Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Оглавление.

1. Дифференциальные уравнения их классификация.

2. Уравнения первого порядка.

3. Уравнения с разделяющимися переменными.

4. Однородные уравнения первого порядка.

5. Линейные уравнения.

6. Уравнение Бернулли.

7. Уравнения в полных дифференциалах.

8. Дифференциальные уравнения второго порядка.

9. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.

11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами.

Дифференциальные уравнения их классификация

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное уравнение называется уравнением с частными производными.

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка можно записать так:

где - неизвестная переменная, - искомая функция переменной , - ее производные, - заданная функция своих аргументов. Функция может не содержать некоторых своих аргументов, но непременно должна зависеть от (когда речь идет об уравнении порядка).

Если данное уравнение разрешимо относительно производной порядка, его можно представить в виде

Функция , определенная и непрерывно дифференцируемая раз в интервале , называется решением дифференциального уравнения в этом интервале, если она обращает данное уравнение в тождество, т.е.

Уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию этой переменной и ее производную. Если - функция независимой переменной , то в общем виде уравнение записывается так:

Если это уравнение разрешимо относительно , то

откуда , или, в более общем виде

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , обращающая уравнение в тождество. В случае, если эта функция задана в неявном виде, решение называют интегралом. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , где - произвольная постоянная, обращающая данное уравнение в тождество.

Общее решение , заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения.

Геометрически общее решение (или общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра .

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении : , где - число. Аналогично определяется частный интеграл .

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию при . Другими словами, найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку .

В каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение. Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить, единственное ли оно.

Для дифференциального уравнения первого порядка в разрешенной относительно форме

задача Коши имеет решение и при том единственное для любой точки , если заданная функция непрерывна вместе со своей частной производной .

3. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида

где - функции только , - функции только от .

Предположив, что и и разделив уравнение на это произведение получим уравнение:

которое называют уравнением с разделенными переменными. Оно имеет общий интеграл

Корни уравнений , являются решениями исходного дифференциального уравнения. Первое слагаемое есть функция только от , второе слагаемое - только от , поэтому можно записать

Или .

Пример. Решить дифференциальное .

Приведем это уравнение к виду, с разделенными переменными

Отсюда

Проинтегрируем, получим .

Отсюда .

Линейные уравнения

Уравнение вида

или

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение линейного уравнения ищут в виде произведения двух функций

Следовательно,

Подстановка выражений для и в исходное уравнение приводит его к виду

Отсюда

Это уравнение приводят к более простому виду, полагая выражение в круглых скобках равным нулю:

Тем самым мы получаем уравнение для определения .

Тогда функция определяется уравнением

Пример.

Проинтегрировать дифференциальное уравнение .

Данное уравнение является линейным. Решение ищем в виде . Найдем производную от этого выражения: . Значения и подставим в исходное уравнение:

Перегруппируем его

В качестве выбираем одну из функций, обращающих в нуль коэффициент при - круглую скобку:

Разделив переменные, получим

Откуда

Или, после операции потенцирования:

Не теряя общности, положим . Отсюда получаем выражение для .

Для определения остается уравнение

Подставив сюда найденное значение , получим:

, или

из которого определяем . Соответственно, общее решение будет иметь вид:

Также можно воспользоваться методом вариации произвольной постоянной, который состоит в следующем. Сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения . Далее величину , входящую в это уравнение, полагают функцией и находят ее.