Позиционные системы счисления.

 

Перевод чисел является важным процессом функционирования вычислительных машин, так как с помощью его осуществляются арифметические действия, адресация файлов и т.п. операции.

В вычислительных машинах применяются позиционные системы счисления. В позиционной системе счисления каждое число представляется последовательностью цифр, причем позиции каждой цифры x_i присвоен определенный вес b_i, где b – основание системы. Представление целого числа в виде степенного ряда описывается формулой:

Любое число в позиционной системе счисления представляется в виде разрядов. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, крайняя справа – цифрой младшего разряда.

Смешанное число в позиционной системе счисления представляется степенным рядом:

,

где x_k–любое число из алфавита системы (набор символов) с основанием b; m и n–число разрядов соответственно для целой и дробной части числа.

В современных компьютерах используются позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16, которые соответственно называются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Представление чисел в этих системах показано в табл.1.

Таблица 1.

Десятичные числа D10	Двоичные числа D2	Восьмеричные числа D8	Шестнадцатеричные числа D16
			А
			B
			C
			D
			E
			F

 

Для представления чисел в различных системах счисления необходимо вычислять степени двойки, восьмерки и шестнадцати (табл.2).

Таблица 2.

Степени двойки	Степени восьмерки	Степени шестнадцати
20=1	80=1	160=1
21=2	81=8	161=16
22=4	82=64	162=256
23=8	83=512	163=4096
24=16	84=4096	164=65536
25=32	85=32768
26=64
27=128
28=256
29=512
210=1024

 

Задача.

Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 10 (десятичной системе)

1997 = 1х10³ + 9× 10² +9× 10¹ +7× 10⁰.

Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 2 (двоичной системе)

1997 = 1× 2¹⁰ +1× 2⁹ +1× 2⁸ +1× 2⁷ +1× 2⁶ +0× 2⁵ +0× 2⁴ +1× 2³ +1× 2² +0× 2¹ +1× 2⁰ = 11111001101.

Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 8 (восьмеричной системе)

1997 = 3× 8³ +7× 8² +1× 8¹ +5× 8⁰ = 3715.

Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 16 (шестнадцатеричной системе)

1997 = 7× 16² +12× 16¹ +13× 16⁰ = 7CD.

 

Задача.

Представить в двоичной форме числа 48, 57, 511, 121. Разложим числа по степенному ряду двойки:

Решение:

48 = 32+16=1х2⁵ + 1х2⁴ + 0х2³ + 0х2² + 0х2¹ + 0х2⁰=110000₂

57 = 32+ 16+8+1 =1х2⁵ + 1х2⁴+ 1х2³ + 0х2² + 0х2¹ + 1х2⁰ = 111001₂

511=256+128+64+32+16+8+4+2+1 = 1х2⁸+1х2⁷ +1х2⁶+1х2⁵+1х2⁴ +1х2³+ +1х2² +1х2¹ +1х2⁰ = 111111111₂

121 = 64+32+16+8+4+2+1 = 1х2⁶+1х2 +1х2⁴+ 1х2³ + 0х2² + 0х2¹ + 1х2⁰ = =111101₂

 

Задача.

Представить в восьмеричной форме числа 48, 57, 511, 121. Разложим числа по степенному ряду восьмерки:

48 = 6х8¹ + 0х2⁰ = 60₈

57 = 56 + 1 = 7х8¹ + 1х2⁰ = 71₈

511 = 448 + 56 + 7 = 7х8¹ + 7х8¹ + 7х8⁰ = 777₈

121 = 64 + 56 + 1 = 1х8¹ + 7х8¹ + 1х8⁰ = 171₈

 

Задача.

Представить в шестнадцатеричной форме числа 48, 57, 511, 121. Разложим числа по степенному ряду шестнадцати:

48 = 3х16¹ + 0х16⁰ = 30₁₆

57 = 48 + 9 = 3х16¹ + 9х16⁰ = 39 ₁₆

511 = 256 + 240 + 15 = 1х16² + 15х16¹ + 15х16⁰ = 1FF ₁₆

121 = 112 + 9 = 7х16¹ + 9х16⁰ = 19 ₁₆

 

Перевод чисел из одной системы представления в другую.

Перевод чисел в десятичную систему счисления с помощью степенного ряда.

 

Задача.

А₁ = 100100.1001₂, А₂ = 234.5₈, А₃ = АВС.Е₁₆

А₁ = 100100.1001₂ = 2⁵ +2² +2^-1 +2^-4 = 36 + 36.5625₁₀;

Решение:

А₂ = 234.5₈ = 2х8² + 3х8¹ + 4х8⁰ + 5х8^-1 = 156 + 5/8 = 156.625₁₀

А₃ = АВС.Е₁₆ =10х16² + 11х16¹ + 12х16⁰ + 14х16^-1 = 2748 + 16/16 = 2748.875₁₀

.

Для того, чтобы из восьмеричного счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Задача.

Решение:

1234.777₈ = 1 010 011 100.111 111 111₂

1234567₈ = 1 010 011 100 101 110 111₂

123456.007₈ = 1 010 011 100 101 110.000 000 111₂

Обратный перевод производиться следующим образом: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода двоичные символы должны быть сгруппированы по три, начиная с младших разрядов. Если триада старших разрядах получается неполной, то ее выравнивают путем добавления нулей.

Задача.

Решение:

Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления производится следующим образом: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода двоичные символы должны быть сгруппированы по три, начиная с младших разрядов. Если триада старших разрядов получается неполной, то её выравнивают путем добавления нулей.

 

1100111₂ = 001 100 111₂ = 147₈

11.1001₂ = 011.100 100₂ = 3.44₈

110.0111₂ = 110.011 100₂ = 6.34₈

При переводах между двоичным и шестнадцатеричным счислениями используется группировка двоичных чисел по четверкам. При необходимости производится выравнивание группировки посредством добавления нулей.

Задача.

Решение:

1234.АВ77₁₆ = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂;

СЕ4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂

0.1234 АА₁₆ = 0.0001 0010 0011 0100 1010 1010₂

1100111₂ = 0011.1001₂ = 67₁₆;

11.1001₂ = 0011.1001₂=3.9₁₆

110.0111001₂ = 0110.0111 0010₂ = 6.32₁₆

При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется как вспомогательный двоичный код числа.

Задача.

Решение:

1234567₈=001 010 011 100 101 110 111₂=0101 0011 1001 0111 0111₂= =53977₁₆;

0.12034₈ = 0.001 010 000 011 100₂ = 0.0010 1000 0011 1000₂ = 0.2838₁₆

120.34₈ = 001 010 000.011 100₂ = 0101 0000.0111₂ = 50.7₁₆

1234.АВ77₁₆ = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂ =

=001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100₂ = 11064.526734₈

СЕ4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂ =

=110 011 100 100 010 101 100 111₂ = 63442547₈

0.1234АА = 010 010 101 010₂ = 0.04432252₈.

 

Перевод смешанного числа (целого и дробного) из десятичного счисления в другое счисление.

Метод деления.

Представление десятичного числа в других системах счисления может проводиться по схеме Горнера. Допустим, что у нас есть целое число D, представленное с помощью основания системы счисления b, т.е. D_n. Процесс представления выполняется в несколько этапов по следующим правилам:

3 Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления до тех пор, пока целая часть не станет меньше основания нового счисления.

4 Полученные остатки от деления, представленные символами нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.

Следовательно, на 1 этапе D_n = , где - целая часть от деления, а₀ – остаток. Этот остаток является первым младшим разрядом в новой системе счисления. На втором этапе деления получаем выражение вида

= и т.д.

Задача.

Представить по схеме Горнера десятичное число D₁₀ = 147 в двоичном коде D₂ = 10010011, в восьмеричном коде D₈ =223, в шестнадцатеричном коде D₁₆ = 93.

Проверить полученные результаты на инженерном калькуляторе.

 

Рассмотрим преобразование десятичных чисел в двоичные, восьмеричные или шестнадцатеричные на основе процедуры схемы Горнера, представленной в виде таблицы:

 

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
13: 2 = 6 с остатком 1
6: 2 = 3 с остатком 0
3: 2 = 1 с остатком 1
1: 2 = 0 с остатком 1

 

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
37: 2 = 18 с остатком 1
18: 2 = 9 с остатком 0
9: 2 = 4 с остатком 1
4: 2 = 2 с остатком 0
2: 2 = 1 с остатком 0
1: 2 = 0 с остатком 1

 

Десятичное число D10	Восьмеричное число D8	Вес разряда
271: 8 = 33 с остатком 7
33: 8 = 4 с остатком 1
4: 8 = 0 с остатком 4

 

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
27154: 16 = 1697 с остатком 2
1697: 16 = 106 с остатком 1
106: 16 = 6 с остатком 10	А
6: 16 = 0 с остатком 6

 

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
7589: 16 = 474 с остатком 5
474: 16 = 29 с остатком 10	А
29: 16 = 1 с остатком 13	D
1: 16 = 0 с остатком 1

 

Задача.

Самостоятельно записать процедуру перевода D₁₀ =156 в D₈ и на основе анализа процедуры преобразования чисел из одной системы счисления (D₁₀) в другую D₂, D₈, D₁₆ разработать алгоритм этой процедуры.

 

Решение:

 

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
156: 2 = 78 с остатком 0
78: 2 = 39 с остатком 0
39: 2 = 19 с остатком 1
19: 2 = 9 с остатком 1
9: 2 = 4 с остатком 1
4: 2 = 2 с остатком 0
2: 2 = 1 с остатком 0
1: 2 = 0 с остатком 1

 

Десятичное число D10	Восьмеричное число D8	Вес разряда
156: 8 = 19 с остатком 4
19: 8 = 2 с остатком 3
2: 8 = 0 остатком 2

 

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
156: 16 = 9 с остатком 12	С
9: 16 = 0 с остатком 9

 

156₁₀ = 10011100₈ = 234₈ = 9С₁₆

 

 

 

Алгоритм процедуры показан на рисунке:

 

 

 

Метод вычитания.

53 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

-32 ®2⁵____ 1 1 0 1 0 1

21

-16 ®2⁴____________­

5____________________________­

-4 ®2²________________________________­

-1 ®2⁰_________________________________________­

 

Метод умножения (Перевод дробного числа из десятичного счисления в другое счисление).

Правило: последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет получено требуемое по условию количество разрядов; полученные целые части являются разрядами числа в новой системе и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления.

Пример.

Для преобразования десятичной дроби в двоичный эквивалент используем операцию последовательного умножения на 2. Если первое произведение окажется меньше 1, то запишем в старший разряд двоичной дроби 0. Если первое произведение ³ 1, то старшей цифрой двоичной дроби является 1. Аналогично определим вторую цифру двоичной дроби, причем на два умножается только дробная часть произведении, полученная на предыдущем шаге.

 

Задача.

0, 6384× 2=1, 2768 ®1 0, 4535× 2=0, 907 ®0

0, 2768× 2=0, 5536 ®0 0, 907× 2=1, 8140 ®1

0, 5536× 2=1, 1072 ®1 0, 8140× 2=1, 6280 ®1

0, 1072× 2=0, 2144 ®0 2, 6280× 2=1, 256 ®1

0, 2144× 2=0, 04288®0 1, 256× 2=0, 512 ®0

0, 0× 2=0, 0 ®0 0, 512× 2=1, 024 ®1

(0, 6384)₁₀ = (0, 101000)₂ 0, 024× 2=0, 048 ®0

0, 048× 2=0, 096 ®0

0, 096× 2=0, 182 ®0

(0, 4535)₁₀ = (0, 011101000)₂

 

Форматы чисел.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: