Задана своей расширенной матрицей.

МАТЕМАТИКА

 

Методические указания и контрольные задания № 1

для студентов-заочников 1-го курса

направление подготовки 080200.62 - Менеджмент

Института Экономики и Бизнеса

Института Менеджмента и Внешнеэкономической Деятельности

в 1-м семестре

 

 

Составители:   Э. Н. Осипова Л. И. Король

 

 

Санкт-Петербург

 

 

	РЕКОМЕНДОВАНО на заседании кафедры 25.05.2012 г., протокол № 9
	Рецензент Н. Ф. Мартынова

 

 

ЛИТЕРАТУРА

Учебники

[1] Высшая математика для экономистов, под ред. Н.Ш. Кремера, ЮНИТИ, М., 2010 г.

[2] Общий курс высшей математики для экономистов, под ред. В.И. Ермакова, ИНФРА-М, М., 2002г.

[3] Письменный Дмитрий. Конспект лекций по высшей математике, 1 часть, Айрис Пресс, М., 2011 г.

Сборники задач

[4] Практикум по высшей математике для экономистов, под ред. Н.Ш. Кремера, ЮНИТИ, М., 2002 г.

[5] Сборник задач по высшей математике для экономистов, под ред. В.И. Ермакова, ИНФРА, М., 2002

 

 

Основные темы и рекомендуемая литература для их изучения.

№ п/п	Тема	Литература
	Линейная алгебра	[1] Глава 1 (1.1 – 1.4, упражнения) [1] Глава 2 (2.1 – 2.4, упражнения) [2] А.1 (1.1 – 1.5); A.4 (4.1 – 4.4) [3] Глава 1 (1 – 4)
	Векторная алгебра	[3] Глава 2 (5 – 8)
	Геометрия на плоскости	[3] Глава 3 (9 – 10)

 

В контрольной работе каждый студент должен решить и представить на рецензию по одному примеру из 1, 2, 3 заданий.

Контрольная должна быть выполнена в отдельной тетради с соблюдением правил, обязательных для выполнения всех работ по математике.

Контрольная работа должна быть представлена на проверку строго по учебному графику данного направления подготовки.

Если все задания выполнены без ошибок, то студент допускается к защите контрольной работы, которая происходит во время экзаменационной сессии перед экзаменом по математике.

Если в работе есть ошибки, то их нужно исправить в этой же тетради и прислать на повторную проверку.

Прежде чем приступать к выполнению контрольных работ, студенту необходимо изучить соответствующий теоретический материал по указанным выше учебникам. По каждой теме дается список вопросов, на которые необходимо ответить при подготовке к экзамену.

Если в процессе изучения теорем или при решении задач возникают вопросы, то можно обратиться к преподавателям кафедры математики для получения консультации.

Во время экзаменационной сессии для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия, которые носят обзорный характер.

При выполнении контрольной работы обратите внимание на оформление:

на титульном листе должны быть указаны:

фамилия, имя, отчество.

Номер студенческого билета (или зачетной книжки).

Название дисциплины и номер контрольной работы по этой дисциплине.

Номер варианта.

Номер варианта, который должен выполнять студент, соответствует последней цифре номера студенческого билета (или зачетной книжки).

В каждом задании 20 вариантов примеров. Если год Вашего поступления в Университет – чётный, то Вы выбираете пример из первых десяти вариантов, а если – нечётный, то выбираете свой вариант из номеров с одиннадцатого по двадцатый.

Например, год поступления 2013, вариант 3, следовательно должны быть выбраны примеры 1.13, 2.13 и т.д.

Например, год поступления 2014, вариант 3, следовательно должны быть выбраны примеры 1.03, 2.03 и т.д.

 

Вопросы для самопроверки

Линейная алгебра

1. Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами?

2. Что называется определителем? Каковы основные свойства определителей?

3. Что называется минором и алгебраическим дополнением?

4. Каковы способы вычисления определителей?

5. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

6. Что называется рангом матрицы? Как его можно найти?

7. Что такое матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений?

8. Какие системы называются совместными и какие несовместными?

9. Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.

10. В чем заключается метод полного исключения для решения систем линейных

уравнений?

 

Векторная алгебра

1. Что называется вектором и как он изображается?

2. Какие векторы называются равными, противоположными, коллинеарными,

компланарными?

3. Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих

операций?

4. В каком случае векторы называются линейно независимыми и в каком – линейно

зависимыми?

5. Что называется базисом на прямой, плоскости и в пространстве?

6. Сформулируйте правила линейных операций над векторами, заданными своими

координатами.

7. Что называется скалярным и векторным произведениями двух векторов, каковы

их свойства и как эти произведения выражаются через координаты

перемножаемых векторов?

8. Что называется смешанным произведением трех векторов, каков геометрический

смысл смешанного произведения и как оно выражается через координаты

векторов-сомножителей?

Геометрия на плоскости

1. Как аналитически представляются линии на плоскости? Приведите примеры.

2. Как разделить отрезок в данном отношении? Приведите примеры.

3. Как разделить отрезок пополам? Приведите примеры.

4. Как можно найти точку пересечения двух линий на плоскости?

Приведите примеры.

5. Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости, каков его

геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат?

Как найти угловой коэффициент прямой, если известно ее общее уравнение?

6. Как записываются уравнения прямой, проходящей через две заданные точки?

7. Что называется направляющим вектором прямой на плоскости?

8. Как вычисляются углы между двумя прямыми?

9. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

Методические указания

Линейная алгебра

Пример Пусть дана система линейных уравнений (1).

(1)

Требуется найти решение этой системы методом полного исключения.

Расширенная матрица этой системы имеет вид (2).

(2)

Решение

Первый шаг решения (I шаг) состоит в следующем.

1. Выбираем строку, у которой первый элемент не равен нулю (в нашем примере можно взять, например, первую строку). Эту строку назовем «разрешающая (ведущая) строка первого шага». Первый столбец назовем «разрешающий (ведущий) столбец первого шага», а элемент, расположенный на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца назовем «разрешающий (ведущий) элемент первого шага». Эта операция соответствует перемене местами уравнений системы, поэтому новая система будет равносильна исходной.

2. Разрешающую (первую) строку делим на разрешающий элемент. Получаем новую строку ( ), которую записываем первой строкой в новой матрице . При этом первая строка новой матрицы матрица примет вид:

.

3. Чтобы найти вторую строку матрицы , ко второй строке матрицы прибавим новую первую строку из матрицы , предварительно умножив ее на такое число, чтобы в первом столбце оказался ноль. В нашем примере ко второй строке матрицы нужно прибавить первую строку матрицы , умноженную на (-2), получим:

Теперь матрица будет иметь вид:

.

4. Чтобы найти третью строку матрицы , к третьей строке матрицы прибавим новую первую строку из матрицы , предварительно умножив ее на такое число, чтобы в первом столбце оказался ноль. В нашем примере ко второй строке матрицы нужно прибавить первую строку матрицы , умноженную на (-3), получим:

Теперь матрица будет иметь вид:

.

Если матрицу будем рассматривать, как систему уравнений, то увидим, что в результате элементарных преобразований получили систему равносильную исходной, причем неизвестная в первое уравнение входит с коэффициентом единица, а из остальных уравнений она исключена.

Второй шаг решения (II шаг) состоит в том, что неизвестная исключается из всех уравнений кроме второго, а во второе должна входить с коэффициентом единица.

1. Выбираем любую строку, которая еще не была разрешающей, и у которой второй элемент не равен нулю (в нашем примере можно взять, например, вторую строку матрицы ). Эту строку назовем «разрешающая (ведущая) строка второго шага». Второй столбец назовем «разрешающий (ведущий) столбец второго шага», а элемент, расположенный на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца назовем «разрешающий (ведущий) элемент второго шага».

.

2. Разрешающую (вторую) строку делим на разрешающий элемент. Получаем новую строку ( ), которую записываем второй строкой в новой матрице . При этом новая матрица примет вид:

.

3. Чтобы найти первую строку матрицы , ко второй строке матрицы прибавим новую вторую строку из матрицы , предварительно умножив ее на такое число, чтобы во втором столбце оказался ноль. В нашем примере к первой строке матрицы нужно прибавить вторую строку матрицы , умноженную на (-2), получим:

Теперь матрица будет иметь вид:

.

4. Чтобы найти третью строку матрицы , к третьей строке матрицы прибавим новую первую строку из матрицы , предварительно умножив ее на такое число, чтобы во

втором столбце оказался ноль. В нашем примере ко второй строке матрицы нужно прибавить вторую строку матрицы , умноженную на (+2), получим:

Теперь матрица будет иметь вид:

.

Если матрицу рассматривать, как систему уравнений, то увидим, что в результате элементарных преобразований получили систему равносильную исходной, причем неизвестная

исключена из всех уравнений кроме первого а из всех уравнений кроме второго.

 

Третий шаг решения (III шаг) состоит в том, что неизвестная исключается из всех уравнений кроме третьего, а в третье должна входить с коэффициентом единица.

.

 

Следовательно, на третьем шаге третья строка и третий столбец будут разрешающими, а разрешающий элемент оказался равным единице. Поэтому третий шаг сразу можно начать с исключения из всех уравнений кроме разрешающего. В нашем примере нужно к первой строке прибавить разрешающую, умноженную на (-7), а ко второй прибавить разрешающую строку, взятую с коэффициентом (5). В результате получим новую матрицу:

.

Если заменить эту матрицу соответствующей ей системой уравнений, то получим ответ:

Обобщив все проведенные в примере вычисления, можно сформулировать в общем виде алгоритм любого ( к - го) шага.

Алгоритм к – го шага.

(1) Выбираем к – ую разрешающую строку среди тех строк, которые еще не были разрешающими и у которых на к – ом месте стоит элемент отличный от нуля. При этом к – ый столбец будет разрешающим столбцом, а элемент стоящий на их пересечении – разрешающим элементом.

(2) Разрешающую строку делим на разрешающий элемент и записываем на к – ое место в новой матрице.

(3) Ко всем остальным строкам матрицы, полученной на предыдущем шаге, прибавляем строку, полученную в (2) и взятую с таким коэффициентом, чтобы в к – ом столбце новой матрицы все элементы кроме к – го оказались нулями.

Примечания

1. Если в процессе вычислений появятся несколько одинаковых строк, то все кроме одной нужно отбросить.

2. Если в процессе решения появится нулевая строка, то ее нужно отбросить.

3. Все элементы любой строки можно умножать или делить на число отличное от нуля.

4. Если в строке только последний элемент отличен от нуля, то система противоречива

и решений не имеет.

5. Если на последнем шаге оказывается, что количество неизвестных больше, чем

количество уравнений, то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными х₁, х₂, х₃

задана расширенной матрицей .

Требуется:

1) записать систему в канонической форме (в виде системы уравнений),

2) решить эту систему по формулам Крамера, причём определители вычислять,

используя их свойства.

Решение

1) Каноническая форма системы: .

 

2) Вычисляем определитель системы :

.

Алгоритм: Первый столбец умножим на (-2) и прибавим ко второму столбцу, а к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3). При этом все элементы последней строки кроме первого окажутся равными нулю.

Разложим определитель по элементам третьей строки.

Определитель системы система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: .

3) Из определителя системы составим определитель , заменив в нём

первый столбец столбцом свободных членов и вычислим его:

 

.

Алгоритм: Вторую строку умножим на (-1) и прибавим к третьей строке.

Первый столбец умножим на (+3) и прибавим ко второму столбцу.

Разложим определитель по элементам третьей строки.

4) Из определителя системы составим определитель , заменив в нём

второй столбец столбцом свободных членов и вычислим его:

 

.

5) Из определителя системы составим определитель , заменив в нём

третий столбец столбцом свободных членов и вычислим его:

 

.

6) Подставляем найденные значения в формулы Крамера, тогда получим:

 

7) Чтобы убедиться в правильности решения, подставим найденные

значения неизвестных в исходную систему: .

8) Ответ: .

 

 

Векторная алгебра.

Пример. Даны вершины пирамиды ,

причём точки A, B, C - вершины её основания.

Средствами векторной алгебры найти:

1) векторы с началом в точке В и концом в остальных вершинах пирамиды;

2) длину и направляющие косинусы вектора ;

3) скалярное произведение векторов и ;

4) угол между рёбрами и ;

5) векторное произведение векторов и ;

6) площадь основания пирамиды;

7) смешанное произведение векторов с началом в точке В

и концом в остальных вершинах пирамиды;

8) объём пирамиды.

Решение

Рис. 1.

1) В координатной форме вектор можно задать следующим образом:

, где - орты осей координат.

Чтобы найти координаты вектора нужно от координат конца вычесть координаты

начала: .

.

.

2) Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов всех его координат:

Направляющие косинусы вектора это косинусы углов между вектором и осями координат.

Чтобы их найти нужно соответствующую координату вектора разделить на его длину.

Следовательно, направляющие косинусы вектора :

Чтобы проверить правильность этих вычислений, найдём сумму квадратов направляющих косинусов, она должна быть равна единице:

 

3) Скалярное произведение двух векторов можно вычислить как сумму произведений одноимённых координат, поэтому

4) Косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, делённому на произведение их длин:

5) Если векторы заданы своими координатами: , а ортами координатных осей являются векторы , то их векторное произведение это вектор , который можно найти разложив по первой строке определитель третьего порядка:

Тогда .

6) Площадь найдём используя геометрический смысл векторного произведения векторов: .

 

7) Смешанное произведение трёх векторов, заданных в координатной форме,

, равно определителю третьего порядка:

Тогда

 

8) Объём пирамиды найдём, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов:

 

Прямая линия на плоскости

Пример. Треугольник АВС задан своими вершинами: ; ; (рис. 2).

Найти: 1) уравнение стороны ВС (в отрезках на осях),

2) уравнение стороны ВА (в общем виде),

3) угол между сторонами ВС и ВА,

4) уравнение медианы ВМ (с угловым коэффициентом),

5) уравнение высоты АК (с угловым коэффициентом),

6) уравнение прямой L, проходящей через точку С || ВА,

7) длину высоты h, проведённой из вершины С.

 

 

Решение

Рис. 2.

1) На искомой прямой известны две точки, поэтому воспользуемся уравнением прямой ВС, проходящей через две точки: (ВС): - общее уравнение прямой ВС.

. Уравнение прямой в отрезках на осях получим, поделив уравнение на 36 и переведя 7 и -5 в знаменатель

- уравнение прямой ВС в отрезках на осях.

2) Уравнение прямой ВА находим тем же способом.

(ВА): - уравнение прямой ВА в общем виде.

3) Угол , где - угловые коэффициенты соответствующих прямых. Поэтому нужно найти их угловые коффициенты.

(ВС):

(ВА):

Тангенс угла отрицательный, следовательно, угол между сторонами ВА и ВС – тупой, поэтому

4) Медиана ВМ делит сторону АС на равные части: .

Найдём координаты точки М: .

(ВМ): .

5) .

Уравнение прямой АК найдём как уравнение прямой, проходящей через данную точку А в данном направлении: (АК):

6) L || ВА, следовательно .

7) Длину высоты h, опущенной из вершины С, можно найти как расстояние от точки С до противоположной стороны АВ:

Контрольная работа 1

Линейная алгебра

Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными х₁, х₂, х₃

Используя их свойства.

№	Расширенная матрица	№	Расширенная матрица
1.01		1.11
1.02		1.12
1.03		1.13
1.04		1.14
1.05		1.15
1.06		1.16
1.07		1.17
1.08		1.18
1.09		1.19
1.10		1.20

 

Векторная алгебра

Объём пирамиды.

№	A	B	C	Q	№	A	B	C	Q
2.01					2.11
2.02					2.12
2.03					2.13
2.04					2.14
2.05					2.15
2.06					2.16
2.07					2.17
2.08					2.18
2.09					2.19
2.10					2.20

 

Геометрия на плоскости

Треугольник АВС задан своими вершинами: A, B, C. Сделать чертёж и найти:

МАТЕМАТИКА

 

Методические указания и контрольные задания № 1

для студентов-заочников 1-го курса

направление подготовки 080200.62 - Менеджмент

Института Экономики и Бизнеса

Института Менеджмента и Внешнеэкономической Деятельности

в 1-м семестре

 

 

Составители:   Э. Н. Осипова Л. И. Король

 

 

Санкт-Петербург

 

 

	РЕКОМЕНДОВАНО на заседании кафедры 25.05.2012 г., протокол № 9
	Рецензент Н. Ф. Мартынова

 

 

ЛИТЕРАТУРА

Учебники

[1] Высшая математика для экономистов, под ред. Н.Ш. Кремера, ЮНИТИ, М., 2010 г.

[2] Общий курс высшей математики для экономистов, под ред. В.И. Ермакова, ИНФРА-М, М., 2002г.

[3] Письменный Дмитрий. Конспект лекций по высшей математике, 1 часть, Айрис Пресс, М., 2011 г.

Сборники задач

[4] Практикум по высшей математике для экономистов, под ред. Н.Ш. Кремера, ЮНИТИ, М., 2002 г.

[5] Сборник задач по высшей математике для экономистов, под ред. В.И. Ермакова, ИНФРА, М., 2002

 

 

Основные темы и рекомендуемая литература для их изучения.

№ п/п	Тема	Литература
	Линейная алгебра	[1] Глава 1 (1.1 – 1.4, упражнения) [1] Глава 2 (2.1 – 2.4, упражнения) [2] А.1 (1.1 – 1.5); A.4 (4.1 – 4.4) [3] Глава 1 (1 – 4)
	Векторная алгебра	[3] Глава 2 (5 – 8)
	Геометрия на плоскости	[3] Глава 3 (9 – 10)

 

В контрольной работе каждый студент должен решить и представить на рецензию по одному примеру из 1, 2, 3 заданий.

Контрольная должна быть выполнена в отдельной тетради с соблюдением правил, обязательных для выполнения всех работ по математике.

Контрольная работа должна быть представлена на проверку строго по учебному графику данного направления подготовки.

Если все задания выполнены без ошибок, то студент допускается к защите контрольной работы, которая происходит во время экзаменационной сессии перед экзаменом по математике.

Если в работе есть ошибки, то их нужно исправить в этой же тетради и прислать на повторную проверку.

Прежде чем приступать к выполнению контрольных работ, студенту необходимо изучить соответствующий теоретический материал по указанным выше учебникам. По каждой теме дается список вопросов, на которые необходимо ответить при подготовке к экзамену.

Если в процессе изучения теорем или при решении задач возникают вопросы, то можно обратиться к преподавателям кафедры математики для получения консультации.

Во время экзаменационной сессии для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия, которые носят обзорный характер.

При выполнении контрольной работы обратите внимание на оформление:

на титульном листе должны быть указаны:

фамилия, имя, отчество.

Номер студенческого билета (или зачетной книжки).

Название дисциплины и номер контрольной работы по этой дисциплине.

Номер варианта.

Номер варианта, который должен выполнять студент, соответствует последней цифре номера студенческого билета (или зачетной книжки).

В каждом задании 20 вариантов примеров. Если год Вашего поступления в Университет – чётный, то Вы выбираете пример из первых десяти вариантов, а если – нечётный, то выбираете свой вариант из номеров с одиннадцатого по двадцатый.

Например, год поступления 2013, вариант 3, следовательно должны быть выбраны примеры 1.13, 2.13 и т.д.

Например, год поступления 2014, вариант 3, следовательно должны быть выбраны примеры 1.03, 2.03 и т.д.

 

Вопросы для самопроверки

Линейная алгебра

1. Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами?

2. Что называется определителем? Каковы основные свойства определителей?

3. Что называется минором и алгебраическим дополнением?

4. Каковы способы вычисления определителей?

5. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

6. Что называется рангом матрицы? Как его можно найти?

7. Что такое матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений?

8. Какие системы называются совместными и какие несовместными?

9. Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.

10. В чем заключается метод полного исключения для решения систем линейных

уравнений?

 

Векторная алгебра

1. Что называется вектором и как он изображается?

2. Какие векторы называются равными, противоположными, коллинеарными,

компланарными?

3. Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих

операций?

4. В каком случае векторы называются линейно независимыми и в каком – линейно

зависимыми?

5. Что называется базисом на прямой, плоскости и в пространстве?

6. Сформулируйте правила линейных операций над векторами, заданными своими

координатами.

7. Что называется скалярным и векторным произведениями двух векторов, каковы

их свойства и как эти произведения выражаются через координаты

перемножаемых векторов?

8. Что называется смешанным произведением трех векторов, каков геометрический

Поделиться: