Вопрос 7. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности.

Вопрос 7. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности.

Совмещением (или произведением) двух событий A и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события A, так и события В. Это событие будем обозначать АВ или ВА.

Объединением (или суммой) двух событий A и В называется событие С, заключающееся в том, что произойдет по крайней мере одно из событий A или В. Это событие обозначается так: С=А+В.

Два события A и В называются несовместными, если наступление события A исключает наступление события В. Отсюда следует, что если события A и В несовместны, то событие AB — невозможное.

Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е и каждому событию А Е поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события А.

Случайное событие -

 

Вопрос 8. Классификация событий. Классическое определение вероятности

События подразделяются на: достоверные, возможные (или случайные) и невозможные.

Достоверным называется такое событие, которое в результате опыта непременно должно произойти.

Невозможным называется событие, которое не может иметь места в данном опыте.

Возможным или случайным называется событие, которое может появиться в результате опыта, но может и не появиться.

Два или несколько событий называются равновозможными, если нет оснований утверждать, что одно из них объективно имеет больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими.

События называются совместимыми, если появление одного из них в данном опыте не исключает возможности появления других.

Группа событий, из которых хотя бы одно непременно должно произойти в данном опыте, называется полной группой событий.

Два единственно возможных и несовместимых события называются противоположными.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них - красные, 3 - синие и 1 - белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Вопрос 9.

Вопрос 10. Теоремы сложения вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

 

Вопрос 11. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Условная вероятность — это вероятность некоторого события A, при условии наступления некоторого другого события B; записывается P(A/B).

Условная вероятность удовлетворяет всем аксиомам Колмогорова и поэтому для нее справедливы все свойства вероятностей.

 

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Доказательство.

Т.к. события образуют полную группу событий, то событие АHi можно представить в виде следующей суммы:

Т.к. события несовместны, то и события AHi тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

При этом

Окончательно получаем:

 

Формула Байеса.

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез с известными вероятностями их наступления . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности

Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы относительно события А, т.е. условные вероятности .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Эта формула называется формулой Бейеса

Доказательство.

По Теореме умножения вероятностей получаем:

Тогда если

Для нахождения вероятности P(A) используем формулу полной вероятности.

Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью , то формула Бейеса принимает вид:

 

Вопрос 17. Закон Пуассона

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

События появляются независимо друг от друга с постоянной интенсивностью, которая характеризуется параметром a, a=n*p

Теорема Бернулли

Теорема (Бернулли). Пусть m _n - число наступлений события А в n независимых испытаниях Бернулли, р - вероятность наступления события А в одном испытании. Тогда для любого e > 0

Вопрос 7. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности.

Совмещением (или произведением) двух событий A и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события A, так и события В. Это событие будем обозначать АВ или ВА.

Объединением (или суммой) двух событий A и В называется событие С, заключающееся в том, что произойдет по крайней мере одно из событий A или В. Это событие обозначается так: С=А+В.

Два события A и В называются несовместными, если наступление события A исключает наступление события В. Отсюда следует, что если события A и В несовместны, то событие AB — невозможное.

12Следующая ⇒

Поделиться: