5.7. .

Пример 5.8.

.

Пример 5.9.

.

Пример 5.10..

В следующих двух примерах применим искусственный прием, выделяющий дифференциал от функции tgx.

Пример 5.11.

Пример 5.12.

В рассмотренных примерах мы выделяли в подынтегральном выражении дифференциал некоторой функции, которую и объявляли новой переменной интегрирования. Замену переменной можно осуществить и по другому, заменив переменную интегрирования какой-то функцией. Обычно такой прием используется при интегрировании иррациональных функций. При этом новая функция выбирается так, чтобы избавиться от иррациональности.

Приведем примеры такой замены переменной.

Пример 5.13. Вычислить .

Выберем замену в виде , где . Тем самым , и иррациональное выражение исчезает, превращаясь в тригонометрическое. Далее,

.

Здесь еще раз подчеркнем, что мы перешли к новой переменной t во всем подынтегральном выражении, в том числе и в дифференциале. Тогда

Теперь вернемся к переменной x:

В итоге,

Пример 5.14. Вычислить .

Выбираем замену в виде . Тогда . В результате,

 

 

Интегрирование по частям.

Теорема 7. Справедливо тождество

(6.1)

Доказательство. Проинтегрируем известное тождество вида

(6.2)

Получим

(6.3)

Но

(6.4)

Тогда из (6.3) следует (6.1), где постоянная C из равенства (6.4) включена в состав интеграла . Теорема 7 доказана.

Замечание. Обычно формулу (6.1) записывают коротко:

(6.5)

Формулу (6.1) имеет смысл применять тогда, когда оказывается проще, чем . Чаще всего это «упрощение» происходит в том случае, когда производная имеет более «простой» вид, чем сама функция .

Пусть, например, нужно вычислить . Принимаем в качестве функцию . Тогда . В качестве возьмем дифференциальное выражение и вычислим :

.

Поскольку в тождестве (6.1) нужна лишь одна первообразная от функции , можем положить . Итак,

Отметим здесь, что в результате применения формулы (6.1) мы свели вычисление неизвестного интеграла к вычислению известного интеграла .

Перечислим ниже типы интегралов, которые следует вычислять, используя формулу интегрирования по частям (6.1).

 

I.

II.

III.

IV.

V. .

VI. .

В интегралах типов I, II, III в качестве следует выбрать , в качестве – оставшуюся часть подынтегрального выражения. Формулу (6.1) для этих интегралов придется применять n раз. В интегралах типа IV в качестве принимается , в качестве принимается . В интегралах типов V, VI в качестве принимается обратная тригонометрическая функция, а в качестве принимается .

Приведем примеры интегрирования по частям.

Пример 6.1. . Положим . Получим . Тогда .

Пример 6.2. . Положим . Получим . Тогда

Пример 6.3. . Положим . Получим . Тогда

Пример 6.4. . Полагаем . Получим . Тогда

.

Пример 6.5. . Положим . Найдем . Получим

.

Снова интегрируем по частям. Положим . Получим . Тогда

.

Пример 6.6. . Положим . Вычислим . Тогда .

Интеграл вычислен в примере 6.1. Получим

.

Пример 6.7. . Положим . Получим . Тогда

.

Пример 6.8. . Положим . Получим . Тогда

.

Интегралы, приводящиеся к самим себе.

 

Иногда в результате применения формулы (6.1) мы получаем новый интеграл, который отличается от исходного интеграла лишь множителем. Тогда формулу (6.1) можно рассматривать как уравнение относительно . Такие интегралы называются интегралами, приводящимися к себе.

Пример 6.9. , где .

Применим интегрирование по частям, где . Тогда

.

Получим

. (6.6)

Проведём тождественные преобразования:

Подставляем полученный результат в формулу (6.6). Тогда

.

Мы получили уравнение относительно . Решаем его. В итоге,

.

Пример 6.10. , где .

Применяем интегрирование по частям. Положим . Получим . Тогда

. (6.7)

Снова применим интегрирование по частям в интеграле . Положим . Найдем . Тогда .

Подставим интеграл в (6.7) и получим уравнение относительно .

.

Решая это уравнение, определяем .

.

 

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: